2008级材料物理专业《量子力学》复习提纲要点之一1. 20世纪初，经典理论在解释黑体辐射、光电效应和原子光谱的线状结构等实验结果时遇到了严重的困难。

爱因斯坦在普朗克“ 能量子 ”假设的启发下，提出了“光量子”的概念，认为光是由一颗颗具有一定能量的粒子组成的粒子流。

2. 描述光的粒子性的能量E 和动量P与描述其波动性的频率（或角频率）和波矢K由 Planck- Einstein 方程联系起来，即：ων ==h E ；K n h P ==λ。

3. 德布罗意提出，一切物质粒子（原子、电子、质子等）都具有粒子、波动二重性，在一定条件下，表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。

4. 描述微观粒子（如原子、电子、质子等）粒子性的物理量为能量E 和动量P，描述其波动性的物理量为频率（或角频率）和波长， 它们间的关系可用德布罗意关系式表示，即：ων==h E ； K n h P==λ。

5. 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述，而是用波函数来描述。

描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波，即：)(),(Et r p i p Ae t r -⋅=ψ。

6. 波函数在空间某点的强度，即波函数模的平方，与在该点找到粒子的几率成正比例，即描写粒子的波可认为是几率波，反映了微观粒子运动的统计规律。

7. 波函数在全空间每一点应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。

8. 通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表示为)(0*n m dx n m ≠=⎰ψψ。

9. 设G ˆˆ和F的对易关系为k i G F ˆ]ˆ,ˆ[=，且G G G F F F -=∆-=∆ˆˆ,ˆˆ，则G ˆˆ和F 的测不准关系式为：4)ˆ()ˆ(222k G F≥∆⋅∆；如果k 不等于零，则的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着Fˆ和G ˆ不能同时测定。

10. 当体系处于定态时，则体系有：1）能量有确定值；2）粒子在空间几率密度与时间无关；3）几率流密度与时间无关。

11. 粒子在一维无限深势阱中的定态解可表示为：.......,3,2,1,)(2sin 1)(=+==ψ--n e a x a n aex t E it E in n n nπψ，当n 为奇数时，波函数具有偶宇称，当n 为偶数时，波函数具有奇宇称。

12. 在点电荷的库仑场中运动的电子，其处于束缚态的波函数可表示成：),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =，其中，主量子数n =1，2，3，…，角量子数l =0，1，2，….，n -1，磁量子数m=0，1，2，….，l 。

),,(ϕθψr nlm 是算符Hˆ、2L ˆ和z L ˆ共同本征函数，当电子处于该波函数描述的状态时，力学量H 、2L 和zL 可以同时测得， 体系22422 n e Z E s n μ-=， L 2=2)1( +l l ，L z = m 。

13. 角动量算符2L ˆ和zL ˆ对易，即0],ˆ[2=z L L ，因此它们有共同的本征函数完备系)},({ϕθlm Y 。

在 ),(ϕθlm Y 描述的状态中，力学量2L 和z L 可以同时测得，L 2=2)1( +l l ，L z = m ，此时总磁矩（沿z 轴方向）M z =m cme B μμ-=-2 。

14. 电子在点电荷的库仑场中运动，其处于束缚态的第n 个能级 E n 只与n 有关，而与l 、m 无关，是 n 2度简并的；若n = 2 时，对应E 2的波函数有 ),,(200ϕθψr 、),,(210ϕθψr 、),,(211ϕθψr 和),,(121ϕθψr -。

而在非点电荷的库仑场中运动的电子，如 Li ，Na ，K 等碱金属原子中最外层价电子是在由核和壳层电子所产生的有心力场中运动，这个场不再是点电荷的库仑场，因此价电子的能级由主量子数n 和角量子数l 决定，仅对m 简并。

15. 两个算符Fˆ与G ˆ有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。

16. 选定一个特定Q 表象，就相当于在Hilbert 空间中选定一个特定的坐标系，力学量算符Qˆ的正交归一完备函数系{)(x u n }构成Hilbert 空间中的一组正交归一完备基底。

任意态矢量),(t x ψ在Q 表象中的表示是一列矩阵，矩阵元)(t a n 是态矢量),(t x ψ在Q ˆ算符的本征矢上的投影，即：⎰=dx t x x u t a n n ),()()(*ψ。

17. 选定力学量Q 表象，Q ˆ算符的正交归一的本征函数完备系记为)}({x u n，一力学量算符F ˆ在Q 表象中是一个矩阵F =（F mn ），其矩阵元为：⎰∂∂-=dx x u xi x F x u F mn nm )(),(ˆ)(* ；该矩阵为厄米矩阵，对角矩阵元为实数。

一力学量算符Fˆ在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵，对角元就是算符F ˆ的本征值。

18. 在坐标表象中，x x=ˆ，=x p ˆxi ∂∂- ；而在动量表象中，=x ˆx p i ∂∂ ，=x p ˆ p x 。

19. 若力学量算符Fˆ不显含时间t ，且与哈米顿算符H ˆ对易，力学量F ˆ的平均值F 不随时间而变化，则称Fˆ为运动积分，或在运动中守恒。

20. 动量算符x Pˆ、y P ˆ、z P ˆ 彼此对易，它们有共同的本征函数完备系：r p i p er⋅-=3)2()(πψ；在该本征函数描述的状态中，x Pˆ、y P ˆ、z P ˆ同时具有确定的值。

要点之二1. 态叠加原理：若1，2，,n是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态=c 11+c 22+….+n；当体系处于态时，发现体系处于k态的几率是2k c （k=1，2，3，），并且12=∑kkc 。

2. 隧道效应：粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象称为隧道效应。

它是粒子具有波动性的生动表现。

只有当粒子的质量和势垒宽度比较小时，这种效应才显著。

3. 厄密算符：若算符F 满足 dx F dx F φψφψ**)(⎰⎰=，则算符F 称为厄密算符，其性质是厄密算符的本征值必为实数，因此量子力学的力学量算符都是厄密算符。

4. 偶宇称与奇宇称：在空间反射下，如果有),(),(t r t rψψ±=-，则称波函数有确定的宇称。

当),(),(t r t r ψψ=-，则称波函数具有偶宇称；当),(),(t r t rψψ-=-，则称波函数具有奇宇称。

5. Hilbert 空间：以某一力学量的本征波函数为基底， 构成的无限维的函数空间，称为Hilbert 空间。

任意态矢量),(t x ψ在该力学量表象中的表示是一列矩阵，矩阵元是态矢量),(t x ψ在该力学量算符的本征矢上的投影。

6. 测不准原理：量子力学揭示，要同时测出微观粒子的位置和动量，其精度是有一定的限制。

海森伯推得，测量一个微粒的位置时，如果不确定围是x ∆，那么同时测量其动量也有一个不确定围x p ∆，且位置不确定度x ∆和动量的不确定度x p ∆的乘积总是大于一定的数值，即2≥∆⋅∆x p x 。

粒子的位置和动量不能同时准确测定源于物质具有微粒和波动二象性。

测不准原理是普遍存在的；若两个力学量不对易，则它们不可能同时被准确测定，其不确定度的乘积总是大于一定的值。

7. 定态：当薛定谔方程中的势能U 与时间t 无关，则薛定谔方程的解可表示成)()(t f rψ=ψ，通过分离变量求解薛定谔方程，得到薛定谔方程的解是Etie r -=ψ)(ψ（分离变量过程中引入的常数E 为粒子的能量），当粒子处在由该波函数所描述的状态时，粒子的能量E 有确定的值，这种状态称为定态。

8. 零点能：也就是线性谐振子基态的能量ω 210=E ，其中是谐振子的角频率。

零点能不等于零是量子力学中特有的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的” 波是没有意义的，零点能是量子效应，已被绝对零点情况下电子的晶体散射实验所证实。

要点之三：1. 请阐述力学量的算符、力学量算符的本征值、力学量测量值及力学量平均值之间的关系。

答：量子力学中的所有力学量用厄米算符来表示。

算符的本征函数组成正交归一本征波函数完备系。

当体系处于力学量算符F ˆ的本征态n时，Fˆ表示的力学量F 有确定值，该值就是Fˆ在n态中的本征值n，此时力学量F 的测得值即为n，F 的平均值为n；当体系处在一般状态中，Fˆ表示的力学量F 没有确定值，而是具有一系列的可能值，这些可能值就是表示力学量算符Fˆ的本征值n（n=1,2,3,…..），每个可能值都以确定的几率被测得，F 的平均值为τψψd FF ˆ⎰*=。

2．设粒子在一维无限深方势阱中运动，方势阱⎩⎨⎧<<≥≤∞=a x ax x x U 0,0,0,)(当当。

求：（1）处于基态的粒子的动量几率分布；（2）处于基态粒子的动量平均值。

解：由于势阱⎩⎨⎧<<≥≤∞=a x ax x x U 0,0,0,)(当当，在阱粒子所满足的定态薛定谔方程为ψψE dxd m =-2222 (1) 在阱外粒子满足的定态薛定谔方程为ψψψE U dxd m =+-02222 (2) 在（2）中，∞→0U ，根据波函数满足的连续性和有限性条件，只有当0=ψ时，（2）才能成立，所以有),0(0a x x ≥≤=ψ (3)为了方便，引入符号2122⎪⎭⎫⎝⎛= mE α，则（2）式简写为)0(022222a x dxd m <<=+-ψαψ (4)它的解是x B x A ααψcos sin += (5)根据ψ的连续性，由（3）式的),0(0a x x ≥≤=ψ，代入(5)，有00cos 0sin =⋅+⋅ααB A 0cos sin =+a B a A αα由此求得0=B0sin =a A αA 和B 不能同时为零，否则ψ到处为零，在物理上无意义。

因此求得,.......3,2,1,==n an πα 归一化的定态薛定谔方程的解为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥<<⎪⎭⎫⎝⎛=0,00,sin 2x a x ax x an a n πψ 定态能量为：222⎪⎭⎫⎝⎛=a n E n πμ基态波函数： ⎪⎭⎫ ⎝⎛=x a a πψsin 21 将基态波函数用动量本征函数展开：px i p p edp x p Cπψψψ21,)()(11==⎰dx eaxp C px ia-⎰=)sin(221)(01πππ= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+--⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-p a e p a e a a p a i ap a i πππππ1121221(1) 动量的几率分布为：.........)(21=p C (2) 动量的平均值：...........=p3. 在一维无限深势阱中运动的粒子，方势阱⎩⎨⎧<<≥≤∞=a x ax x x U 0,0,0,)(当当，如果粒子的状态由波函数)()(x a Ax x -=ψ描写，其中A 为归一化常数，a 为势阱宽度。