导数典型例题数作 考 内容的考 力度逐年增大.考点涉及到了 数的所有内容，如 数的定 ，数的几何意 、物理意 ，用 数研究函数的 性，求函数的最（极） 等等，考 的 型有客 （ 、填空 ）、主 （解答 ） 、考 的形式具有 合性和多 性的特点 .并且， 数与 内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的 合考 成 新的 点 .一、与导数概念有关的问题【例 1】函数 f(x)=x(x-1) ( x-2)⋯ (x-100) 在 x=0的 数.100 2C！f ( 0x) f ( 0) x( x 1)( x 2) (100 )解法一f ＇ (0)= limx=limxx 0x 0=lim (x-1)( x-2)⋯ (x-100)= （ -1 ）（ -2）⋯（ -100 ） =100 ！∴ D.x 0解法二 f(x)=a 101 x 101 + a 100 x 100+⋯ + a 1x+a 0， f ＇(0)= a 1，而 a 1 =（ -1）（ -2 ）⋯（ -100 ）=100 ！ .∴ D.点 解法一是 用 数的定 直接求解，函数在某点的 数就是函数在 点平均 化率的极限 .解法二是根据 数的四 运算求 法 使 解 .【例 2】 已知函数 f (x)= c n 0c 1n x1c n 2 x 21c n k x k1c n n x n ， n ∈ N * ，2knf ( 22 x ) f ( 2x)limx= .x 0f (2 2 x)f ( 2 x)f ( 2 2 x)f (2)解 ∵limx =2lim2 x+xx 0f 2(x) f ( 2)limx=2f ＇ (2)+ f ＇(2)=3 f ＇ (2)， x 0又∵ f ＇(x)= c n 1 c n 2 xc n k x k 1c n n x n 1 ，∴ f ＇(2)=1（ 2 c n 122 c n 22k c n k2 n c n n ） = 1 [(1+2) n -1]= 1 (3 n -1).22 2点 数定 中的“增量x ”有多种形式，可以 正也可以 ，如f ( x 0m x) f ( x 0 ) ， 且 其 定形 式 可 以 是 limf ( x 0 m x) f ( x 0 )limm xm x， 也 可 以 是x 0x 0f (x)f (x 0 )（令x=x-x 得到），本 是 数的定 与多 式函数求 及二 式定理有关 lim xxx 0知 的 合 ， 接交 、自然，背景新.【例 3】 如 的半径以 2 cm/s 的等速度增加， 半径 R=10 cm ， 面 增加的速度是.解 ∵ S=π R 2 ，而 R=R(t )， R t =2 cm/s ，∴ S t = (πR 2 ) t =2π R · R t =4π R ， ∴S t / R=10=4π R/ R=10=40 π cm 2/s.点评 R 是 t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间 t 而言的（ R 是中间变量） ，此题易出现“∵ S=π R 2， S ＇=2π R ， S ＇/ R=10=20π cm 2/s ”的错误 .本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值 .2004 年高考湖北卷理科第16 题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在 写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4 分 .二、与曲线的切线有关的问题【例 4】 以正弦曲线 y=sin x 上一点 P 为切点的切线为直线l ，则直线 l 的倾斜角的范围是A. 0,π∪3π,π B. 0,πC.π, 3πD.0, π ∪ π, 3π4444424解 设过曲线y=sinx 上点 P 的切线斜率角为α，由题意知， tan α =y ＇ =cosx.∵ cosx ∈ [-1 ， 1] ， ∴ tan α∈ [-1 ， 1] ，又α∈0,π ，∴α∈ 0, π ∪ 3π,π .4 4故选 A.点评 函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数 f ＇(x 0 )表示曲线， y=f(x)在点（ x 0，f(x 0 )）处的切线斜率，即 k=tan α (α为切线的倾斜角 )，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.【例 5】 曲线 y=x 3-ax 2 的切线通过点（ 0， 1），且过点（ 0， 1）的切线有两条，求实数a 的值 .解 ∵点（ 0， 1）不在曲线上，∴可设切点为（m,m 3-am2） . 而 y ＇=3x 2 -2ax ，∴ k 切 =3m 3 -2am ，则切线方程为 y=(3m 3-2am )x-2m 3 -am 2 .∵切线过（ 0， 1），∴ 2m 3-am 2+1=0.(*)设（ * ）式左边为 f (m)，∴ f (m)=0，由过（ 0， 1）点的切线有 2 条，可知 f (m)=0 有两个实数解，其等价于“f(m)有极值，且极大值乘以极小值等于0，且 a ≠ 0” .由 f(m)=2m 3-am 2+1，得 f ＇ (m )= 6m 3-am 2=2m(3m-a)，令 f ＇(m)=0，得 m=0， m= a，3∴ a ≠ 0， f (0)· f( a )=0，即 a ≠ 0， - 1a 3 +1=0，∴ a=3.3 27点评 本题解答关键是把 “切线有 2 条”的“形” 转化为 “方程有 2 个不同实根” 的“数”，即数形结合，然后把三次方程（* ）有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于 0” .另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上 .三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题【例 6】以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A.①、②B.①、③C.③、④D.①、④解由题意知导函数的图像是抛物线. 导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x 轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是③、④，故选 C.点评f＇(x)>0（或 <0 ）只是函数f＇(x)在该区间单递增（或递减）的充分条件，可导函数f＇ (x)在 (a， b)上单调递增（或递减）的充要条件是：对任意x∈ (a， b)，都有f＇ (x)≥ 0( 或≤0)且 f＇(x)在 (a，b)的任意子区间上都不恒为零 .利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题 .本题考查函数的单调性可谓新颖别致 .【例 7】函数 y=f (x)定义在区间（ -3，7）上，其导函数如图所示，则函数y=f(x)在区间（ -3 ，7）上极小值的个数是个.解如图， A、 O、 B、 C、 E 这 5 个点是函数的极值点，观察这 5 个极值点左、右导数的正、负，可知O 点、 C 点是极小值点，故在区间（-3， 7）上函数y=f (x)的极小值个数是 2 个 .点评导数f＇(x)=0的点不一定是函数y=f(x)的极值点，如使 f＇ (x)=0 的点的左、右的导数值异号，则是极值点，其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点.本题考查函数的极值可以称得上是匠心独运 .f(x)=x 的实数根；②【例8】设函数f(x)与数列{a n }满足关系：①a1 >α，其中α是方程a n+1=f(a n)， n∈ N *；③ f(x)的导数f＇(x)∈（ 0， 1） .（ 1）证明：a n >α， n∈ N*；（ 2）判断a n与a n+ 1 的大小，并证明你的结论.（ 1）证明：（数学归纳法）当 n=1 时，由题意知a1>α，∴原式成立.假设当 n=k 时， a k>α，成立 .∵f＇(x)>0 ，∴ f(x)是单调递增函数 .∴ a k+ 1 = f(a k)> f(α )=α，（∵α是方程 f (x)= x 的实数根）即当 n=k +1 时，原式成立.故对于任意自然数N * ，原式均成立 .（ 2）解： g(x)=x-f(x),x ≥α，∴ g ＇(x)=1-f ＇ (x)，又∵ 0< f ＇(x)<1，∴ g ＇ (x)>0. ∴ g ＇ (x)在 α,上是单调递增函数.而 g ＇(α )=α -f(α )=0 ，∴ g ＇ (x)>g(α ) (x>α )，即 x>f(x).又由（ 1）知， a n >α，∴ a n >f (a n )=a n+1 .点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新.四、与不等式有关的问题【例 9】 设 x ≥ 0，比较 A=xe -x， B=lg(1+x)， C=x 的大小 .1 x解 令 f(x)=C-B=x ( 1 x1)2-lg(1+ x)，则 f ＇(x)=x) 1 >0，1 x2(1 x∴ f(x)为 0,上的增函数，∴ f(x)≥ f(0)=0，∴ C ≥ B.令 g(x)=B-A=lg(1+ x)-xe -x，则当 x ≥ 0 时， g ＇ (x)=1e x (1 x 2) ≥ 0， ∴ g(x)为 0,1 x上的增函数，∴ g(x)≥ g(0)=0 ，∴ B ≥ A.因此， C ≥ B ≥ A （ x=0 时等号成立） .点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如 f (a)=φ (a)，要证明当 x>a 时，有 f (a)=φ (a)，则只要设辅助函数 F(x)= f(a)- φ (a)，然后证明 F(x)在 x>a 单调递减即 可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004 年全国卷Ⅱ的压轴题就考查了此知识点.五、与实际应用问题有关的问题【例 10 】 某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与 (a-x)和 x 2的乘积成正比；②当a x2时， y=a 3.并且技术改造投入比率：x 0,2 .∈ 0, t ,其中 t 为常数，且 t ∈2(a x)（ 1）求 y=f(x)的解析式及定义域；（ 2）求出产品的增加值y 的最大值及相应的 x 值 .解：（ 1）由已知，设 y=f(x)=k(a-x)x 2，∵当 xa2时， y= a 3 ，即 a 3=k · a· a 2，∴ k=8，则 f (x)=8-( a-x)x 2.2 4∵ 0<x≤ t ，解得 0<x ≤ 2at.∴函数 f(x)的定义域为 0<x ≤2at .2(a x) 2t12t 1（ 2）∵ f ＇(x)= -24 x 2+16ax=x(-24 x+16a)，令 f ＇(x)=0，则 x=0（舍去）， x2a，3当 0<x<2a时， f ＇(x)>0，此时 f(x)在（ 0，2a）上单调递增；33当 x>2a时， f ＇(x)<0，此时 f(x)是单调递减 .3∴当 2at1 ≥2a时，即 1≤ t ≤ 2 时， y max =f(2a)= 32 a 3 ；2t 33272at2a2at32a 3t 2当< 时，即 0<t <1 时， y max =f()= (2t 1) 3.2t 1 32t 1综上，当 1≤ t ≤ 2 时，投入2a万元，最大增加值是32a 3 ，当 0< t<1 时，投入 2at 万327 2t 132a 3 t 2 元，最大增加值是.(2t 1)3点评 f ＇(x 0)=0，只是函数f(x)在 x 0 处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函 数 f(x)确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时f (x)在定义区间内部又只有一个使 f ＇(x 0)=0的点x 0 ，那么就不必判断x 0 是否为极值点，取什么极值，可断定f(x 0)就是所求的最大或最小值.。