1
高二数学选修2-1
一. 选择题
1.下列语句是命题的为 （ ） A. x-1=0 B. 他还年青
C. 20-5×3=10
D. 在20020年前,将有人登上为火星
2.命题 “若△ABC 不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是( ) A. “若△ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角相等” B. “若△ABC 任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形” C. “若△ABC 有两个内角相等,则它是等腰三角形” D. “若△ABC 任何两个角相等,则它是等腰三角形”
3.“m =-2”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的 （ ）
A. 充分必要条件
B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件 4. 给出下列三个命题 ①若1->≥b a ,则
b
b a a +≥
+11
②若正整数m 和n 满足n m ≤,则2
)(n m n m ≤-
③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆O 2以),(b a Q 为圆心且半径为 1.当
1)()(2121=-+-y b x a 时,圆O 1与圆O 2相切
其中假命题的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．双曲线19
42
2-=-y x 的渐近线方程是（ ）
A ．x y 23±=
B ．x y 32±=
C ．x y 49±=
D ．x y 9
4
±=
6. 已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P 的轨迹是（ ） A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支
7.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是（ ） A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1)
8.已知向量)5,3,2(-=与向量),,4(y x -=平行,则x,y 的值分别是（ ） A. 6和-10 B. –6和10 C. –6和-10 D. 6和10
9.已知ABCD 是平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D 的坐标为（ ）
2
A. (1,1,-7)
B. (5,3,1)
C. (-3,1,5)
D. (5,13,-3) 10.
346
5
x y --=
表示的曲线为 A. 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D.圆 二. 填空题
11. 已知双曲线122
22=-b
y a x 的一条渐近线方程为034=-y x ，则双曲线的离心率为___
12.直线l 过抛物线2ay x = (a>0)的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为
4,则a= . 13.已知下列命题(c b a ,,是非零向量) (1)若⋅=⋅,则=; (2)若k =⋅,则b
=
(3) )()(⋅=⋅
则假命题的个数为___________
14. 已知向量(,12,1),(4,5,1),(,10,1)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线， 则k= . 三. 解答题
15.如果正△ABC 中,D ∈AB,E ∈AC,向量1
2
DE BC =,求以B,C 为焦点且过点D,E 的双曲线的离心率.
16.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. (Ⅰ)证明AD ⊥D 1F; (Ⅱ)求AE 与D 1F 所成的角; (Ⅲ)证明面AED ⊥面A 1FD 1;
3
17.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点.
（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离.
18. 设0<a,b,c<1,用反证法证明: (1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不同时大于.4
1
19.已知一条曲线上的每个点M 到A （1,0）的距离减去它到y 轴的距离差都是1. （1）求曲线的方程;（2）讨论直线y=kx+1 (k ∈R)与曲线的公共点个数.
20.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。
(1) 求双曲线C 的方程；(2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且
2>⋅(其中O 为原点)，求k 的取值范围。
4
高二数学
一. 选择题 CCBBA CDADA 二. 填空题
11. e 1, e 2; 12. 4; 13. 3; 14. 2
3
-
三. 解答题 15. 解
1 16. (Ⅰ)0),1,2
1
,0(),0,0,1(11=∙-=-=D D
∴AD ⊥D 1F
(Ⅱ)0),2
1
,1,0(1=∙=D
∴AE ⊥D 1F
AE 与D 1F 所成的角为900
(Ⅲ)由以上可知D 1F ⊥平面AED ∴面AED ⊥面A 1FD 1;
17．解法1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标为A （0，0，0）、
B （3，0，0）、
C （3，1，0）、
D （0，1，0）、 P （0，0，2）、
E （0，
2
1
，1）， 从而).2,0,3(),0,1,3(-== 设与的夹角为θ，则
,14
7
3723
||||cos ==⋅=PB AC θ
∴AC 与PB 所成角的余弦值为
14
7
3. （Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，O ，z ），则)1,2
1
,
(z x NE --=，由NE ⊥面PAC 可得， ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.021
3,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.
0,
0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x 即N 点的坐标为)1,0,63(
，从而N 点到AB 、AP 的距离分别为1，
6
3
.
5
解法2：几何法,略
18. 证明:假设结论不成立,即(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 都大于
.4
1 ∴(1-a)b (1-b)c (1-c)a>
64
1
(1) 而
41
)1(,41)1(,41)21()1(2≤-≤-=+-≤-c c b b a a a a
(1-a)b (1-b)c (1-c)a 64
1
≤ 与(1)式矛盾,假设不成立
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不同时大于.4
1
19. 解：（1）设点M(x,y)是曲线上任意一点,则2
2)1(y x +--|x |=1，
化简得:y 2
=2x+2|x|
所求曲线的方程. C 1：当x ≥0时， y 2
=4x ；C 2：当x<0时，y=0. （2）直线y=kx+1过定点(0,1)，
y=kx+1，与y 2=4x 联列：ky 2
-4y+4=0, ∆=16-16k
当k=0时,直线与C 1有一个公共点,而与C 2没有公共点,共1个公共点; 当k=1时, ∆=0，直线与C 1和C 2各一个公共点,共2个公共点;
当0<k<1时，∆>0,直线与C 1有2个公共点，和C 2一个交点,共3个公共点; 当k<0时，∆>0,直线与C 1有两个公共点，和C 2没有公共点,共2个公共点; 当k>1时, ∆<0,直线与C 1没有公共点，和C 2有1个公共点,共1个公共点; 所以:当k=0,或k>1时,直线与曲线有1个公共点;
当k=1,或k<0时,直线与曲线有2个公共点; 当0<k<1时,直线与曲线有3个公共点.
20.解：（Ⅰ）设双曲线方程为22
221x y a b
-= ).0,0(>>b a
由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由
故双曲线C 的方程为.13
22
=-y x （Ⅱ）将得代入13
222
=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得2
222
130,
)36(13)36(1)0.
k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩
即.13
12
2<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则
22
9
,,22,1313A B A B A B A B x x x x OA OB x x y y k k
-+==⋅>+>--由得
6
而2((1)()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=+=+++
22
22937
(1)2.1331k k k k -+=++=-- 于是2222
37392,0,3131
k k k k +-+>>--即解此不等式得.3312
<<k ② 由①、②得 .1312
<<k 故k
的取值范围为(1,-⋃。