四川大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试题一、解答下列各题.1.(5分)设)(x f 是数域F 上次数为2008的多项式,证明:20092不可能是)(x f 的根.F 为有理数域该命题成立如题:设)(x f 是有理数域Q 上一个m 次多项式(0≥m ),n 是大于m 的正整数,证明:n2不可能是)(x f 的根.证明:反证法:假设n2是)(x f 的根,有)2()2(--n nx x 对于2-nx ,存在素数2=p110,,,-n a a a p Λ、p 不能整除n a 、2p 不能整除0a由艾森斯坦判别法,有2-nx 在有理数域不可约,则有)()2(x f x n -则n x f ≥∂))((与题设矛盾,故假设不成立,即n 2不可能是)(x f 的根.2.(10分)用代数基本定理证明,实数域R 上的任意不可约多项式只能是一次多项式或满足042<-ac b 的二次多项式:c bx ax ++2.证明:由代数基本定理,任意多项式在复数域都可以分解为一次多项式的乘积 则令多项式为)())(()(21n a x a x a x k x f ---=Λ (C a i ∈,R k ∈且0≠k ) 当R a i ∈时,则i a x -是实数域R 上的一次不可约多项式当R a i ∉时,有i a 也是)(x f 的根,有i i i i i i a a x a a x a x a x ++-=--)())((2i i i i a a x a a x ++-)(2满足042<-ac b由)(i i a a +-,R a a i i ∈,则i i i i a a x a a x ++-)(2是实数域R 上的二次不可约多项式故实数域R 上的任意不可约多项式只能是一次多项式或满足042<-ac b 的二次多项式:c bx ax ++2.3.(5分)设A 是数域F 上的n 阶方阵.要求不用Hamilton-Caylay 定理,证明:存在F 上的多项式)(x f 使得O A f =)(. 证明:取A 的特征多项式A E g -=λλ)(设)(λB 为A E -λ的伴随矩阵,有E g E A E A E B )())((λλλλ=-=- 由)(λB 的元素是A E -λ各个代数余子式,则1))((-≤∂n B λ 有11201)(---+++=n n n B B B B Λλλλ令n n n a a g +++=-Λ11)(λλλ,得E a E a E E g n n n +++=-Λ11)(λλλ ①A B A B B A B B A B B B A E B n n n n n n 1211220110)()()())((-------++-+-+=-λλλλλλΛ ②比较①、②,有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-=----E a A B Ea A B B E a A B B E a A B B EB n n n n n 11212121010ΛΛΛ,得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-=---------Ea A B A a A B A B A a A B A B A a A B A B A A B n n n n n n n n n nn n n 11221221122110110ΛΛΛ左边和右边全部相加,有O E g =)(λ,即0)(=λg 任取)()()(x g x q x f =,则有O A f =)(4.(10分)设1α、2α、3α是多项式123)(3++=x x x f 的全部根.求下式的值 ))()((212331223221ααααααααα+++解:由根与系数的关系得0321=++ααα、32323121=++αααααα、31321-=ααα)31)(31)(31())()((323222121212331223221ααααααααααααααα---=+++]1)()([91)1)(1)(1(271333231333233313231333231333231321-+++++--=---=αααααααααααααααααα)(91)(9124328333231333233313231ααααααααα++-++-=① )(91)111(243124328333231333231αααααα++-++-=)(91243124328333231333231333233313231αααααααααααα++-++-= ② 由①、②得,0333233313231=++αααααα,则原式)(9124328333231ααα++-=由13))((3)(3213231213213321333231-=+++++-++=++αααααααααααααααααα得原式24355=二、解答下列各题.1(10分)叙述并证明线性方程组的克莱默(Cramer )法则.2(5分)设F ,K 都是数域且K F ⊆,设β=AX 是数域F 上的线性方程组. 证明:β=AX 在F 上有解当且仅当β=AX 在K 上有解. 证明:令A 为n m ⨯矩阵 必要性:令X 为β=AX 在F 上的解,有n F X ∈,由K F ⊆,得nK X ∈X 也为β=AX 在K 上的解充分性:β=AX 在K 上有解, 有)()(A r A r =由A ,)(F M A n m ⨯∈,则在F 上,也有)()(A r A r =,故β=AX 在F 上有解3.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=142412222A (1)(5分)在任意数域F 上,A 能否相似于一个对角阵?说明理由. (2)(5分)求A 的极小多项式.(3)(5分)设AX X X f ')(=,其中)',,(321x x x X =是列向量.求)(X f 的一个标准型.解:(1))6()3(1424122222+-=+---+--=-λλλλλλA EA 的特征值为3,3,6-当3=λ时,000002214424422213-=----=-A E基础解系由2)3(=--A E r n 个线性无关的向量构成)'1,1,4(-、)'1,1,0(当6-=λ时,0009904525424522286--→-------=--A E 基础解系由1)6(=---A E r n 个向量构成)'2,2,1(- 故A 对应3个线性无关的特征向量,A 可对角化取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211211104P ,则有)6,3,3(1-=-diag AP P 由)(,3Q M C A ∈、又Q ∈-6,3,则A 在有理数域可以对角化由任何数域都包含有理数域,故在任意数域F 上,A 都能相似于一个对角阵(2)A 的特征多项式为O E A E A A f =+-=)6()3()(2由O E A E A =+-)6)(3(,有A 的极小多项式为)6)(3()(+-=λλλm(3)把P 的列向量单位化,得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=32212313221231310234C ,C 为正交矩阵 令CY X =,有232221633''')(y y y ACY C Y AX X X f -+===4.(10分)证明:在任意数域F 上矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111001012A 与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110011001B 都不相似. 证明:3)1(11101012-=----=-λλλλλA E 有A 的特征值为1,1,1 1=λ时,00000001101101111-=---=-A E基础解系有2)(=--A E r n 个线性无关的向量构成 ①3)1(11011001-=-----=-λλλλλB E 有B 的特征值为1,1,1 1=λ时,01000100--=-B E 基础解系有1)(=--B E r n 个向量构成 ②由①、②,得在任意数域F 上矩阵A 与B 都不相似5.(5分)设A 是n 阶实对称矩阵.证明:A 是正定矩阵的充分必要条件是,对任意整数k ,k A 也是正定的.证明:必要性:令A 的特征值为i λ(n i ,,2,1Λ=),则k A 的特征值为k i λ A 是正定矩阵,0>i λ,则0>ki λ,有k A 为正定矩阵充分性:k A 的特征值为k i λ,有0>ki λ,由k 的任意性,有0>i λ,故A 是正定矩阵三、(15分)设)(F M n 是数域F 上的全体n 阶方阵组成的集合.对任意可逆矩阵)(F M A n ∈,定义集合})({1X XA A F M X n A =∈=T -. 设A A F M A n V T =≠∈0):(I,即V 是所有可能的A T 的交集(A 可逆).求V dim 和V 的一个基.解: 取)(F M n 的一个基nn E E E Λ,,1211,令n n ij a A ⨯=)(、n n ij x X ⨯=)( 有nn nn E a E a E a A +++=Λ12121111由X XA A =-1,有AX XA =,则X E XE ij ij =有行第列第i 111j 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=j j j ijnii i ij x x x X E x x x XE ΛM 得0=ij x (j i ≠)且nn x x x ===Λ2211,故kE X =为数量矩阵 有)(E L A =T ,则V 由数量矩阵和全体对角元素为零的矩阵构成令V B ∈,有∑=+=nj i ij ij E k kE B 1,(j i ≠),有1dim 2+-=n n VE 与全体ij E (j i ≠)构成V 的一个基.四、设)(12F M r +是数域F 上的全体12+r 阶方阵组成的集合.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=O E O E O O O OM r r 2是分块矩阵,其中r E 是r 阶单位阵.设}')({12O MX M X F M X B r =+∈=+,其中'X 表示X 的转置矩阵.进一步B X ∈,设∑∞==0!1k kXX k e .已知:)(12F M e r X+∈.1.(15分)求B dim 和B 的一个基.2.(15分)证明:对任意B X ∈都有行列式1)det(=Xe3.(10分)设列向量空间12+r F上的一个双线性函数),(--在它的基)'0,,0,1(1Λ=ε,)'0,,1,0(2Λ=ε,……,)'1,,0,0(12Λ=+r ε下的度量矩阵为上述M .证明:对任意B X ∈和列向量12,+∈r Fβα都有),(),(βαβα=XX e e .1.解:令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211X X X X X X X X x X (12X 、13X 为r 维行向量,21X 、31X 为r 维列向量,22X 、23X 、32X 、33X 为r 阶方阵)有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=232221333231131211222X X X X X X X X x MX ,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='''2'''2''2)'(233313223212213111X X X X X X X X x MX 由O MX M X =+',又M 为对称矩阵,有O MX MX =+)'(则O X X X X X X X X X X XX X X X X x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++++2323223321133322323231121321123111'''2'''22'2'4,有011=x 自由变量有12X 、13X 、22X 、23X 、32X 且23X 、32X 为反对称矩阵有r r r r r r r r r B +=-+-+++=2222222dim2.证明:根据矩阵指数的性质,有)()det(X tr X e e =)'()()'()()()()(3322332233223322X X tr X tr X tr X tr X tr X X tr X tr e e e e e ++++====由O X X =+3322',有10)'(3322==+e e X X tr ,则1)det(=X e注:关于)()det(X tr X e e =的证明由存在可逆矩阵P ,使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-n XP P λλλ******211O有121******-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P P X k n kk k λλλO11020100******!1***!1***!1!121--∞=∞=∞=∞=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑P e e e P P k k k P X k n k nk kk k k k kλλλλλλOO有)(2121)det(X tr Xe e e e e e n n ===+++λλλλλλΛΛ3.证明:五、(20分)证明:在数域F 上的任意n 元多项式都是线性多项式(即:一次齐次多项式)的幂的线性组合.证明:由任何一个m 次n 元多项式f 都可以唯一的表示成∑==mi i f f 0,其中i f 是n 元i 次齐次多项式由i f 是i 次齐次多项式,那么n x x x ,,,21Λ有ii n C k 1-+=种组合方式令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=--k i n i i i n k i i i b b b x x x x x b x x b x b f M ΛΛ212111211211),,,(取k 个一次齐次多项式k g g g ,,,21Λ,它们的i 次方为ik i i g g g ,,,21Λ令ij g 的k 个系数为kj j j a a a ,,,21Λ(k j ,,2,1Λ=)⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=--kj j j i n i i i n kj i j i j i j a a a x x x x x a x x a x a g M ΛΛ212111211211),,,( 得到系数方程⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k k kk k k k k b b b y y y a a a a a aa a a M MΛM MM ΛΛ2121212222111211 只要k g g g ,,,21Λ选取得当,则此方程有解则有∑==+++=kl i ll i kki ii g y g y g y g y f 12211Λ,故∑∑===m i kl il l g y f 01,即证.。