3⎫A.⎨x⎪－2≤x<2⎬3⎫C.⎨x⎪－2<x<2⎬B2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2017年江西南昌二模)已知集合A＝{x|y＝lg(3－2x)}，＝{x|x2≤4},则A∪B＝()⎧⎪⎩⎭B．{x|x<2}⎧⎪⎩⎭D．{x|x≤2}2．(2017年北京)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)3．(2017年广东茂名一模)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12斤4．(2017年北京)某三棱锥的三视图如图M1-1，则该三棱锥的体积为()图M1-1A．60B．30C．20D．105．设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n同时成立，则正整数n的最大值是()A．3B．4C．5D．66．(2017年山东)执行两次如图M1-2所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a值分别为()y 10．(2016 年天津)已知函数 f (x )＝sin 2 ＋ sin ωx － (ω>0)，x ∈R .若 f (x )在区间(π，2π)A.⎝0，8⎦B.⎝0，4⎦∪⎣8，1⎭C.⎝0，8⎦D.⎝0，8⎦∪⎣4，8⎦x ，且与椭圆 ＋ ＝1 有公共焦点，则 C 的方程为( )A. － ＝1B. － ＝1C. － ＝1D. － ＝1A.⎝－∞，－B.⎝ e ，＋∞⎭C.⎝－ e ，－2⎭D.⎝2， e ⎭a 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为 y ＝ e 2＋1⎫图 M1-2A ．0,0B ．1,1C ．0,1D ．1,07．某市重点中学奥数培训班共有 14 人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成 绩的茎叶图如图 M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则 m ＋n 的值是( )图 M1-3A ．10B ．11C ．12D ．13⎧⎪x ≥0，8．(2017 年浙江)若 x ， 满足约束条件⎨x ＋y －3≥0，则 z ＝x ＋2y 的取值范围是( )⎪⎩x －2y ≤0，A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)9．(2017 年广东惠州三模)(x ＋1)5(x －2)的展开式中 x 2 的系数为( ) A ．25 B ．5 C ．－15 D ．－20ωx 1 1 2 2 2内没有零点，则 ω 的取值范围是( )⎛ 1⎤ ⎛ 5⎤ ⎛ 1⎤ ⎡5 ⎫⎛ 1⎤ ⎡1 5⎤x 2 y 2 511．(2017 年新课标Ⅲ)已知双曲线 C ： 2－b2 x 2 y 212 3 x 2 y 2x 2 y 28 10 4 5x 2 y 2x 2 y 25 4 4 3 12．(2017 年广东茂名一模)已知 f (x )＝|x e x |，又 g (x )＝f 2(x )－tf (x )(t ∈R )，若满足 g (x )＝－ 1 的 x 有 4 个，则 t 的取值范围是( )⎛ ⎛e 2＋1 ⎫ ⎛ e 2＋1 ⎫ ⎛ e 2＋1⎫ e ⎭(n ∈N *)，则数列⎨S ⎬的前 n 项和为__________．16．在区间[0，π] 随机地取一个数 x ，则事件“sin x ≤ ”发生的概率为________．(2,30) (4,40) (5,60) (6,50) (8,70) (2)现准备勘探新井 7(1,25)，若通过 1,3,5,7 号井计算出的b ，a 的值(b ，a 精确到 0.01)相 (参考公式和计算结果：b ＝∑ x y ∑ x，a ＝ y －bx ， ∑ x 2 ＝94， ∑x^ ^ 4 4 点 F 在棱 SC 上，且SF ＝λSC ，SA ∥平面 BEF .第Ⅱ卷(非选择题 满分 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生必须作答．第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．平面向量 a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹 角，则 m ＝________.x 2 y 214．设 F 是双曲线 C ：a 2－b 2＝1 的一个焦点，若 C 上存在点 P ，使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为__________．15．(2017 年广东广州综合测试二)设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 2＝12，S n ＝kn 2－1⎧ 1 ⎫ ⎩ n ⎭12三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分 12 分)(2017 年广东深圳一模△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，已知 2a ＝ 3c sin A －a cos C .(1)求 C ； (2)若 c ＝ △3，求 ABC 的面积 S 的最大值．18．(本小题满分 12 分)(2017 年广东梅州一模)某集团获得了某地深海油田区块的开采 权，集团在该地区随机初步勘探了部分口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团 按网络点来布置井位进行全面勘探. 由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有 井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用．勘探初期数 据资料见如表：井号 I1 2 3 4 5 6坐标(x ，y )/km (1，y )钻探深度/km出油量/L2 4 5 6 8 10 40 70 110 90 160 205(1)1～6 号旧井位置线性分布，借助前 5 组数据求得回归直线方程为 y ＝6.5x ＋a ，求 a ， 并估计 y 的预报值；^ ^ ^ ^比于(1)中 b ，a 的值之差不超过 10%，则使用位置最接近的已有旧井 6(1，y )，否则在新位 置打开，请判断可否使用旧井？^n i =1n ii 2 i - nx ⋅ y- nx 22i -1 2i -1 2i -1i =1 i =1y＝945)i =1(3)设出油量与勘探深度的比值 k 不低于 20 的勘探并称为优质井，那么在原有 6 口井中 任意勘探 4 口井，求勘探优质井数 X 的分布列与数学期望．19．(本小题满分 12 分)(2017 年江西南昌二模)如图 M1-4，已知四棱锥 S -ABCD 中，底 面 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD ＝60°，SA ＝SD ＝ 5，SB ＝ 7，点 E 是棱 AD 的中点，→ →(1)求实数 λ 的值；(2)求二面角 S-BE-F 的余弦值．(2017 年广东调研)已知曲线 C 1 的参数方程为⎨ (α 为参数)，以坐标原点(2017 年广东梅州一模)设函数 f (x )＝⎪x ＋m ⎪＋|x －2m |(m >0)．( ⎩ △2图 M1-420．(本小题满分 12 分)(2017 年天津)设 a ，b ∈R ，|a |≤1.已知函数 f (x )＝x 3－6x 2－3a (a －4)x ＋b ，g (x )＝e x f (x )．(1)求 f (x )的单调区间；(2)已知函数 y ＝g (x )和 y ＝e x 的图象在公共点(x 0，y 0)处有相同的切线． ①求证：f (x )在 x ＝x 0 处的导数等于 0；②若关于 x 的不等式 g (x )≤e x 在区间[x 0－1，x 0＋1]上恒成立，求 b 的取值范围． 21． 本小题满分 12 分)(2017 年广东韶关二模)已知动圆 P 过定点 M (－ 3，0)且与圆 N ： (x － 3)2＋y 2＝16 相切，记动圆圆心 P 的轨迹为曲线 C .(1)求曲线 C 的方程；(2)过点 D (3,0)且斜率不为零的直线交曲线 C 于 A ，B 两点，在 x 轴上是否存在定点 Q ， 使得直线 AQ ，BQ 的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明 理由．请考生在第 22～23 两题中任选一题作答．注意：只能作答在所选定的题目上．如果多 做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分 10 分)选修 4-4：极坐标与参数方程⎧⎪x ＝2＋3cos α， ⎪y ＝－3＋3sin αO 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρcos θ－2ρsin θ－3 ＝0.(1)分别写出曲线 C 1 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；(2)若曲线 C 1 与曲线 C 2 交于 P ，Q 两点，求 POQ 的面积． 23．(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲⎪ 8 ⎪(1)求证：f (x )≥8 恒成立；(2)求使得不等式 f (1)>10 成立的实数 m 的取值范围．3⎫1.D解析：因为A＝{x|y＝lg(3－2x)}＝{x|3－2x>0}＝⎨x⎪x<2⎬，B＝{x|－2≤x≤2}．所4．D解析：该四棱锥体积为××3×5×4＝10.7．C解析：由题意，得＝88，m＝3，n＝9.所以m B⎩B10．D解析：f(x)＝＋－＝sin⎝ωx－4⎭，f(x)＝0⇒sin⎝ωx－4⎭＝0，kπ＋因此ω∉⎝8，4⎭∪⎝8，4⎭∪⎝8，4⎭∪…＝⎝8，4⎭∪⎝8，＋∞⎭⇒ω∈⎝0，8⎦∪⎣4，8⎦.故选C(2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)⎧⎪⎩⎭以A∪B＝{x|x≤2}．故选D.⎧⎪a＋1<0，2．解析：(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以⎨⎪1－a>0.解得a<－1.3．A解析：依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2.由等差数列性质，得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A.11325．解析：因为[x]表示不超过x的最大整数．由[t]＝1，得1≤t<2，由[t2]＝2，得2≤t2<3.由[t3]＝3，得3≤t3<4.由[t4]＝4，得4≤t4<5.所以2≤t2< 5.所以6≤t5<4 5.由[t5]＝5，得5≤t5<6，与6≤t5<45矛盾，故正整数n的最大值是4.6．D解析：第一次x＝7,22<7，b＝3,32>7，a＝1；第二次x＝9,22<9，b＝3,32＝9，a＝0.故选D.78＋88＋84＋86＋92＋90＋m＋957＋n＝12.故选C.8．D解析：如图D204，可行域为一开放区域，所以直线过点A(2,1)时取最小值4，无最大值．故选D.图D2049．解析：x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5，含有x2项的构成为－20x2＋5x2＝－15x2.故选C.1－cosωx sinωx12⎛π⎫⎛π⎫2222π4所以x＝ω∉(π，2π)，(k∈Z)．⎛11⎫⎛55⎫⎛99⎫⎛11⎫⎛5⎫⎛1⎤⎡15⎤D.x2y2b 11．B解析：双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±a x，椭圆中：a2＝12，b2＝3，∴c2＝a2－b2＝9，c＝3.即双曲线的焦点为(±3,0)．⎪⎩c ＝a＋b，则双曲线 C 的方程为 － ＝1.当 m ∈⎝0，e ⎭时，f (x )＝m 有 3 个根； 当 m ∈⎝e ，＋∞⎭时，f (x )＝m 有 1 个根； 因此，当关于 m 的方程 m 2－tm ＋1＝0 两根分别在⎝0，e ⎭，⎝e ，＋∞⎭时，满足 g (x )＝－⎛1⎫＝ 1 －t 1＋1<0，解得 t >e 2＋1.故选|c|·|a| |c|·|b| 5 12，解得 k ＝4.所以 S n ＝4n 2－1， ＝ 2 ＝ ＝ ⎝2n －1－2n ＋1⎭.则数列⎨S ⎬的前 n 项和为 ⎝1－3⎭＋ ⎝3－5⎭＋…＋ ⎝2n －1－2n ＋1⎭＝ ⎝1－2n ＋1⎭＝ ⎡ ⎤ 16. 解析：由正弦函数的图象与性质知，当 x ∈⎣0，6⎦∪⎣ 6 ，π⎦时，sin x ≤ .⎛π－0⎫＋⎛π－5π⎫所以所求概率为 ＝ .2－1 ⎫ 1 ⎫ ⎧⎪b ＝ 5， 据此可得双曲线中的方程组：⎨a 22 2 2c ＝3.解得 a 2＝4，b 2＝5.x 2 y 24 5故选 B.12．B 解析：令 y ＝x e x ，则 y ′＝(1＋x )e x .由 y ′＝0，得 x ＝－1.当 x ∈(－∞，－1)时， y ′<0，函数 y 单调递减；当 x ∈(－1，＋∞)时，y ′>0，函数 y 单调递增．作出 y ＝x e x 的图 象，利用图象变换得 f (x )＝|x e x |的图象如图 D205，令 f (x )＝m ，图 D205⎛ 1⎫⎛1 ⎫⎛ 1⎫ ⎛1 ⎫ 1 的 x 有 4 个．令 h (m )＝m 2－tm ＋1，由 h (0)＝1>0 和 h ⎝e ⎭ e 2 e e B.13．2 解析：a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则 c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝ 5，|b |＝2 5，c·a c·b 5m ＋8a · c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，∴ ＝ .∴ ＝8m ＋20.解得 m ＝2.2 514. 5 解析：根据双曲线的对称性，不妨设 F (c,0)，虚轴端点为(0，b )，从而可知点(－c 2 4b 2c,2b )在双曲线上，有a b 2 ＝1，则 e 2＝5，e ＝ 5. n15.2n ＋1 解析：令 n ＝1，得 a 1＝S 1＝k －1；令 n ＝2，得 S 2＝4k －1＝a 1＋a 2＝k －1＋1 1 1 1⎛ 1 ⎧ 1 ⎫ S n 4n －1 (2n ＋1)(2n －1)2 ⎩ n ⎭1⎛1 1⎫ 1⎛1 1⎫ 1⎛ 1 1 ⎫ 2 2 2 1⎛ n 2 2n ＋1.1 π⎤ ⎡5π 1 32 ⎝6 ⎭ ⎝ 6 ⎭ 1π 317．解：(1)由已知及正弦定理，可得 2sin A ＝ 3sin C sin A －sin A cos C ， 在△ABC 中，sin A >0，⎛ ∴ sin C － cos C ＝1.∴sin ⎝C －6⎭＝1.∵0<C <π，∴－ <C － < .∴C － ＝ .∴C ＝ .(2)方法一，由(1)知 C ＝ ，∴sin C ＝ .∵S ＝ ab sin C ，∴S ＝ ab .∵cos C ＝ ，∴a 2＋b 2＝3－ab .∴S ＝ ab ≤ .∴△ABC 的面积 S 的最大值为 .方法二，由正弦定理可知 ＝ ＝ ＝2，∵S ＝ ab sin C ，∴S ＝ 3sin A sin B .∴S ＝ 3sin A sin ⎝3－A ⎭.⎛ ∴S ＝ sin ⎝2A ＋6⎭－ 4 ∵0<A < ，∴ <2A ＋ < .∴当 2A ＋ ＝ ，即 A ＝ 时，S 取最大值 .又 ∑ x 22i －1＝94， ∑ x y＝945，所以b ＝ ∑ xy - 4 x y∑ x- 4 x2 ＝ ≈6.83. a ＝ y －b x ＝46.25－6.83×4＝18.93. 即b ＝6.83，a ＝18.93，b ＝6.5，a ＝17.5. b －ba －a ≈5%， ≈8%，均不超过 10%，∴2＝ 3sin C －cos C .3 1 π⎫ 2 2π π 5π6 6 6π π 2π6 2 32π 33 2 1 32 4a 2＋b 2－c 22ab∵a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤1(当且仅当 a ＝b ＝1 时等号成立)．3 34 434a b csin A sin B sin C12⎛π ⎫3 π⎫ 2 3 .π π π 5π3 6 6 6π π π 36 2 6 418．解：(1)因为 x ＝5， y ＝50.回归直线必过样本中心点( x ， y )， 则 a ＝ y －b x ＝50－6.5×5＝17.5.故回归直线方程为 y ＝6.5x ＋17.5.当 x ＝1 时，y ＝6.5＋17.5＝24，即 y 的预报值为 24. (2)因为 x ＝4， y ＝46.25.4 4 2i -1 2i -1i =1^4 i =14 i =12i -1 2i -122i -1 945－4×4×46.25 94－4×42 i =1^ ^^ ^ ^ ^ b a因此使用位置最接近的已有旧井 6(1,24)．C 6 5 C 6 15 C 6 15E (X )＝2× ＋3× ＋4× ＝ .∵△GEA ∽△GBC ，∴ ＝ ＝ .∴ ＝ ＝ SF ＝ SC .∴λ＝ . 则 A (1,0,0)，B (0， 3，0)，S (0,0,2)，平面 SEB 的法向量 m ＝EA ＝(1,0,0)． 则 n ⊥EB ⇒(x ，y ，z )·(0， 3，0)＝0⇒y ＝0， n ⊥GF ⇒n ⊥AS ⇒(x ，y ，z )·(－1,0,2)＝0⇒x ＝2z ， ∴cos 〈m ，n 〉＝ ＝ .即所求二面角的余弦值是 .⎧⎪ g ( x ) = e x 0 , 由题意知 ⎨ ⎧ f ( x )e x 0 = e x 0 ,⎧f (x 0)＝1， 所以 ⎨ 解得⎨⎪⎩ e x 0 [ f ( x ) + f '( x )] = e x 0 . ⎪f ′(x 0)＝0. (3)由题意，1,3,5,6 这 4 口井是优质井，2,4 这两口井是非优质井， ∴勘察优质井数 X 的可能取值为 2,3,4，C 2C 2 2 C 3C 1 8 C 4C 0 1 P (X ＝2)＝ 4 4 2＝ ，P (X ＝3)＝ 4 4 2＝ ，P (X ＝4)＝ 4 4 2＝ .X2 3 4P2 8 1 5 15 152 8 1 85 15 15 319．解：(1)如图 D206，连接 AC ，设 AC ∩BE ＝G ，连接 FG . 则平面 SAC ∩平面 EFB ＝FG . ∵SA ∥平面 EFB ，∴SA ∥FG .AG AE 1GC BC 2SF AG 1 1 1 FC GC 2 3 3图 D206(2)∵SA ＝SD ＝ 5，∴SE ⊥AD ，SE ＝2.又∵AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°，∴BE ＝ 3.∴SE 2＋BE 2＝SB 2.∴SE ⊥BE .∴SE ⊥平面 ABCD .以 EA ，EB ，ES 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，→设平面 EFB 的法向量 n ＝(x ，y ，z )，→→ →令 z ＝1，得 n ＝(2,0,1)，m · n 2 5 2 5|m |·|n | 5 520．(1)解：由 f (x )＝x 3－6x 2－3a (a －4)x ＋b ，可得 f ′(x )＝3x 2－12x －3a (a －4)＝3(x －a )[x －(4－a )]， 令 f ′(x )＝0，解得 x ＝a ，或 x ＝4－a . 由|a |≤1，得 a <4－a .当 x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，a ) (a,4－a ) (4－a ，＋∞) f ′(x ) ＋ － ＋ f (x ) ↗ ↘ ↗所以 f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，(4－a ，＋∞)，单调递减区间为(a,4－a )． (2)①证明：因为 g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]，⎪⎩ g '( x 0 ) = e x 0 ,0 0 0故曲线 C 的方程为 ＋y 2＝1.⎧Δ＝(6m )－4×5(4＋m )>0，⎩y · y ＝5.x 1· x 2＝m 1 2 2y · y ＋3m (y ＋y )＋9＝ . (x 1－t )(x 2－t )＝x 1· x 2－t (x 1＋x 2)＋t 4＋m 2 4＋m 2 4＋m 2 所以 k AQ · k BQ ＝ 1 y －0 y 2－0 x 1－t x 2－t⎩ 2＋＝－6m所以 f (x )在 x ＝x 0 处的导数等于 0.②解：因为 g (x )≤e x ，x ∈[x 0－1，x 0＋1]，由 e x >0，可得 f (x )≤1. 又因为 f (x 0)＝1，f ′(x 0)＝0，所以 x 0 为 f (x )的极大值点．由(1)知 x 0＝a . 另一方面，由于|a |≤1，故 a ＋1<4－a .由(1)知 f (x )在(a －1，a )上单调递增，在(a ，a ＋1)上单调递减，故当 x 0＝a 时，f (x )≤f (a )＝1 在[a －1，a ＋1]上恒成立，从而 g (x )≤e x 在[x 0－1，x 0＋1] 上恒成立．由 f (a )＝a 3－6a 2－3a (a －4)a ＋b ＝1，得 b ＝2a 3－6a 2＋1，－1≤a ≤1. 令 t (x )＝2x 3－6x 2＋1，x ∈[－1,1]， 所以 t ′(x )＝6x 2－12x .令 t ′(x )＝0，解得 x ＝2(舍去)，或 x ＝0.因为 t (－1)＝－7，t (1)＝－3，t (0)＝1，故 t (x )的值域为[－7,1]． 所以 b 的取值范围是[－7,1]．21．解：(1)设动圆 P 的半径为 r ，⎧⎪r ＝|PM |，由圆 N ：(x － 3)2＋y 2＝16 及点 M (－ 3，0)知点 M 在圆 N 内，则有⎨⎪|PN |＝4－r .从而|PM |＋|PN |＝4>|MN |＝2 3.所以点 P 的轨迹 C 是以 M ，N 为焦点，长轴长为 4 的椭圆．x 2 y 2设曲线 C 的方程为a b 2＝1(a >b >0)，则 2a ＝4,2c ＝2 a 2－b 2＝2 3. 所以 a ＝2，b ＝1.x 2 4(2)依题意可设直线 AB 的方程为 x ＝my ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．⎧⎪x 2＋y 2＝1， 由⎨ 4 消去 x 整理，得(4＋m 2)y 2＋6my ＋5＝0. ⎪⎩x ＝my ＋32 2 所以⎨y 1＋y 2 2，1 2 4＋m 224则 x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋6＝4＋m 2，36－4m 2 1 2 4＋m 2假设存在定点 Q (t,0)，使得直线 AQ ，BQ 的斜率之积为非零常数，则：36－4m 2 24 (t 2－4)m 2＋36－24t ＋4t 2 2＝－t · ＋t 2＝ ，·5 4＋m 2＝(t 2－4)m 2＋36－24t ＋4t 24＋m 2(t 2－4)m 2＋36－24t ＋4t 2 36－48＋16 4 36＋48＋16 100 20 22．解：(1)由⎨结合 sin 2α＋cos 2α＝1 消去参数 α，得曲线 C 1 的普通方 d ′＝ ＝ .1＋4所以 △S POQ ＝ ×4× ＝ . 8 ⎪ ⎪ ⎪ 8 ⎪ 8 ⎪ ⎪ 2m ≥2×2m ＝8，当且仅当 ＝2m ，即 m ＝2 时取等号． (2)解：f (1)＝⎪1＋m ⎪＋|1－2m |(m >0)，当 1－2m <0，即 m > 时，f (1)＝1＋ －(1－2m )＝ ＋2m ，由 f (1)>10，得 ＋2m >10.所以 <m <1 或 m >4.当 1－2m ≥0，即 0<m ≤ 时，f (1)＝1＋ ＋(1－2m )＝2＋ －2m,由 f (1)>10，得 2＋ －2m >10.此式在 0<m ≤ 时恒成立．⎩＝ 5.要使 k AQ · k BQ 为非零常数，⎧⎪t 2－4＝0， 则有⎨ 解得 t ＝±2.⎪36－24t ＋4t 2≠0，5 5当 t ＝2 时，常数为 ＝ ；5 5 1当 t ＝－2 时，常数为 ＝ ＝ .所以存在两个定点 Q 1(2,0)和 Q 2(－2,0)使直线 AQ ，BQ 的斜率之积为常数．当定点为5 1Q 1(2,0)时，常数为4；当定点为 Q 2(－2,0)时，常数为20.⎧⎪x ＝2＋3cos α， ⎪⎩y ＝－3＋3sin α程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝9.将 x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 代入曲线 C 2 的极坐标方程， 得其直角坐标方程为 x －2y －3＝0.|2－2×(－3)－3|(2)圆心到直线的距离为 d ＝ ＝ 5，1＋4所以弦长|PQ |＝2 9－5＝4.△POQ 的高为原点到直线 x －2y －3＝0 的距离|0－2×0－3| 3 551 3 5 6 52 5 58 23．(1)证明：由 m >0，得 f (x )＝⎪x ＋m ⎪＋|x －2m |≥⎪x ＋m －(x －2m )⎪＝⎪m ＋2m ⎪＝m ＋ 8 8m m所以 f (x )≥8 恒成立．⎪ 8 ⎪1 8 82 m m8m化简，得 m 2－5m ＋4>0，解得 m <1 或 m >4.121 8 82 m m8m12综上所述，当 f (1)>10 时，实数 m 的取值范围是(0,1)∪(4，＋∞)．。