线性控制系统稳定性的定义
[定义一] 如果线性系统受到扰动的作用而使被控量产生偏差， 当扰动消失后，随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋向于 零，即被控量趋向于原来的工作状态，则称该系统为渐进稳 定，简称稳定。反之，若在初始扰动的影响下，系统的被控 量随时间的推移而发散，则称系统不稳定。
该定义说明，由于扰动的作用，使系统的工作状态发生变 化，如果系统的状态能恢复到原来的工作状态，则系统是稳 定的。
如果系统的特征根都是负实根，或具有负实部的共轭复数根， 则其特征方程的各个系数均为正值，且特征方程无缺项。 若特征方程如有一个实部为正的根，则特征方程中各项系数不 会全为正值，即特征方程一定会有负系数或缺项出现。 这个条件是线性控制系统稳定的必要条件而非充分条件，换句 话说，当这个条件不满足时，可立即判断出系统是不稳定的。而 当这个条件满足时，也不能保证系统是稳定的，还需要进一步的 判断。
两种稳定性定义虽然表述不同，但在本质上是一致的。由
于系统的稳定性与外界条件无关，因此，可设线性系统的初始
条件为零，输入作用为单位脉冲信号 (t，) 这时系统的输出便
是单位脉冲响应
。y这(t相) 当于在扰动信号作用下，输出信
号偏离原来工作状态的情形。当时间趋于无穷大时，若脉冲响
应收敛于原来的工作状态，即：
ansn an1sn1 a1s a0 0
n
an (s ri ) 0 i 1
an[sn (r1 r2 rn )sn1 (r1r2 r2r3 r1r3 )sn2 (r1r2r3 r1r2r4 )sn3 (1)n r1r2r3 rn ] 0
an[sn (所有根之和)sn1 (所有根两两相乘之和)sn2 (所有根每三个根乘积之和)sn3＋ (1)n (所有根的乘积)] 0
l 1
l 1
可分单见别位，为脉p j若系冲统响ltim的应y实收(lt)数敛nl，0极于则点零式和，中共系轭统复的和数极极点p j点均应的应该实有为部 负l负nl，的数表实。明部而若。要则和使线
性系统稳定的充分必要条件可描述为：系统的所有极点必须
位于 左半平面。
s
i
k(t) ci
0
0
ci
t
0
i
ci
例
c a
b
b
如小球平衡位置b点,受外界扰动作用,从b点到 b点，外力作用 去掉后,小球围绕b点作几次反复振荡,最后又回到b点,这时小球的运 动是稳定的。
如果小球的位置在a或c点,在微小扰动下,一旦偏离平衡位置, 则无论怎样,小球再也回不到原来位置,则是不稳定的。
3.5.1 线性控制系统的稳定性—定义
an an2
sn an sn1 an1
an2 an3
an4 an5
b1
an1 an3 an1an2 anan3
an1
an1
sn2 b1 sn3 c1 sn4 d1
b2 c2 d2
b3 c3 d3
an an4
b2
an1 an5 an1
an1an4 anan5 an1
s1
f1
s0 g1
3.5.2 线性控制系统稳定性--充分必要条件说明
线性系统稳定的充要条件： 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有
负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的 左半部。
如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时 间单调增长；
如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项 是发散的周期振荡。
系统稳定时，要求：
T 0, K 0
2(1 K ) T (K 1)
2(1 K) T (K 1)
3.5.3 代数稳定性判据--劳斯稳定性判据
（二）、劳斯判据 设线性系统的特征方程为 ansn an1sn1 a1s a0 0
劳斯阵如下：
sn an an2 an4
sn1 an1 an3 an5
由于线性系统稳定的充分必要条件是其特征根（极点） 为负实根或具有负实部的共轭复根，因而对系统稳定性的判 别就转化为求解系统特征方程的根，并检验所求的根是否都 具有负实部的问题。
问题? 能否不用直接求解特征根，而根据系统特征方程的根与
其系数间的关系来判别特征根实部的符号呢？
线性控制系统的特征方程为 ：
sn2 b1
b2
b3
sn3 c1
c2
c3
s2 d1 d2 d3 s1 e1 e2 s0 f1
劳斯阵列的前两行元素由 特征方程的系数组成，第 一行由特征方程的第一、 三、五、…项系数组成， 第二行由特征方程的第二、 四、六、…项系数组成。 若特征方程有缺项，则该 项系数以零计。
以后各项的计算式为：
ltim则y线(t性) 控0制系统是稳
定的。下面讨论系统稳定性与系统极点之间的关系:
由于系统的输入为单位脉冲信号 R(s) ，1 则系统的输出为
m
kg (s zi )
Y (s) n1
i 1 n2
(s p j ) (s2 2 l nls nl2 )
j 1
l 1
部分分式展开得：
Y (s)
t0
t
稳定
临界稳定
发散
实根情况下系统的稳定性
j
j
j
0 k(t)
0
t0
t
0
t
衰减振荡－稳定 等幅振荡－临界稳定 发散振荡－不稳定
共轭复根情况下系统的稳定性
系统的特征根中只要有一个正实根或一对具有正实部的共 轭复根，则其脉冲响应函数就呈发散形式，系统不可能再回到 原来的工作状态，这样的系统就是不稳定系统。也就是说，对 于不稳定系统，特征方程至少有一个根位于 s右半平面，在这 种情况下，系统的输出对任何输入都是不稳定。如果特征方程 有一对共轭根在虚轴 ( j上) ，而其它根均位于 左s半平面，这样 的系统称为临界稳定系统，临界稳定系统的输出根据输入的不 同，或等幅振荡或发散，因此，在工程实际上视临界稳定系统 为不稳定系统。

A n1 j
j1 s p j
n2 l 1
Bl (s l nl ) Clnl 1 l 2
s2
2 l nl s
2 nl
单位脉冲响应为： n1 y (t) Aje p jt j 1
n2
n2
Ble lnlt cosnl
1
2 l
t
Cle lnlt sin nl 1 l 2 t，t 0
4 0
2
4
60 0
0135
系统不稳定。
3.5.3 代数稳定性判据--胡尔维茨稳定性判据的另一种形式
李纳德-戚帕特判据 设线性系统的特征方程为：
D(s) a sn a s n1 a s a 0 (a 0)
n
n1
1
0
n
线性系统稳定的充分必要条件是：
1）方程式所有系数为正；
2）所有奇数阶或偶数阶胡尔维茨行列式为正，即：Δ奇>0或Δ偶>0。 根据李纳德-戚帕特判据，若系统特征方程式的各项系数中有负或零（缺项）， 则系统是不稳定的。
对于n≤4的线性系统,其稳定的充要条件还可以表示为如下简单形式: n=2时:特征方程的各项系数严格为正. n=3时:特征方程的各项系数严格为正,且△2 >0 n=4时:特征方程的各项系数严格为正,且△2 >0以及△2>an-1 2an-4/an-3
例2 设线性系统的开环传递函数为：
G(s) K (s 1) s(Ts 1)(2s 1)
试判断系统稳定时K,T应满足的条件。
解： 系统特征方程式为 1+G(s)H(s)=0
s(Ts 1)(2s 1) K(s 1) 0 2Ts3 (2 T )s2 (1 K)s K 0
根据李纳德-戚帕特判据，K>0,T>0且 2 0
2T 2T
K 0
1 K
(2 T )(1 K ) 2TK 0
3.5 线性控制系统的稳定性分析
3.5.1 线性控制系统的稳定性 3.5.2 线性控制系统稳定性的充分必要条件 3.5.3 代数稳定性判据
3.5.1 线性控制系统的稳定性
稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的 首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内 部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变 化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小 的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。 因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。
a3 a1 0
3 a4 a2 a0 0, 4 0
0 a3 a1
例1： 设线性系统特征方程式为：
D(s) s4 2s3 3s2 4s 5 0
试判断系统的稳定性。
解：
1 a1 2
2
a1 a0
a3 6 a2
a1 3 a0
0
a3 a2 a1
a5 a4 12 a3
2400
1350
则系统稳定的充要条件是：an 0，且由特征方程系数构成的赫
尔维茨行列式的主子行列式全部为正。
an1 an3 an5 an7 0
an an2 an4 an6 0
赫尔维茨行列式： 0
0
an1 an3 an5 0 an an2 an4 0
0 0 0 0 a0 n n
胡尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二 项系数an1 至最后一项系数 a0 ，在主对角线以下各行中各项系数 下标逐次增加，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次减小。 当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。
有界输入－有界输出稳定性的概念是考虑在输入影响下系统 的行为。
尽管在引出稳定性的定义时提到了输入作用和扰动作用，但 对线性定常系统来说，系统稳定与否完全取决于系统本身的结 构和参数，稳定性是系统本身的一种特性，而与输入作用无关。 输入量不影响输出量的瞬态项，只影响输出量的稳态项。