解：线圈的电路模型如图3.12所示。当线圈接在48V的直流电源上，电感相当于短路状态，由题设，可求出线圈的等效电阻为
当线圈改接在交流电源上时，阻抗模
感抗
电感
3.7当30V的直流电压加到某一线圈上时，消耗的功率为150W；改用230V的交流电压加到同一线圈上时，消耗的功率为3174W。求此线圈的感抗。
谐振频率
品质因数
谐振特征
电路呈纯阻性，阻抗最小，电流最大。
电阻电压等于电源电压，电感、电容上的电压大小相等、方向相反。
电路局部过电压，有可能会出现电感电压UL（电容电压UC）远远大于电源电压U的现象，因此，串联谐振又称为电压谐振。
电源不输出无功功率，电感与电容间进行能量交换。
(2)并联谐振
谐振的条件
两个正弦量之间的相位差为
（2） ，
波形图及相量图如图3.8所示
3.3两正弦交流电流分别为 ， ，试用相量法及相量图法求i=i1+i2的瞬时值三角函数式。
解：(1)相量法求解，采用幅值相量
（2）相量图法求解，如图3.9所示。
3.4图3.10所示为某电路中电压和电流的波形图。试分别写出它的三角函数表达式、相量形式，做出相量图，并求出其相位差。
3.2典型例题分析
例3.1下列各式是否正确？为什么？
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）式不正确。 是随时间做正弦变化的正弦电流，而 为表示该电流的相量，两者是不相等的。但相量表示了正弦电流的幅值和初相位，所以正弦量可以用相量表示。
（2）式正确。根据欧拉公式，可得
“Im”表示取复数虚部，而复数 的虚部就是 。
2.阻抗及其串、并联
（1）.当n个阻抗如图3.3（a）所示串联时，等效阻抗Z为
（2）.当n个阻抗如图3.4（a）所示并联时，等效阻抗满足
当两个阻抗并联时，它的等效阻抗为
分流公式
分别对应 之路的电流。
注：应用上述公式时，阻抗Z是复数。
3.RLC串联交流电路
RLC串联交流电路如图3.5所示。
1.瞬时值关系，即时域模型如图3.5（a）所示
解：三角函数表达式
相量形式
相位差
相量图如图3.11所示。
3.5有一个220V、4.2kW的电炉（纯电阻），接在220V的交流电源上，试求通过电炉的电流和正常工作时的电阻。
解：
3.6把一个线圈接在48V的直流电源上，电流为8A；将它改接于50Hz、120V的交流电源上，电流为12A，求线圈的电阻和电感。
第3章单相正弦交流电路
基本知识点：理解正弦交流电的三要素、相位差和有效值的概念；掌握正弦交流电的各种表示方法以及相互间的关系；理解电路基本定律的相量形式和阻抗的概念，并掌握采用相量法计算简单正弦交流电路的方法；掌握有功功率、无功功率、视在功率和功率因数的概念，了解提高电路的功率因数的方法及经济意义；了解电路的频率特性。
视在功率常用来表示电源设备的容量，表示它能向负载提供的最大功率。它定义为
为便于记忆，常引入如图3.7所示的功率三角形来辅助记忆，它与前面提到的电压三角形和阻抗三角形为相似三角形。
注意：电路中的有功功率和无功功率守恒，即
但视在功率不守恒，即
5．功率因数的提高
(1)功率因数
其大小取决于负载本身的参数。工业设备大多是感性负载，功率因数一般在0.5~0.8左右。当功率因数不等于1，电路中发生能量互换，出现无功功率，会有以下两方面危害：
谐振频率，当 时，
品质因数
谐振特征
电路呈纯阻性，阻抗最大，电流最小。
电阻电压等于电源电压，电感、电容上的电压大小相等、方向相反。
电路局部过电流，因此，并联谐振又称为电流谐振。
3.1.5交流电路的功率关系
1．瞬时功率p，单位为瓦特（W）
上式包含两项，第一项恒大于零，是不可逆部分，反映了网络消耗能量的情况；第二项是可逆部分，反映了网络内部、网络与电源之间能量交换的情况。
表3.1.1单一参数正弦交流电路
元件名称
电阻
电感
电容
时域伏安关系
时域模型
波形图
在正弦交流电路中
相量关系
相量模型
相量图
阻抗
R
感抗
阻抗
容抗
阻抗
有效值关系
相位关系
与 同相
超前 90
滞后 90
平均功率
无功功率
3.1.4一般单相交流电路
1.基尔霍夫定律的相量形式
KCL:
KVL:
这里要注意的是电流、电压的相量的和，而不是有效值的和，在后面例题中会遇到。
例3.2正弦交流电路如图3.9所示，已知 ， ， ，且 与 同相。试求端电压有效值U及电路消耗的有功功率P。
解：为便于叙述、计算，其它物理量的参考方向如图3.10（a）所示，
设 为参考相量，则
解：
例3.2如图3.1所示日光灯电路，接于220V、50Hz交流电源上工作，测得灯管电压为100V、电流为0.4A、镇流器的功率为7W。求：（1）灯管的电阻RL和镇流器的电阻R和电感L；(2)灯管消耗的有功功率、电路消耗的总有功功率以及电路的功率因数；（3）欲使电路的功率因数提高到0.9，需并联多大的电容？
3.10图3.15所示电路中电压表V1和V2的读数都是5V，试求两图中电压表V的读数。
解：图3.15两图中，两元件都是串联的关系，设端口电流i的参考方向如图3.16（a）、（b）所示，设电流为参考相量，即 。因电容元件的电压滞后其电流 ，由图3.16（c）知，
已知电压（电流）的有效值形式（即初相位未知），且无源元件参数待求。
选择参考相量（即初相位为零的相量）：串联电路选电流为参考相量；并联电路选电压为参考相量；混联电路选并联支路的电压为参考相量。
从参考相量出发，利用每一元件及支路间电压、电流的相位关系和电路中KCL、KVL的约束方程定性画出相量图。
利用相量图表示的几何关系，求得所需的电流相量和电压相量。
3.1基本理论
3.1.1正弦交流电基本概念
1.正弦量
定义：随时间按正弦规律变化的电压和电流，称为正弦交流电或正弦量。
2.正弦量的三要素
正弦量的三要素：幅值、角频率和初相位
以正弦电流为例，正弦电流的瞬时表达式为
式中，Im为幅值，ω为角频率， 为初相位。
（1）幅值（最大值）和有效值
幅值：用Im、Um表示；
2.相量法
运用相量和相量模型来分析正弦稳态电路的方法称为相量法。直流电路中学习过的各种定理、公式和方法均可引用到正弦稳态电路的分析，所不同的是，电压、电流应以相量表示，电阻、电感和电容以及它们所组成的串并联电路应以阻抗来表示。运用相量法分析正弦稳态电路，根据已知条件，共有两种题型：解析法和相量图法。具体分析步骤如下：
（3）初相位
：称为正弦量的相位角，t=0时的相位角 称为初相位
相位差：两个同频率的正弦量的相位之差等于初相位之差。
例如，设两个同频率正弦电压u和电流i分别为
则
注意：初相位 和相位差 的主值范围为
，
3.1.2正弦量的相量表示法
1．三角函数表示法：也称瞬时值表示法，例
2.正弦波形图表示法：如图3.1所示。
发电设备的容量没有被充分利用；
增加线路和供电系统的功率损耗。
(2)功率因数的提高
条件
保持用电设备原有的额定电压、额定电流及功率不变，即工作状态不变。
方法
常用的方法是在供电线路或感性负载两端并联电力电容器。其电路图和相量图如图3.8所示。
所需并联电容值为
3.1.6正弦稳态电路的分析与计算
1.相量模型
在正弦稳态情况下，将时域模型中的正弦量表示为相量，无源元件参数表示为阻抗，这样得到的模型称为电路的相量模型。
上述结果表明，电阻元件始终是在消耗有功功率，而电感元件和电容元件实际是不消耗有功功率的。有功功率是反映电路实际消耗功率情况的，电路总的有功功率也就是消耗在电路各电阻上的有功功率之和。
3．无功功率Q，单位为乏（var）
电路中的电感、电容实际不消耗能量，但在电感、电容和电源之间存在着能量转移，这种能量交换规模的大小，用无功功率Q表示，其定义式为
（3）式不正确。因为“U”表示电压的有效值，电压的瞬时值用“u”表示。则正确的表示应为
（4）式不正确。正确的应为
例3.2指出下列各式的错误：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）正弦量的瞬时值不等于相量，相量的大小通常用有效值表示，正确的写法是
（2）正弦量的有效值不等于相量，也不等于瞬时值，正确的写法是
3.3习题详解
习题3
3.2已知 ，
（1）指出各正弦量的幅值、有效值、角频率、初相位、周期、频率以及两个正弦量之间的相位差为多少？
（2）试分别用波形图、相量及相量图表示上述两正弦量。
解：（1）
幅值有效值角频率初相位周期频率
uA310V220V314rad/s 0.02s 50Hz
uB310V220V314rad/s 0.02s 50Hz
（3）此题缺少单位，正确的写法是
（4）有效值不等于相量，正确的写法是
例3.3指出下列各式哪些是对的，哪些是错的？
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
解：本题是根据电感和电容元件伏安关系的时域形式
，
电感和电容元件伏安关系的相量形式
，
电感和电容元件伏安关系的有效值关系
，
来判断，所以只有（4）、（5）、（6）式是正确的，其余各式都是错误的。
解：线圈接在30V的直流电源上，电感相当于短路状态，可求出线圈的等效电阻为
线圈接在交流电源上时，由题意可求出线路电流
3.8额定电压220V、功率为100W、功率因数为0.5的日光灯20盏，与额定电压220V、功率为40W的白炽灯并联接在电压为220V的交流电源上，求总电流和总功率因数，并绘出总电流与总电压的相量图。