x 1 ( x )2 u u⎪( 1 , 2 , 0 )2017 全国研究生入学考试考研数学一真题解析本试卷满分 150，考试时间 180 分钟一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上. ⎧1- cos（1） 若函数 f (x ) = x > 0 ，在x = 0 处连续，则（ ） ⎨ ax ⎪⎩b , x ≤ 0 （A ） ab =2【答案】（A ）（B ） ab =- 2（C ） ab = 0 （D ） ab = 2 【 解析 】由连续的定义可知：lim f (x ) = lim f (x ) = f (0) ， 其中 f (0 )= l i m f x (=) ，x →0-x →0+1 x →0-1 lim f (x ) = lim = lim 2= 1，从而b = ，也即 ab = ，故选（A ）。

x →0+x →0+axx →0+ax 2a 2a 2 （2） 若函数 f (x ) 可导，且 f (x ) f '(x ) > 0，则（ ）（A ） f (1) > f (-1) （B ） f (1) < f (-1) （C ） f (1) > f (-1) （D ） f (1) < f (-1)【答案】（C ）【解析】令 F (x ) = f 2 (x ) ，则有 F '(x ) = 2 f (x ) f '(x ) ，故 F (x ) 单调递增，则 F (1) = F (-1) ，即[ f (1)]2 >[ f (-1)]2 ，即 f (1) > f (-1) ，故选 C 。

（3）函数 f (x , y , z ) = x 2 y + z 2 在点(1, 2, 0) 处沿向量n = (1,2,2)的方向导数为（ ） （A ）12 （B ） 6 （C ） 4 （D ） 2【答案】（D ）【 解 析 】 gradf ={2xy , x 2, 2z } ， 将 点 (1, 2, 0) 代 入 得 g r a d f ={ 4 , 1 ， 则∂f= gradf . =⎧1 2 ⎫2= 。

∂u{ 4 , 1⎨ ,0 } ⎬. ⎩3 3 ⎭3（4）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线v = v 1(t )（单位：m/s ），虚线表示乙的速度v = v 2 (t ) ，三块阴影部分面积的数值依次为10、20、3 ，计时开始1- cos x , 11⎛1 0 0⎝ 0 2 0C 0 ⎪后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则（）（A）t0= 10【答案】（C）（B）15 <t0< 20 （C）t0= 25 （D）t0> 25t t【解析】从0 到t 时刻，甲乙的位移分别为0 V (t)dt 与0 V (t)dt 要使乙追上甲，则有0⎰0 1 ⎰0 2t0[V (t) -V (t)]dt ，由定积分的几何意义可知， 25[V (t) -V (t)]dt = 20 -10 = 10 ，可知t = 25⎰0 2 1 ⎰0 2 1 0，故选（C）。

（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A）E -ααT 不可逆（B）E +ααT 不可逆（C）E + 2ααT 不可逆（D）E - 2ααT 不可逆【答案】（A）【解析】因为ααT 的特征值为0 （n-1重）和1，所以E -ααT 的特征值为1（n-1重）和0 ，故E -ααT 不可逆。

⎡2 0 0⎤⎡2 1 0⎤⎡1 0 0⎤（6）设矩阵A =⎢0 2 1⎥，B =⎢0 2 0⎥，C=⎢0 2 0⎥，则⎢⎥⎢⎣0 0 1⎥⎦⎢⎥⎢⎣0 0 1⎥⎦⎢⎥⎢⎣0 0 2⎥⎦（A）A 与C 相似，B 与C 相似（B）A 与C 相似，B 与C 不相似（C）A 与C 不相似，B 与C 相似（D）A 与C 不相似，B 与C 不相似【答案】（B）【解析】由（λE -A）=0 可知A 的特征值为 2,2,1。

0 ⎫3 -r(2E-A) =1。

∴ A 可相似对角化，且A ⎪ ⎪ ⎭由λE -B =0 可知B 的特征值为 2,2,1。

3 -r(2E-B ) = 2 。

∴B 不可相似对角化，显然C 可相似对角化，∴A 。

且B 不相似于C。

（7）设A, B 为随机事件，若0 <P(A) <1，0 <P(B) <1，则P( A B) >P( A B) 的充要条件是（A） P(B A) >P(B A) （B） P(B A) <P(B A)22 ≥ μ = n ∑ 1 n -1 1（C ） P (B A ) > P (B A )（D ） P (B A ) < P (B A )【答案】（A ）【解析】因为 P (A B )> P ( A B ) ，所以P ( AB ) > P ( AB ) = P ( A ) - P ( AB ) ，从而P (B ) P (B )1- P (B )P (AB ) > P (A )P (B )，且 P (B A ) = P ( AB ) , P (B A ) = P (B ) - P ( AB ) ，所以P (B A ) > P (B A ) 。

P ( A ) 1- P ( A )（8） 设 X 1, X 2不正确的是1 nX n (n 2) 为来自总体 N ( ,1)的简单随机样本，记 X X i ，则下列结论中 i =1（A ） ∑( X i i =1 - μ)2服从χ 2 分布 （B ） 2( X - X )2服从 χ 2 分布（C ） ∑( X i i =1- X )2服从χ 2 分布 （D ） n ( X - μ)2 服从 χ 2 分布【答案】（B ）【解析】（A ） X i - μN (0,1) 故∑( X i i =1- μ)2χ 2 (n ) ；（B ） X n - X 1⎛ x - x ⎫2(x - x )2⇒ n 1 ⎪ ⎝ ⎭即 n12χ 2 (1) 。

nn22 2 2 2（C ） 由 S = ∑( X i - X ) , (n -1)S i =1 = ∑( X i - X )i =1χ (n -1) 。

（D ） ( X - μ) N ⎛ 0,1 ⎫，则 n ( X - μ) N (0,1) ，所以n (X - μ)2 χ 2 (1) 。

n ⎪ ⎝ ⎭二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上. n n nN (0, 2) ⇒ X n - X1N (0,1)2χ 2 (1)n1 1 1 ⎰ 22（9） 已知函数 f (x ) =【答案】0 【解析】因为11 + x 2，则 f (3) (0) = 。

1 ∞n∞nf (x ) = = 1- x 2 + x 4 - x 6 += ∑(-x 2) = ∑(-1) x 2n1+ x 2n =0n =0∞nf '''(x ) = ∑(-1) 2n (2n -1)(2n - 2)x 2n -3n =0将 x = 0 带入 f '''(0) = 0（10） 微分方程 y ' + 2y ' + 3y = 0 的通解为 y = 。

【答案】e -x (c cos 2x + c 2 sin 2x )【解析】因为 y ' + 2y ' + 3y = 0 ，所以λ2+ 2λ + 3 = 0 ，λ = ±2i -1，通解为e -x (c cos 2x + c sin 2x )（11） 若曲线积分【答案】-1 【解析】xdx - aydy在区域 D = {(x , y ) x 2 + y 2 < 1}内与路径无关，则a = __。

Lx + y -1x-ayP (x , y ) =x 2 + y 2-1, Q (x , y ) =x 2+ y 2-1，∂P = ∂y -2xy (x 2 + y 2 -1)2 , ∂P =∂x 2axy(x 2 + y 2 -1)2∂P ∂P∂y = ∂x= 0 ，则2a = -2, a = -1（12）幂级数∑(-1)n -1nx n -1 n =1在区间(-1,1) 内的和函数S (x ) = 。

【答案】1。

(1 + x )2∞dy dx⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 2 1 -∞n -1n -1⎡ ∞n -1 n ⎤' ⎡ x ⎤'1 【解析】∑(-1)nxn =1= ∑(-1) ⎣ n =1 x ⎥⎦ = ⎢⎣1 + x ⎥⎦ = (1 + x )2。

⎡1 0 1⎤ （13）设矩阵 A = ⎢1 1 2⎥ ，α ,α ,α 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 A α , A α , A α 的秩为。

【答案】2 。

⎢ ⎥ ⎢⎣0 1 1⎥⎦1 2 31 2 3 【解析】因为(A α1, A α2 , A α3 ) = A (α1,α2 ,α3 ) ，⎡1 0 1⎤ ⎡1 0 1⎤ ⎡1 0 1⎤A = ⎢1 1 2⎥ → ⎢0 1 1⎥ → ⎢0 1 1⎥⎢⎣0 1 1⎥⎦ ⎢⎣0 1 1⎦⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦故 r ( A ) = 2 ，所以( A α1, A α2 , A α3 ) 秩为2 。

x - 4（14）设随机变量 X 的分布函数为 F (x ) = 0.5Φ(x ) + 0.5Φ( ) ，其中Φ(x ) 为标准正态分布函2数，则 EX = 。

【答案】2【解析】⎛ x -4 ⎫2 x 2 2 ⎪' 21 -⎝⎭2f (x ) = F(x ) =+⋅ 21 - x2 2 +-( x -4)22⋅22三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.xdy d 2 y (15)(本题满分10 分)设函数 f (u , v ) 具有2 阶连续偏导数，y = f (e , cos x ) ，求 dx【解析】由复合函数求导法则，可得：x =0 ，dx 2x =0 。

dy = dxf 'e x+ f '(-sin x )= f '(1,1) 故 x =0 1进一步地：= 1d 2 ydx 2 1 2 11 21 22 1 11 12 2 21 22 n1d 2 y= x'+ x d ( f ') -' - d ( f ') dx 2 e f 1 e dxcos xf 2 sin x 2 dx= e x f '+ e x ( f 'e x - f ' sin x ) - cos xf ' - sin x ( f 'e x - f ' sin x )= e x f '- cos xf ' + e 2x f ' - 2e x sin xf ' + sin 2 xf '故 x =0 = f 1'(1,1) - f 2'(1,1) + f 11'(1,1)(16) (本题满分 10 分)求lim∑kln(1+ k) 。