2020年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。

选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。

2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．62．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ⋅的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2020个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7.将关于x 的多项式2019321)(x xx x x x f +-+-+-= 表为关于y 的多项式=)(y g,202019192210y a y a y a y a a +++++ 其中.4-=x y 则=+++2010a a a .8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。

12.如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列,,,,321 a a a 若,2005=n a 则=n a 5 .三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13.数列}{n a 满足：.,236457,1210N n a a a a n n n ∈-+==+证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数。

14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）15.过抛物线2x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足1λ=EC AE ;点F 在线段BC 上，满足2λ=FCBF，且121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P.当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程.2020年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案二、（本题满分50分）设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足.;,c ay bx b cx az a bz cy =+=+=+求函数zz y y x x z y x f +++++=111),,(222的最小值. 三、（本题满分50分）对每个正整数n ，定义函数⎪⎩⎪⎨⎧=.]}{1[,0)(不为平方数当为平方数当n n n n f（其中[x ]表示不超过x 的最大整数，]).[}{x x x -= 试求：∑=2401)(k k f 的值.2020年全国高中数学联赛解答一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．62．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ⋅的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个 【答案】A【解析】注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++DA CD BC AB 则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++AB CD BC AB AB CD CD BC BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即BD AC CD AB BC AD BD AC ⋅∴=--+=⋅,022222只有一个值得0，故选A 。

3．ABC ∆内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于1A 、1B 、1C 。

则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++⋅+⋅+⋅的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】A【解析】如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A ABC B C AA B ++=+=+- 2cos().22B C=-111111cos2cos()cos cos cos cos()cos()22222222sin sin ,cos sin sin ,cos sin sin ,cos 2222(sin sin sin )cos cos 2(sin sin sin ),22sin sin sin A B C A A B C A C B AA C B B C AC B BB A C CC A B AA BB B C A B C CC A B C A B Cππ+-+-∴=-=+=-+-=+=+=+∴+⋅+++=++∴==++同理原式 2..A 选5.方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 【答案】C【解析】),23cos()22cos(,223220,32ππππππ->-∴<-<-<∴>+ 即 .3sin 2sin >又,03cos 2cos ,03cos ,02cos ,32,220>-∴<>∴<<<<πππ方程表示的曲线是椭圆。

)()4232sin(232sin22)3cos 2(cos )3sin 2(sin *++-=--- π.0)(,0)4232sin(.423243,432322,0232sin ,02322<*∴>++∴<++<∴<+<<-∴<-<-式πππππππ即∴-<-.3cos 2cos 3sin 2sin 曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，选C 。

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7.将关于x 的多项式2019321)(x xx x x x f +-+-+-= 表为关于y 的多项式=)(y g,202019192210y a y a y a y a a +++++ 其中.4-=x y 则=+++2010a a a .【答案】61521+【解析】由题设知，)(x f 和式中的各项构成首项为1，公比为x -的等比数列，由等比数列的求和公式，得：.1111)()(2121++=----=x x x x x f 令,4+=y x 得,51)4()(21+++=y y y g 取,1=y 有.615)1(2120210+==++++g a a a a9.设α、β、γ满足πγβα20<<<<，若对于任意++++∈)cos()cos(,βαx x R x,0)cos(=+γx 则=-αγ 。

【答案】.34π 【解析】设),cos()cos()cos()(γβα+++++=x x x x f 由R x ∈，0)(≡x f 知，,0)(,0)(,0)(=-=-=-βγαf f f 即+--=-+-)cos(,1)cos()cos(βααγαβ =-=-=-∴-=-+--=-)cos()cos()cos(.1)cos()cos(,1)cos(αγβγαβγβγαβγ},34,32{,,,20.21ππβγαγαβπγβα∈---∴<<<<- 又<--<-βγαγαβ, .αγ- 只有.34.32παγπβγαβ=-∴=-=-10.如图，四面体DABC 的体积为61，且满足,32,45=++︒=∠AC BC AD ACB 则=CD . 【答案】3 【解析】,61)45sin 21(31=≥︒⋅⋅⋅⋅DABC V AC BC AD 即.12≥⋅⋅AC BC AD 又,32233≥⋅⋅≥++=AC BC AD AC BC AD等号当且仅当12===AC BC AD 时成立，这时⊥=AD AB ,1面ABC ，3=∴DC .11.若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2x y =上.则该正方形面积的最小值为 .【答案】80【解析】设正方形的边AB 在直线172-=x y 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为),(11y x C 、),(22y x D ，则CD 所在直线l 的方程,2b x y +=将直线l 的方程与抛物线方程联立，得.1122,12+±=⇒+=b x b x x令正方形边长为,a 则).1(20)(5)()(2212212212+=-=-+-=b x x y y x x a ① 在172-=x y 上任取一点（6，,5），它到直线b x y +=2的距离为5|17|,b a a +=∴②.①、②联立解得,80.63,3221=∴==a b b 或.80.12802min 2=∴=a a三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13.数列}{n a 满足：.,236457,1210N n a a a a n n n ∈-+==+【解析】证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数。