专题08 排列组合二项式定理一、单选题1．张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（ ） A ．12B ．24C ．36D ．482．将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（ ） A ．18种B ．24种C ．32种D ．36种3．3男2女共5名同学站成一排合影，则2名女生相邻且不站两端的概率为（ ） A ．16B ．15C ．14D ．134．元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6 个参赛节目，其中有 2 个舞蹈节目，2 个小品节目，2个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外2个舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目的不同编排种数为 A ．48B ．36C ．24D ．125．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是（ ） A ．72B ．144C ．150D ．1806．石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（ ）种 A ．12B ．24C ．36D ．727．若03sin m xdx π=⎰，则二项式2mx ⎛⎝的展开式中的常数项为（ ） A ．6B ．12C ．60D ．1208．6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．2C ．2-D ．23-9．今有某种产品50个，其中一级品45个，二级品5个，从中取3个，出现二级品的概率是（ ）A ．35350C CB ．123555350C C C C ++ C ．3453501C C -D ．1221545545350C C C C C + 10．如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）A ．192B ．336C ．600D ．以上答案均不对二、多选题11．8展开式中系数最大的项（ ） A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项12．对于二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，以下判断正确的有（ ）A ．存在*n N ∈，展开式中有常数项；B ．对任意*n N ∈，展开式中没有常数项；C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项；D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项.三、填空题13．已知6(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba=___________. 14．若多项式()()()91021001910111x x a a x a x a x +=+++⋯++++，则2a =________. 15．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数12345A a a a a a =，其中A 的各位数中a (k=2,3,4,5)k 出现0的概率为13 ，出现1的概率为23，记2345X a a a a =+++，当程序运行一次时，X 的数学期望()E X =_____．四、解答题16．有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）（Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；（Ⅱ）求该学生参加考试的次数X的分布列及数学期望；（Ⅲ）求该学生被该校录取的概率.参考答案1．B【解析】分析：先安排首尾的两位家长，再将两个小孩捆绑作为一个整体，与剩下的两位家长作为三个元素安排在中间即可得到结论．详解：先安排首尾两个位置的男家长，共有22A种方法；将两个小孩作为一个整体，与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间，共有2323A A种方法．由分步乘法计数原理可得所有的排法为223 22324A A A=种．故选B．点睛：求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”2．B【解析】【分析】根据题意，分两种情况讨论：①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有11232212C A A=种情况，②没有人与甲在同一个学校，则有12223212C C A=种情况；则若甲要求不到A学校，则不同的分配方案有121224+=种；故选：B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中等题．3．B【解析】【分析】算出基本事件总数，算出2名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数，由此能求出2名女生相邻且不站两端的概率．解：3男2女共5名同学站成一排合影，基本事件总数55120n A==，2名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数23223224m A A A==，∴2名女生相邻且不站两端的概率为2411205mpn===．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．C【解析】【分析】根据题意，分3步进行分析：①将歌曲节目排在首尾；②将2个小品节目安排在歌曲节目的中间；③排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空位，将2个舞蹈节目全排列，安排在中间的3个空位，由分步计数原理计算可得结论.【详解】分3步进行：①歌曲节目排在首尾，有222A=种排法.②将2个小品节目安排在歌曲节目的中间，有222A=种排法.③排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空位，将2个舞蹈节目全排列，安排在中间的3个空位，有21236A A=种排法.则这2个节目出场的不同编排种数为22624⨯⨯=种，故选C.【点睛】本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.5．B【解析】根据题意，符合奇数的个位数字只能从1，3，5中选取；千位数字去掉个位数字选用的和0还剩下四个数字中选择，最后再排百、十位数字。

【详解】根据题意，符合奇数的个位数字只能从1，3，5中选取，组成没有重复数字的四位奇数分三步； 第一步，排个位，共有13C 种方法； 第二步，排千位，共有14C 种方法； 第三步，排百、十位，共有24A 种方法；所以，可组成112344144C C A =个四位奇数，故答案选B 。

【点睛】本题主要考查简单排列组合和计数原理的应用。

6．C 【解析】 【分析】4人分配到3个家庭，有一家去2人．由此利用排列组合的知识可得． 【详解】4名水暖工分配到3个家庭，其中有2人去同一家，因此分配方案数为234336C A =．故选：C ． 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，解题方法是分组分配法． 7．C 【解析】 【分析】先由微积分基本定理求得m ，然后由二项展开式通项公式求出常数项． 【详解】3sin m xdx π=⎰03cos |3(cos cos 0)6x ππ=-=--=，622m x x=⎛⎛++ ⎝⎝，其展开式通项公式为36662166(2)2r r r r r r r T C x C x ---+==，令3602r -=，4r =，∴常数项为2456260T C ==． 故选：C ． 【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，掌握这两个定理是解题基础． 8．B 【解析】 【分析】根据产生3x 项的来源，计算出6(1)x +展开式中32,xx 的系数即可求出．【详解】6(1)x +展开式的通项公式为16r r r T C x +=，分别令2,3x x ==，可求得2x 的系数为2615C =，3x 的系数为3620C =，故6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为1201510a ⨯-=-，解得2a =． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数，属于基础题． 9．C 【解析】 【分析】事件“出现二级品”的对立事件为“全是一级品”，计算出对立事件的概率，然后利用对立事件的概率公式计算出所求事件的概率. 【详解】由题意知，事件“出现二级品”的对立事件为“全是一级品”，事件“全是一级品”的概率为345350C C ，由对立事件的概率可知，出现二级品的概率是3453501C C -，故选C. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题时，事件中出现了至少问题，可以利用对立事件的概率公式来计算，也可以利用分类讨论思想来求解，考查计算能力，属于中等题.【解析】 【分析】根据题意，结合计数原理，先排E ，F ，G ，然后根据A ，B ，C ，D 的情况讨论． 【详解】解：E ，F ，G 分别有4，3，2种方法，①当A 与F 相同时，A 有1种方法，此时B 有2种，()1C 若与F 相同有C 有1种方法，同时D 有3种方法， ()2若C 与F 不同，则此时D 有2种方法，故此时共有：()432121312240⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法；②当A 与G 相同时，A 有1种方法，此时B 有3种方法，()1若C 与F 相同，C 有1种方法，同时D 有2种方法，()2若C 与F 不同，则D 有1种方法，故此时共有：()432131211216⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法；③当A 既不同于F 又不同于G 时，A 有1种方法，()1若B 与F 相同，则C 必须与A 相同，同时D 有2种方法； ()2若B 不同于F ，则B 有1种方法，(Ⅰ)若C 与F 相同则C 有1种方法同时D 有2种方法；(Ⅱ)若C 与F 不同则必与A 相同，C 有1种方法，同时D 有2种方法；故此时共有：()432111*********⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎣⎦种方法； 综上共有240216144600++=种方法． 故选：C ． 【点睛】本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题． 11．BC【分析】根据8的展开式的通项公式，求出展开式中各项系数，即得展开式中系数最大的项． 【详解】解：8的展开式的通项公式为 34841881()2r r rr r r r T C C x --+==g g ， 其展开式的各项系数依次为1、4、7、7、358、74、716、116、1256， 所以，展开式中系数最大的项是第3项和第4项． 故选：BC ． 【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，属于基础题． 12．AD 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案。