平面的基本性质1．平面的基本性质及推论：初中平面几何中点、线的基本性质：两点之间的连线中，直线段最短；经过两点有且只有一条直线。
高中立体几何中线、面的基本性质：（1）公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
若，，，，则。
作用：证明直线在平面内。
（2）公理2：经过不在同一条直线上三点，有且只有一个平面。
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
作用：如何确定一个平面。
（3）公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。
作用：证明点在直线上。
注意：学生应尽快建立空间的概念，逐步培养空间想象能力。
学习中，对于概念、公理、定理等应运用文字叙述、图形表示、符号体现的多种形式加以说明（如公理1）。
2．空间中线、面的位置关系（1）空间中两条直线的位置关系：①共面直线②异面直线：既不相交也不平行的直线，没有公共点。
异面直线的判定：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。
(共面)(共面) (异面)（2）空间中直线与平面的位置关系：①直线在平面内②直线在平面外（3）空间中两个平面的位置关系：①两个平面平行（没有公共点）②两个平面相交（有一条公共直线）(面面平行)(面面相交)例题选讲：1．若一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面。
分析：对于此种类型的文字题目，首先要把其转化为数学语言的叙述，同时画出图形也是必要的。
而对于共面的问题需要运用公理2或其推论。
已知：直线//直线，且直线，，求证：直线、、共面。
证明：∵直线//直线，∴直线、确定一个平面设为，即：，，∵，∴，∴，同理，∴直线，即：，∴直线、、共面于。
评述：本题中运用公理2、公理1解决问题。
本题需要注意符号语言在题目中的应用；对于多个元素（三线共面、三线共点、三点共线等等）的问题，我们都先从两个入手，再解决第三个、第四个……，例如本题中，先证两线共面，再证第三条在面内。
2．已知：的三条边的延长线与平面交于、、三点，求证：、、三点共线。
分析：根据上题中的原则，我们先证两点共线，再证第三个点也在直线上。
证明∵直线的延长线与平面交于点∴点且面，∴点是平面与平面的公共点，同理点、也是平面与平面的公共点，∵、确定直线，∴平面平面∵也是平面与平面的公共点，∴，即、、三点共线于平面与平面的公共直线。
评述：公理、定理的作用十分重要，明确了它们的作用，才能加以应用。
本题中需要证明点在线上，显然公理3的应用就显得比较自然了。
3．空间三个平面把空间分成几部分？并用图形表示出来。
分析：此种题目可从好想的情况入手，平面间的位置关系只有两种——平行、相交，平行比较好想，先考虑三个平面都平行，再考虑两个平面平行与第三个平面相交，最后再考虑三个平面都不平行。
解答：把空间分成四部分把空间分成六部分把空间分成七部分把空间分成八部分(此为八分之一)评述：本题考察空间想象能力，图示出来也是难点。
本题中把空间分成七个部分的图就有问题，你能改正过来吗。
本题也可先考虑平面中三条直线可以把平面分成几部分，再联想到空间中。
4．经过正方体三条棱上的点作正方体的界面。
分析：本题需要找面与面的交线，则需要从面与面的公共点找起，两个公共点的连线就是公共直线。
（1）（2）评述：（2）中应用了平面平行的性质，不用这个性质能画出截面吗。
大家不妨自己在棱找三个点，作一下截面。
课后练习：1．下列各个条件中，可以确定一个平面的为（）（A）三个点（B）三条直线（C）相交于一点的三条直线（D）一条直线与直线外一点2．空间三个平面两两相交，它们交线的条数为（）（A）一条（B）两条（C）三条（D）一条或三条3．正方体中，与直线成异面直线的棱有（）（A）条（B）条（C）条（D）条4．若三条直线两两相交，有三个交点，则这三条直线共面。
练习答案：1.D 2.D 3.A4.已知：直线、、，且，，，求证：直线、、共面。
证明：如图，∵∴直线确定一个平面（公理2的推论），∵，∴，∴，同理，∴直线（公理1），即：，∴直线共面于平面。
空间中的平行关系1．空间平行直线初中平面几何：两条平行直线：同一平面内不相交的两条直线。
经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。
高中立体几何：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
（平行线的传递性）大家由此设想一下：与同一条直线都相交的直线的位置关系是什么？垂直于同一条直线的两条直线的位置关系如何？与同一条直线都异面的两条直线的位置关系是什么？等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
证明：如图，在两个角的两边上截取，，∵，∴四边形是平行四边形，∴平行且等于，同理：四边形是平行四边形，平行且等于，∴平行且等于，∴四边形是平行四边形，∴，与中，，，，则≌，∴。
评述：证明中可看出，立体几何的问题经常是要转化到平面几何的知识上，而利用平行是转化的重要手段。
2．直线与平面平行定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，那么我们说这条直线和这个平面平行。
表示方法：直线与平面平行，记作：直线平面上述的三种表示方法：文字表示、符号表示、图形表示，都需要大家掌握。
应该说定义是判断事物最有效的手段，但平行的定义是用有无公共点来描述的，操作起来很不方便，因此引入判定定理就十分必要了，初中平面几何如此，后面所学的线面、面面平行都是如此。
判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
证明：如图，假设直线与平面不平行，且已知有直线在平面外，根据线面的位置关系，则有直线与平面相交，设在平面内过点A作，则∵，∴，这与矛盾，∴假设错误，∴直线与平面平行。
评述：定理中注意“平面外”这一条件，利用反证法证明判定定理应该是基本的思路。
定理的作用：证明线面平行。
由此定理大家考虑下列问题：平行于同一个平面的两条直线的位置关系——平行、相交、异面。
平行于同一条直线的两个平面的位置关系——平行、相交。
性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两个平面的交线平行。
证明从略，可考虑应用线面平行以及线线平行的定义。
定理的作用：证明线线平行。
3．平面与平面的平行定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行。
判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行与另一个平面，那么这两个平面平行。
符号表示图形表示证明从略，可考虑应用反证法。
定理的作用：判定两个平面平行。
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
性质定理1：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
定理的作用：判定线面平行。
性质定理2：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
证明：如图，∵，∴与没有公共点，∵，∴，，∵，∴，，∵，，∴直线、没有公共点，∵，，∴。
评述：这是应用平行的定义解决问题，也可利用线面平行的性质定理：，，，大家可试试。
定理的作用：判定线线平行。
注意：转化思想的运用。
在这里我们是用线线平行导出线面平行，又由线面平行导出面面平行。
同样，由线面平行可以导出线线平行，由面面平行也可以导出线面平行、线线平行。
例题选讲：1．已知：空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：E、F、G、H四点共面。
分析：有关共面问题一定要找出平行或相交的直线。
证明：连接，∵E、H为边AB、DA的中点，∴，同理，∴∴与确定一个平面，即：E、F、G、H四点共面。
评述：本题还是应用平面几何中三角形的中位线定理得到线线平行，从而达到共面的要求，今后看到中点的条件时，应考虑中位线定理。
本题还可以进一步考察四边形是什么样的四边形，可能是平行四边形吗，可能是菱形、矩形、正方形吗？2．已知：三个平面两两相交，有三条交线，求证：这三条交线平行或共点。
分析：遇到三条直线的问题，我们还是从两条直线的关系入手。
证明：如图，∵，，∴直线共面于平面，∴直线的位置关系为平行或相交，（1）当时，∵，，∴，∵，，∴，∴这三条交线平行；（2）当时，∵，，∴，∵，，∴∴点O是平面的公共点，∵∴点O在直线上∴这三条交线共点。
评述：这种由少到多的方法希望大家能够掌握，两条直线的位置关系是平面几何中研究的问题，又是从平面到立体的转化。
3．已知：直线、，平面、，且，，，求证：。
分析：条件是线面平行，求证是线线平行，可利用线面平行的性质定理证明：过直线做平面与平面相交于直线，∵，∴，同理，过直线做平面与平面相交于直线，∴，∴，∵，，∴，∵，∴。
评述：线、面平行之间的转化关系希望大家要熟练掌握。
4．已知：正方体中，、分别为、上的点，且，求证：平面。
分析：利用判定定理来解决本题是比较现实的，关键是找到面内的直线与面外的直线平行，应该还要用到平面几何的知识。
证明：连接并延长交于，∵，∴∽,∴∵，∴∴中,∴平面，∴平面。
评述：对于由成比例的线段推到平行的问题，显然需要用到平面几何中平行线分线段成比例的定理，关键就是如何找到同一个平面内的线段。
空间中的垂直关系1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂。
推理模式：。
注意：（1）三垂线指PA，PO，AO都垂直内的直线a。
其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理。
（2）要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。
2．线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面互相垂直。
其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，直线与平面的交点叫做垂足。
直线与平面垂直记作：⊥。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
重难点归纳：垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：1．平行转化：线线平行线面平行面面平行。
2．垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直。
每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的。
典例解析1．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（）A．AH⊥△EFH所在平面B．AD⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HD⊥△AEF所在平面答案：A2．如图（1）所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图（2）的________（要求：把可能的图的序号都填上）。