2020浙江省高考数学考点针对性训练---三角函数及解三角形一、热点知识点汇编：1、三角函数特殊角函数值2、三角函数的图象与性质π3、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 ααcos tan = 4、二倍角的三角函数公式sin2α= 2sinαcosα cos2α=2cos 2α-1 = 1-2 sin 2α= cos 2α- sin 2α22tan tan21tan ααα=- 5、降幂公式 21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα-=6、升幂公式 1±sin2α= (sinα±cosα)21 + cos2α=2 cos 2α 1- cos2α= 2 sin 2α7、两角和差的三角函数公式cos (α-β) = cosαcosβ+sinαsinβ cos (α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ sin (α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ sin (α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）()sin cos a b αααϕ+=+ （其中tan baϕ=） 特殊地：sin cos )sin 2sin()cos 2sin()436πππααααααααα±=±=±±=±9、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。

”10、函数sin()y A x ωϕ=+中，振幅：A 周期：2T πω=初相：ϕ11、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ΔABC 外接圆半径） a : b : c = sin A : sin B : sin C12、余弦定理：a 2 = b 2 + c 2 – 2bc •cos A , b 2 = a 2 + c 2 – 2a c •cos B ,c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b •cos C222cos 2b c a A bc +-=, 222cos 2a c b B ac +-= , 222cos 2a b c C ab+-= 13、面积公式：S =21ab sin C = 21bc sin A = 21ac sin B二、专题集训：1、(2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2 x －cos2 x －23sin xcos x(x ∈R)． (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间． [解] (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2.(2)由cos 2x ＝cos2 x －sin2 x 与sin 2x ＝2sin xcos x 得f(x)＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2kπ≤2x ＋π6≤3π2＋2kπ，k ∈Z ， 解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k ∈Z ，所以f(x)的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋kπ，2π3＋kπ(k ∈Z).2、已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝3，f (C )＝0，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．解 (1)f (x )＝3sin 2x －2cos 2x －1＝3sin 2x －(cos 2x ＋1)－1＝3sin 2x －cos 2x －2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－4. (2)因为f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－2＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，又C ∈(0，π)，知－π6<2C －π6<116π，所以2C －π6＝π2，得C ＝π3. 因为sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2，又c ＝3，所以a ＝1，b ＝2.3、已知函数f(x)＝4tan x·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解](1)f(x)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠π2＋kπ，k ∈Z.f(x)＝4tan xcos xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin xcos x ＋23sin2x －3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x)－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k ∈Z. 由－π2＋2kπ≤2x －π3≤π2＋2kπ， 得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k ∈Z.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x －π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k ∈Z ，易知A∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.4、已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.(1)解 f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明 由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， ∴当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－12. ∴f (x )≥－12成立．5、已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，sin B －sin Asin C ＝b －c a ＋b. (1)求角A 的大小； (2)求b ＋c 的取值范围． 解 (1)由sin B －sin A sin C ＝b －ca ＋b 及正弦定理得(b －a )(b ＋a )＝(b －c )c ，所以a 2＝b 2＋c 2－bc cos A ＝12，则A ＝π3. (2)因为a ＝3，A ＝π3，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2，则b ＋c ＝2(sin B ＋sin C )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3，因为△ABC 为锐角三角形，所以B 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，则B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，所以b ＋c ∈(3，23]．6、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＋1a ＝4cos C ，b ＝1. (1)若sin C ＝217，求a ，c ；(2)若△ABC 是直角三角形，求△ABC 的面积．[解] (1)∵sin C ＝217，∴cos2C ＝1－sin2C ＝47，cos C ＝27.∵4cos C ＝a ＋1a ， ∴87＝a ＋1a ，解得a ＝7或a ＝77.又1a ＋a ＝4cos C ＝4×a2＋b2－c22ab ＝4×a2＋1－c22a ，∴a2＋1＝2(a2＋1－c2)，即2c2＝a2＋1.∴当a ＝7时，c ＝2； 当a ＝17时，c ＝27.(2)由(1)可知2c2＝a2＋1.又△ABC 为直角三角形，C 不可能为直角． ①若角A 为直角，则a2＝b2＋c2＝c2＋1，∴2c2－1＝c2＋1， ∴c ＝2，a ＝3，∴S ＝12bc ＝12×1×2＝22.②若角B 为直角，则b2＝a2＋c2，a2＋c2＝1.∴2c2＝a2＋1＝(1－c2)＋1，∴c2＝23，a2＝13，即c ＝63，a ＝33，∴S ＝12ac ＝12×63×33＝26.7、设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.8、已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足acos A ＝c2－cos C.(1)若b ＝4，求a ；(2)若c ＝3，△ABC 的面积为3，求证：3sin C ＋4cos C ＝5. (1)解 由a cos A ＝c 2－cos C 得sin A cos A ＝sin C 2－cos C. ∴2sin A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，即2a ＝b . ∵b ＝4，∴a ＝2.(2)证明 ∵△ABC 的面积为3，又由(1)知b ＝2a ， ∴12ab sin C ＝a 2sin C ＝3.①∵c ＝3，∴a 2＋4a 2－4a 2cos C ＝9，② 由①②消去a 2得3sin C ＝5－4cos C ， 即3sin C ＋4cos C ＝5.9、已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若在△ABC 中f (A )＋f (B )＝0，∠C ＝π6，求ab 的值．解 (1)f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x ＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由f (A )＋f (B )＝0得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－2A ＝0. 整理得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3＝0，又由A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，56π得2A －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，43π，∴2A －π3＝0或2A －π3＝π，解得A ＝π6或A ＝23π， ∴由正弦定理a b ＝sin A sin B ＝33或 3.10、已知向量a ＝⎝ ⎛cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x, 3sin x )，f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求三角形ABC 面积的最大值．解 (1)∵a ＝(－sin x ，cos x )，b ＝(－sin x ，3sin x )， 则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π， 当2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )时，f (x )取最大值是32. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，∴A ＝π3.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴12＝b 2＋c 2－bc ，∴b 2＋c 2＝12＋bc ≥2bc ，∴bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立)．∴S ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.∴当三角形ABC 为等边三角形时面积取最大值是3 3.11、设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.12、(浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2acos B. (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a24，求角A 的大小．[解] (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin Acos B ， 故2sin Acos B ＝sin B ＋sin(A ＋B) ＝sin B ＋sin Acos B ＋cos Asin B ， 于是sin B ＝sin(A －B).又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B<π， 所以B ＝π－(A －B)或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B.(2)由S＝a24得12absin C＝a24，故有sin Bsin C＝12sin A＝12sin 2B＝sin Bcos B.因为sin B≠0，所以sin C＝cos B．又B，C∈(0，π)，所以C＝π2±B.当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.13、△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且acos B＋bcos(B＋C)＝0.①证明：△ABC为等腰三角形；②若2(b2＋c2－a2)＝bc，求cos B＋cos C的值．[解]①证明：∵acos B＋bcos (B＋C)＝0，∴由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos(π－A)＝0，即sin Acos B－sin Bcos A＝0，∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝kπ，k∈Z.∵A，B是△ABC的两内角，∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC是等腰三角形.②由2(b2＋c2－a2)＝bc，得b2＋c2－a22bc＝14，由余弦定理得cos A＝1 4，cos C＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝1－2cos2 A＝7 8.∵A＝B，∴cos B＝cos A＝1 4，∴cos B＋cos C＝14＋78＝98.14、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos Aa＋cos Bb＝sin Cc.(1)证明：sin Asin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝65bc，求tan B.[解](1)证明：根据正弦定理，可设asin A＝bsin B＝csin C＝k(k>0)．则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，代入cos Aa＋cos Bb＝sin Cc中，有cos A ksin A＋cos Bksin B＝sin Cksin C，即sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin Asin B＝sin C．(2)由已知，b2＋c2－a2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos2A ＝45.由(1)知sin Asin B ＝sin Acos B ＋cos Asin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35 sin B ，故tan B ＝sin Bcos B ＝4.15、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a≠b ，c ＝3，cos2A －cos2B ＝3sin Acos A －3sin Bcos B. (1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积.[解] (1)由题意得1＋cos 2A 2－1＋cos 2B 2＝32sin 2A －32sin 2B ，即32sin 2A －12cos 2A ＝32sin 2B －12cos 2B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6.由a≠b ，得A≠B.又A ＋B ∈(0，π)，得2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.。