实变函数试题库及参考答案本科、题1设A, B为集合，贝U ABUB_AUB （用描述集合间关系的符号填写）2•设A是B的子集，贝U A_B （用描述集合间关系的符号填写）3•如果E中聚点都属于E，则称E是闭集4.有限个开集的交是开集5•设E i、E2是可测集，则m EUE2 _mE! mE?（用描述集合间关系的符号填写）n * _6•设E ?是可数集，则m E=07•设f x是定义在可测集E上的实函数，如果 a ?1, E x f x a是可测集，则称f x在E上可测8可测函数列的上极限也是可测函数9•设f n x f x , g n x g x ，贝V f n X g n x f X g x10 •设f x在E上L可积，贝y f x在E上可积11 •设A, B为集合，则B A U A A （用描述集合间关系的符号填写）12•设A 2k 1 k 1,2丄，则A=a （其中a表示自然数集N的基数）13•设E ?n，如果E中没有不属于E，则称E是闭集14 •任意个开集的并是开集15•设E1、E2是可测集，且E1 E2，则mE1 mE216.设E中只有孤立点，贝U m E =017•设f x是定义在可测集E上的实函数，如果a ?1, E x f x a是可测，则称f x在E上可测18 •可测函数列的下极限也是可测函数19•设f n x f x , g n x g x，贝卩f n x g n x f X g X20•设n X是E上的单调增收敛于f x的非负简单函数列，贝y E f x dx lim E n x dx21 •设A, B为集合，则A B UB B22•设A为有理数集，则A=a （其中a表示自然数集N的基数）23•设E ?n，如果E中的每个点都是内点，则称E是开集24 •有限个闭集的交是闭集25•设E ?n，则m E 0 26•设E是？n中的区间，贝U m*E =E的体积27•设f x是定义在可测集E上的实函数，如果 a 71, E x f x a是可测集，则称f x在E上可测28 •可测函数列的极限也是可测函数29•设f n X f x , g n x g x a.e.,贝f n X g x30•设f n x是E上的非负可测函数列，且单调增收敛于 f x，由勒维定理，有f x dx lim f n x dxE n E31 •设A, B 为集合，则B AI B UA=AU B32•设A为无理数集，则A=c (其中c表示自然数集0,1的基数)33•设E ?n，如果E中没有不是内点的点，则称E是开集34.任意个闭集的交是闭集35•设E ?n，称E 是可测集，如果T ?n, m*T m* TI E m* T I E c36•设E是外测度为零的集合，且 F E，则m*F =037•设f x是定义在可测集E上的实函数，如果a ?1, E xa f x b是可测，(a b )则称f x在E上可测38.可测函数列的上确界也是可测函数39•设f n x f x , g n x g x a.e.,贝U f n x g. x f x g x40•设f n x f x，那么由黎斯定理，f n x有子列f n k x，使f“k x f x a.e•于E41. 设A, B为两个集合，则A B_ AI B c.(等于)42. 设E R n,如果E满足E E(其中E表示E的导集),则E是闭.43. 若开区间(，)为直线上开集G的一个构成区间，则(，)满(i) (a,b) G (ii) a G,b G44. 设A为无限集.则A的基数A_a(其中a表示自然数集N的基数) 答案：45. 设E1,E2 为可测集,mE2 ,则m(E1 E2)_mB mE?. 答案：46. 设f (x)是定义在可测集E上的实函数,若对任意实数a ,都有E[x f (x) a]是可测集E上的可测函数.47. 设X。

是E( R)的内点,则m*E_0. 答案48. 设仁匕)为可测集E上的可测函数列，且f n(X)f(X),X E ,则由________ 黎斯—定理可知得，存在花&)的子列a.ef n k(X)，使得f n k (X) f (X) (X E).49. 设f (X)为可测集E( R n)上的可测函数，则f (X)在E上的L积分值不一定存在且|f(x)|在E上不一定L可积.50. 若f (X)是［a, b］上的绝对连续函数，则f (X)是［a,b］上的有界变差函数•51 •设A，B为集合，则AUB___(B A)UA 答案=52•设E R n，如果E满足E0 E (其中E0表示E的内部)，贝U E是开集53•设G为直线上的开集，若开区间(a,b)满足(a,b) G且a G,b G，则(a,b)必为G的构成区间54.设A {x |x 2n,n为自然数}，则A的基数=a(其中a表示自然数集N的基数)55•设A, B为可测集，B A且mB ，则mA mB_m(A B)答案=56•设f (x)是可测集E上的可测函数，则对任意实数a,b(a b)，都有E［x a f(x) b］是可测集57•若E( R)是可数集，则mE_0 答案=a.e58 •设f n(x)为可测集E上的可测函数列，f (x)为E上的可测函数，如果f n(x) f (x) (x E),则f n(x) f (X) X E不一定成立59•设f (x)为可测集E( R n)上的非负可测函数，则 f (x)在E上的L积分值一定存在60•若f (x)是［a,b］上的有界变差函数，则 f (x)必可表示成两个递增函数的差(或递减函数的差)多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案)1•设E 0,1中无理数，则(ACD )A E是不可数集B E是闭集C E中没有内点D mE 12•设E ?n是无限集，则(AB )A E可以和自身的某个真子集对等B E a ( a为自然数集的基数)C ED m*E 03•设f X是E上的可测函数，则(ABD )A函数f x在E上可测B f x 在E 的可测子集上可测C f x 是有界的D f x 是简单函数的极限 4.设f x 是a,b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ABC ） A f x 在a,b 上可测 B f x 在a,b 上L 可积 C f x 在a,b 上几乎处处连续 D f x 在a,b 上几乎处处等于某个连续函数 5•设E ? n ，如果E 至少有一个内点，则（BD ） A m *E 可以等于0 B m *E 0 C E 可能是可数集 D E 不可能是可数集6•设E ?n是无限集，则（AB ） A E 含有可数子集 B E 不一定有聚点 C E 含有内点D E 是无界的7•设f X 是E 上的可测函数，则（BD ） A 函数f x 在E 上可测 B f x 是非负简单函数列的极限C f x 是有界的D f x 在E 的可测子集上可测 &设f x 是a,b 上的连续函数，则（ A f x 在a,b 上可测 b B f x 在a,b 上L 可积，且 R abC f x 在a,b 上L 可积，但 RaD f x 在a,b 上有界9•设D x 是狄利克莱函数，即 D xABD )f x dx f x dx 0,1 a,ba,bx dx x dx中有理数，则（BCD ）中无理数A D x几乎处处等于1B D x几乎处处等于0C D x是非负可测函数 D D x是L可积函数n *10•设E ? , m E 0 ,则（ABD ）A E是可测集B E的任何子集是可测集C E是可数集D E不一定是可数集n 1 X E 小11 •设E ?n, E x c」U（AB ）0 x E cA当E是可测集时，E x是可测函数B当E x是可测函数时，E是可测集C当E是不可测集时，E x可以是可测函数D当E x是不是可测函数时，E不一定是可测集12.设f x是a,b上的连续函数，则（BD ）A f x在a, b上有界B f x在a, b上可测C f x在a, b上L可积D f x在a,b上不一定L可积13 .设f x在可测集E上L可积，则（AC ）A f x , f x都是E上的非负可积函数B f x和f x有一个在E上的非负可积C f x在E上L可积D f x在E上不一定L可积14.设E ?n是可测集，则（AD ）A E c是可测集B mEC E的子集是可测集D E的可数子集是可测集15•设f n x f x，则（CD ）A f n x几乎处处收敛于f xB f n x 一致收敛于f xC f n x 有子列f n x ，使f n x f x a.e. 于ED f n x 可能几乎处处收敛于f x16．设f x 是a,b 上有界函数，且L 可积，则（BD ）A f x 在a,b 上黎曼可积B f x 在a,b 上可测C f x 在a,b 上几乎处处连续D f x 在a,b 上不一定连续17.设E{［0,1］中的无理点}, 则(CD)（A ）E 是可数集（BE 是闭集（C）E 中的每个点均是聚点( D) mE 018.若E（R）至少有一个内点，则（BD)（A ）m E可以等于0B)m*E（C）E 可能是可数集（D）E 不可能是可数集19 . 设E［a,b］是可测集，则E 的特征函数E(X)是(ABC（A）［a,b］上的符号函数（C）E上的连续函数（B）［a,b］上的可测函数（D）［a,b］上的连续函数20.设f（x）是［a,b］上的单调函数，则（ACD（A） f （x）是［a,b］上的有界变差函数（B）f （x）是［a,b］上的绝对连续函数（C） f （x）在［a,b］上几乎处处收敛（D）f （x）在［a,b］上几乎处处可导21.设E{［0,1］中的有理点} ，则（AC)（A）E 是可数集（B）E 是闭集（C）mE0（D）E 中的每一点均为E 的内点22. 若E(R）的外测度为0，则（AB)（A）E 是可测集（B）mE 0（C）E 一是可数集（D）E 一定不是可数集23 .设mE , f n（x）为E上几乎处处有限的可测函数列，f（x）为E上几乎处处有限的可测函数，如果f n （x ） f （x ）,（ x E ），则下列哪些结果不一定成立（ ABCD(A ) E f (x)dx 存在(B ) f (x)在 E 上 L -可积a.e(C ) f n (x) f (x) (x E) (D ) lim f n (x)dx f (x)dxn EE24.若可测集E 上的可测函数f (x)在E 上有L 积分值，则(AD ) (A) f (x) L(E)与f (x) L(E)至少有一个成立 (B) f (x) L(E)且 f (x) L(E) (C) | f (x)|在E 上也有L -积分值 (D) | f(x)| L(E) 三、单项选择1. 下列集合关系成立的是（A )A B A I A B A B I A C A B UB AD B A U A B2. 若ER n 是开集，则（ B )A E EBE 0E C E E D E E4.设f n x 是E 上一列非负可测函数，则（ B ）Alim f n x dx lim f n x dxE nnnEnB E ijm f n匕n x dx lim nE f nx dxClim f n x dx lim f n x dxE nnEnD 血E f nnEx dxE 血f nEnx5. A下列集合关系成立的是（cA )cU A cUAI A cBUAccCI A I ADI AUA6. 若E R n是闭集，则（ C )A E E BEE C EE D E 0 E7•设E 为无理数集，则（C ）A 9. E 为闭集B E 是不可测集 F 列集合关系成立的是（C mED mE 010.设 R n , UAU A cU A cP 为康托集，则（B B mP 11•设 A P 是可数集 13•下列集合关系成立的是（P 是不可数集D P 是开集B 则B c A cB 则A cB cB 则AI B 则 AU B B14. R n ，则E 0 15. x,0mEmE2C E 是R 中闭集2D E 是R 中完备集16. x 是E 上的可测函数, 则（不一定是可测集是可测集是不可测集 不一定是可测集 1 7•下列集合关系成立的是（A ） (A ) (A B)UB AU B (B ) (A B) U B (C ) (B A)U A A(D )BAA18.若E R n 是开集，则（A ） E 的导集 E（B ） E 的开核(C ) E E（D ） E 的导集 E19.设P的康托集，贝U (C)(A) P为可数集(B) P为开集(C) mP 0(D) mP 120、设E是R1中的可测集，(X)是E上的简单函数，则(D )(A) (x)是E上的连续函数(B) (x)是E上的单调函数(C) (x)在E上一定不L可积(D) (x)是E上的可测函数21 •下列集合关系成立的是(A )(A) AI (B UC) (AI B)U(AI C)(B) (A B)I A(C(B A) I A(D) AUB AI B)22.若E R是闭集，则(B)(A) E0E(B) E E(CE E(D) E E)23.设Q的有理数集U( C )(A) mQ0(B) Q为闭集(C) mQ0(D) Q为不可测集24.设E是R n中的可测集，f(x)为E上的可测函数，若f(x)dxE0，则(A )(A)在E上，f (x)不一定恒为零(B)在E 上，f (x)0(C)在E 上，f(x) 0(D)在E 上，f (x)0四、判断题1.可数个闭集的并是闭集.(x)2.可数个可测集的并是可测集.( V )3.相等的集合是对等的.(V )4.称f x , g x在E上几乎处处相等是指使 f x g x的x全体是可测集.(V )5.可数个F集的交是F集.( x )6.可数个可测函数的和使可测函数.(V )7.对等的集合是相等的.(x )8.称f x ,g x在E上几乎处处相等是指使 f x g x的x全体是零测集.(x )9.可数个G集的并是G集.( V )10.零测集上的函数是可测函数(V )11. 对等的集合不一定相等•12. 称f X ,g x 在E 上几乎处处相等是指使 f 13. 可数个开集的交是开集14. 可测函数不一定是连续函数 .15. 对等的集合有相同的基数.16. 称f x ,g X 在E 上几乎处处相等是指使 f 17. 可列个闭集的并集仍为闭集18. 任何无限集均含有一个可列子集19. 设E 为可测集，则一定存在 G 集G ，使E(V )xg x 的x 全体是零测集. ( V )(X )(V )(V )xg x 的x 全体的测度大于 0(X)( X)( V )G , 且 m G E 0. ( V)20. 设E 为零测集，f x 为E 上的实函数，贝y f x 不一定是E 上的可测函数(X ) 21.设f x 为可测集E 上的非负可测函数，贝y f x L E22. 可列个开集的交集仍为开集 23. 任何无限集均是可列集25.设E 为零测集，则f x 为E 上的可测函数的充要条件是： 实数a 都有E x f (x) a 是可测集26.设f x 为可测集E 上的可测函数，则 f x dx 一定存在.E五、简答题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集 合A , A 的幕集2A 的基数大于 A 的基数.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系答：内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限 4.a,b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差 5. 简述集合对等的基本性质.答：A: A ;若 A: B ，贝y B: A ;若 A: B ，且 B : C ，贝U A: C . 6. 简述点集的内点、聚点、边界点和孤立点之间关系答：内点一定是聚点，内点不是孤立点，边界点由点集的孤立点和聚点组成 7. 可测集与开集、G 集有什么关系？24.设E 为可测集，则一定存在F 集F ,使FE ，且 m EF 0.(X )(X )0,开集G ，使G E ，使mGE ，或 G 集G ，使G E ，且mGE 0.8.a,b 上单调函数、有界变差函数与绝对连续函数有什么关系?答：绝对连续函数是有界变差函数，反之不然；有界变差函数是单调增函数的差，而单调函数是有界变差函数 9. 简述证明集合对等的伯恩斯坦定理 • 答：若 A: B B ，又 B: A A ，贝U A: B 10. 简述R 1中开集的结构答：设G 为R 1中开集，则G 可表示成R 1中至多可数个互不相交的开区间的并 11. 可测集与闭集、F 集有什么关系? 0,闭集F E ，使mEF 或F 集F E ，使mEF 012. 为什么说绝对连续函数几乎处处可微？答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限 的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微.13. 简述连续集的基数大于可数集的基数的理由答：连续集是无限集，因而包含可数子集，又连续集是不可数集，所以连续集的基数大于可数集的基数 .14. 简述R n 中开集的结构答：R n 中开集可表示成可数个互不相交的半开半闭区间的并 15. 可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系? 答：设f n X , f X 是可测集E 上的一列可测函数，那 当 mE 时，f n x f x , a.e 于 E ，必有 f n x f x . 反之不成立，但不论 mE 还是mE ,f n x 存在子列 仁x ，使f n x f x ,a.e 于E .当mE 时，f n x f x ,a.e 于E ，由Egoroff 定理可得f n x 近一致收敛于f x ，反之，无需条件mE，结论也成立.16. 为什么说有界变差函数几乎处处可微？答：由若当分解定理，有界变差函数可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处可微，所以有界变差函数几 乎处处可微. 17. 简述无穷多个开集的交集是否必为开集？1 1答：不一定，如I 11丄 1,1n 1n n18. 可测集E 上的可测函数与简单函数有什么关系？答：简单函数必是可测函数但可测函数不一定是简单函数，可测函数一定可表示成简单函数列的极限形式 19.a,b 上的有界变差函数与单调函数有什么关系？答：单调函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为单调函数，有界变差函数可表示成单调函数之差答：设E 是可测集，则 答：设E 是可测集，则20. 简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？1 1答：不一定 如U 1丄，1丄 1,1n 1n n21. 可测集E 上的可测函数与连续函数有什么关系？ 答：E 上连续函数必为可测函数但 E 上的可测函数不一定时连续函数， E 上可测函数在 E 上是“基本上”连续的函数22.a,b 上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数 六、计算题而x 3在0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系,而x 2在0,1上连续，所以1•设 f x2 x 3x0,1，其中E 为0,1中有理数集，求 f x dx .E 0,1解：因为mE0，所以f X x , a.e 于 0,1 ,于是 f x dx0,1x 3dx，x 3dx0,1R 1 x 3dx因此0,1dx0,1 中全体有理数,x "丄 r n「1」2丄x 0,1，求 limnf n x dx .0,1解：显然在0,1上可测，另外由f nx 定义知,x 0,a.e 于 0,1所以0,1dx 0dx0,1因此limnx dx 0.0,13.设fsin x 2x0,1 ，P 为康托集，求P0,1x dx .解：因为 mP 0，所以f xx 2,a.e 于 0,1是 f x dx0,1x 2dx0,1解：因为f n x 在0,1上连续，所以可测 n 1,2丄而 lim 0，所以 lim f n x 0.n1 n 2x 2n因此由有界控制收敛定理'2而cosx 在0,上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式2cosxdx0,1R 2 cosxdx 0sin x |21因此f x dx 1x 2dx0,11x 2dxox 3因此 o,ix dx4.设 f n xnx sin nxn 2x 20,1，求 limf n x dx .n0,1limnf n x dxlim f n x dx0dx 00,1110,10,13xx E5. 设f x，E 为 0,中有理数集，求f :x dxcosx x0- E22解: 因为mE 0，所以f 『x cosx,a.e 于0,1于是f x dx cosxdx又f n xnxsin nx nx 1 n xnx 1莎 2‘x O'1』"L0, —26•设f n x nx cos nx0,1，求lim f n x dx2 2 , x1 n x n0,1解：因为f n x在0,1上连续，所以可测n 1,2 丄又f nnxcos nxn2x2nx1 n2x2nx 12nx 2,x0,1 ,n1,2,L nx1 n2x20，所以而limn因此由有界控制收敛定理lim f n xn0.limn0,1 dx0,1limnx dx 0dx 00,17.设f・ 3sin x0,1P为康托集,0,1解：因为mP 0，所以f x,a.e于0,1x dx.曰是0,1 dx xdx0,1而x在0,1上连续，所以xdx 0,1 dxx22 |0因此0,1dx8.求limnln x nx cos xdx. 0,n解：令f n0,nln x n x -- e cosx 显然f n x 0, 上可测，且In x 0,n n e x cos xdx0,x dx因为f n x 不难验证g In x n x - e cosx n In x n0, ,n 1,2 ,LIn x n，当n足够大时，是单调递减非负函数，且lim g n x 0，所以nlim n0, In x n------ dx lim g n x dxnn0,Hm g n x 0dx0, 0,由勒贝格控制收敛定理lim f n x dx 0n0,故limnIn x n xe cosxdx 0. 0,n n9.设1 x为0,1上的有理点D x0 x为0,1上的无理点D x dx.0,1证明记E1是0,1中有理数集，E2是0,1中无理数集，则0,1 E, U E2,E1I E2，mE1 0,mE2 1,且Ei 所以 D x dx 1mE1 0mE20,10.10求n im 0 In x n x------------e cos xdx.n证明易知limn In x n xe cosx 0 n对任意x 0,n x cosxIn x n f(y) Uy 3时,f(n)InInlim n nIn x n lim n 0In xf (y)亠Inx y2y，f(y) 0.是单调减函数且非负（n 3）；limn0，由Levi单调收敛定理得------ dx n 0 n imIn x ndx 0dx 0，n 0L(E),再由Lebsgue 控制收敛定理得lim nIn x n x e 0 11. 2x x 3x 解: 因为 P 为康托集, 所以f x cosxdx In x n xlim ------------ e cosxdx 0dx 0 n n 00,1 P 0,1 mP ，其中P 为康托集，求0， m 0,1f x dx .所以 0,1x dx x 2mP x 3m 0,1 Px 312・求f n nx - 2 2 , 1 n x 0,1 ,求 limndx .解：易知: limnnx2 21 n x 0,1 令f n x nx2 2, gx1~~2，x 1~~2xnx1 n 2x 23nx 所以0 又因为g x 在 nx 2 r^gxx 0,1 , n 10,1 上Lebesgue 可积， 所以由控制收敛定理，得 lim nnx , E r^dx 七、证明题 1 •证明集合等式：（A B ）U B AU B 证明 c(A B)UB (AI B ) U B2•设E 是［0,1］中的无理数集，则 1 nx n xnx 2 —gx x n 20dx E(Al B )U(AI B)UBAI (BU B )U B AU BE 是可测集，且mE 1 证明 设F 是［0,1］中的有理数集，则F 是可数集， 从而mF 0 ,因此F 是可测集，从而F c 可测，c_ ______________________E [0,1]F [0,1] I F ，故E 是可测集.由于EI F ，所以1 m[0,1] m(E U F) mE mF 0 mF ，故 mF 13•设f(x),g(x)是E 上的可测函数，则 E[x| f(x) g(x)]是可测集证明 设｛r n ｝为全体有理数所成之集，则g(x)] U E[x|f(x) r n ]I E[x|g(x)制n 1另一方面，AUA 2 [A (Al A 2)] U A 2，所以E[x| f(x) g(x)] U E[x| f(x) r nn 1因为f(x),g(x)是E 上的可测函数,所以E[x| f (x) r n ], E[x|g(x) &]是可测集，n 1,2丄，于是由可测集性质知E[x| f (x) g(x)]是可测集4.设 f (x)是E 上的可测函数，则对任何常数a 0，有 mE[x | f (x) | a]1 a E|f(x)dx证明 因为f(x)在E 上可测，所以|f(x)|在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质,E[x||f(x)| a]adx Ef)|aJ f〔 dxE| f ( x) | dxE[x||f(x) | a]adx a mE[x |f(x)| a]，所以mE[x | f(x)|1a] - E | f(x) dx a E5.设 f (x)是E 上的 L 可积函数,｛E n ｝是E 的一列可测子集，且lim mE n 0，则 nlimnf (x)dx 0En证明因为lim mE nn0，所以0, N 1，当n N 时，mE n，又f(x)在E 上L 可积，所以由积分的绝对连续性,0,0,当eE, me时 | f (x)dx|e于是当n N 时, mE n 因此| Ef (x)dx |，即 lim f (x)dx 0nEn6.证明集合等式: (A B)Al B证明A (A B)AI (AI B c )c AI(A c U(B c )c ) AI (A c UB)7.设 证明 (AI A c )U(AIB) AI BA,A 2是[0,1]的可测子集，且mA mA 2 1，贝U m(A I A 2)因为 A [0,1], A 2[0,1]，所以 A ,UA 2[0,1]，于是 m(AUA 2)m[0,1]1e a dxe f(x)dx e f(x)dxE[x|f(x) a]E[x|f(x) a]E而E[x|f(x) a]e a dx e amE[x| f(x) a]，证明 (AUB) C (AUB)I C c (AI C c )U(BI C c ) (A C)U(B C)12•设E R n 是零测集，则 E 的任何子集F 是可测集，且 mF 0m(A 1 U A 2 ) m [A 1 (A 1I A 2)]UA 2m[A 1 (A 1I A 2)] mA 2 mA 1 m(A 1I A 2) mA 2于是m(A 1I A 2) mA 1 mA 2 m(A 1U A 2) 0&设f (x)是定义在可测集 E R n 上的实函数,E n 为E 的可测子集(n 1,2,L )，且E U E n ，则f (x)在E 上 n1可测的充要条件是f (x)在每个E n 上可测 证明 对任何实数 a ，因为E[x|f(x) a] U E n [x| f(x) a] U (E nn1n1I E[x| f(x) a])所以 f (x) 在 E 上可测的充要条件是对每个 1,2丄，f(x)在每个E n 上可测9•设f (x)是E 上的可测函数，则对任何常数 0，有 mE[x| f (x)a] e a e f(x)dx证 明 因 为 f (x) 在 E 上 可 测 ， 所 以e f(x)是非负可测函数， 于是由非负可测函数积分性质，所以mE[x| f (x) a]e a E e f(x)dx E10•设f (x)是E 上的可积函数, ｛巳｝为E 的一列可测子集，mE，如果 lim mE n mEn则 lim nE n f(x)dxE f(x)dx证明 因 f ( x) 在 E 上 L 可积， 由积分的绝对连续性知，对任意 0 ，存在 0 ，对任何 A E ，当 mA 时 有|f (x)dx | ， 由 于 lim mE n mEn， 故对上 述的0 ， 存 在 k 0 ， 当 n k 0 时 E nE ， 且 有mE mE n m(E E n )，| E f(x)dxE nf (x)dx | | E E f (x)dx| ，E Enlim f ( x)dxnE nE f (x)dx11 •证明集合等式：(AUB)C (A C)U(B C)证明设F E , m*E 0,由外测度的单调性和非负性，0 m*F mE 0 ,所以m*F 0,于是由卡氏条件易知F是可测集13-设f n(x), g n(x), f (x), g(x)是E上几乎处处有限的可测函数，且f n(x) f (x) , g n(x) f n(X)g n(x) f(x) g(x).证明对任何正数0,由于|(f n(x) g n(x)) (f(x) g(x))| 1f n(x) f (x)| ©(x) g(x)|所以E[x |(f n(x) g n(x)) (f(x) g(x))| ]E[x|f n(x) f(x)|RUE[x|g n(x)g(x)|‘于是mE[x|(f n(x) g n(x)) (f(x) g(x))| ]mE[x |fn(x) f (x)|—] mE[x |gn(x)g(x) |—] 0(n 故f n(x) g n(x) f(x) g(x)|f(x)| |g(x)|L 可积,又 f 2(x) g2(x) ,(|f(x)| |g(x)|)2 |f(x)| |g(x)|故..f 2(x) g2(x)在E上L可积g(x),则14•设f (x),g(x)是E上L 可积函数，则-f 2(x) g2(x)在E 上也是L 可积的证明因f(x), g(x)是E上L可积，所以| f (x) |,| g(x) |在E 上L 可积,从而15•设f (x)是可测集E上的非负可测函数，如果e f (x)dx0，则f (x) 0 a.e 于E证明反证, 令A E［x| f (x) 0］，则由f(x)的可测性知,A是可测集•下证mA 0，若不然，则mA由于A E[x| f(x) 0] U E[x| f(x)n 1 1-］，所以存在nN 1,使mE[x| f(x) —]Nf (x)dx 1 f (x)dxE[x|f(x)亓]1-^dx — mE[x | f (x) —] —0 E[x|f(x)-]N N N N因此 f (x)dx 0 ,矛盾，故f (x) 0 a.e于E16．证明等式：A (B UC) (A B)I (A C)证明A (BUC) AI (BUC)c AI (B c IC c) (AI B c)I (AI C c)(A B) I (A C) 17•设E R n是有界集，则m*E.证明 因为E 是有界集，所以存在开区间 I ，使E I由外测度的单调性，m *E m *I ,而m *I 11 |(其中|I |表示区间I 的体积)，所以*m E118. R 上的实值连续函数 f(x)是可测函数证明 因为f(x)连续，所以对任何实数 a , {x| f (x) a}是开集，而开集为可测集，因此f(x)是可测函数19•设mE ，函数f (x)在E 上有界可测，则f(x)在E 上L 可积，从而[a,b]上的连续函数是 L 可积的证明 因为f(x)在E 上有界可测，所以存在 M 0，使| f (x)| M , x E , | f(x) |是非负可测函数，由非负可测 函数的积分单调性，J f(x)|dx E Mdx M mE故|f(x)|在E 上L 可积，从而f (x)在E 上L 可积 因为[a,b]上的连续函数是有界可测函数，所以L 可积的20•设 f n (x) ( n 1,2, L )是 E 上的 L 可积函数，如果 lim |f n (x)|dx 0,则 f n (x)nEn证明 对任何常数 0 ,mE[x|f n (x)|] ]|f n(x )|dx1 所以mE[x|f n (x)|]| f n (x) | dxn£丽(刈]l1E | f n (x)|dx 0(n )因此f n (x) 021. 证明集合等式：AUB C ACUBC . 证明 AU B C AU B I C c AI C c U BI C c ACUBC22. 设E 。