解析几何三角形面积问题答案1、解: (Ⅰ)由题意知，曲线C 是以12,F F 为焦点的椭圆.∴2,1,a c ==23b ∴= 故曲线C 的方程为：22143x y +=. L L 3分 （Ⅱ）设直线l 与椭圆22143x y +=交点1122(,),(,)A x y B x y , 联立方程223412y x b x y =-+⎧⎨+=⎩得22784120x bx b -+-= L L L L L L 4分 因为248(7)0b ∆=->，解得27b <，且212128412,77b b x x x x -+==5分 Q 点O 到直线l的距离d = L L L L L L L L L L 6分AB ==L L L L L L L L 9分∴12AOBS ∆== L L L L L L 10分≤.当且仅当227b b =-即277b =<时取到最大值. ∴AOB ∆ L L L L L L L L L L L L 12分2、解：（1）依题意可得⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+,12,12c a c a 解得.1,2==c a从而.1,22222=-==c a b a 所求椭圆方程为.1222=+x y …………………4分 （2）直线l 的方程为.1+=kx y由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,12,122x y kx y 可得().012222=-++kx x k该方程的判别式△=()22288244kkk +=++＞0恒成立.设()(),,,,2211y x Q y x P 则.21,22221221+-=+-=+k x x k k x x ………………5分 可得().24222121+=++=+k x x k y y 设线段PQ 中点为N ，则点N 的坐标为.22,222⎪⎭⎫⎝⎛++-k k k ………………6分线段PQ 的垂直平分线方程为.212222⎪⎭⎫⎝⎛++-+=k k x k k y 令0=x ，由题意.212+=k m ………………………………………………7分又0≠k ，所以0＜m ＜.21…………………………………………………8分（3）点M ()m ,0到直线1:+=kx y l 的距离221111km km d +-=+-=()212212212411x x x x k x x k PQ -+⋅+=-+=242212222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+=k k k k =2881222++⋅+k k k 于是28811121212222++⋅+⋅+-⋅=⋅⋅=∆k k k k m PQ d S MPQ .2882122++⋅-=k k m 由,212+=k m 可得.212-=mk 代入上式，得(),123m m S MPQ -=∆ 即()(0123m m S -=＜m ＜⎪⎭⎫21.…………………………………………11分设()(),13m m m f -=则()()().4112m m m f --=' 而()m f '＞0⇔0＜m ＜()m f ',41＜041⇔＜m ＜,21 所以()m f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛21,41上单调递减. 所以当41=m 时，()m f 有最大值.2562741=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ……………………13分 所以当41=m 时，△MPQ 的面积S 有最大值.1663…………………14分 3、解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>.圆F 的标准方程为22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)F ，圆与x 轴的交点为（0，0）和（2，0）.………………………2分由题意2a =，半焦距1c =.∴222413b a c =-=-=.∴椭圆方程为22143x y +=.………………………………4分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y 由2214310x y x my ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩得22(34)690m y my ++-=. ∴12122269,3434m y y y y m m --+==++.……………………………6分122||34y y m -==+. 1221||||234AOBS OF y y m =-=+V g g .…………………………8分t =，则221,1,t m t ≥=-∴2631AOB tS t =+V 22222226(31)(6)6(13)(31)(31)AOB t t t S t t +--'==++V.……………………10分∵1t ≥，∴0AOB S '<V.∴AOB S V 在[1,)t ∈+∞上是减函数， ∴当1t =时，AOB S V 取得最大值，最大值为32.………………………12分 4、解：（1）∵221314c e a a b ⎧===⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ …………………2分 ∴2,1a b ==∴椭圆的方程为2214y x += ………………4分 （2）依题意，设l的方程为y kx =+由2222(4)1014y kx k x y x ⎧=+⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩ 显然0∆>1212221,44x x x x k k --+==++ ………………5分 由已知=⋅n m 0得：22121212124(a x x b y y x x kx kx +=+21212(4)()3k x x x x =+++221(k 4)()30k 4=+-+=+ ……………7分解得k =……………………8分 （3）①当直线AB 斜率不存在时，即2121,x x y y ==-，由已知=⋅n m 0，得22221111404x y y x -=⇒=又11(,)A x y 在椭圆上，所以22111141||,||42x x x y +=⇒== 1121111||||||2||122S x y y x y =-== ,三角形的面积为定值.………9分 ②当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为y kx t =+22222(4)24014y kx t k x ktx t y x =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ 必须0∆> 即222244(4)(4)0k t k t -+->得到12224ktx x k -+=+，212244t x x k -=+ ………………10分∵n m ⊥，∴12121212404()()0x x y y x x kx t kx t +=⇔+++=代入整理得：2224t k -= …………………11分1||||2S AB t ==…………12分2||142||t k t ===+ 所以三角形的面积为定值. …………………14分5、解：（1） 设椭圆方程为2222x y a b+=1（a>b >0）,由焦点坐标可得c =1………1分由PQ |=3，可得22ba=3，……………………………………………2分解得a =2，b ，…………………………………………………３分故椭圆方程为2243x y +=1……………………………………………4分 （2） 设M 11(,)x y ，N 22(,)x y ,不妨1y >0, 2y <0,设△1F MN 的内切圆的径R ，则△1F MN 的周长=4a =8，112F MN S =V （MN +1F M +1F N ）R =4R因此1F MN S V 最大，R 就最大，………………………………………6分1212121()2AMN S F F y y y y =-=-， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x =my +1，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪得22(34)m y ++6my -9=0，………………………８分得1y =，2y = 则12AMN S =V AB （12y y -）=12y y -，……………9分 令,则t ≥1,则212121313AMN t S t t t===++V ,………………………10分 令f （t ）=3t +1t ，则f ′(t ) =3-21t，当t ≥1时，f ′(t )≥0,f (t)在［1,+∞)上单调递增，有f (t )≥f (1)=4, AMN S V ≤123=3, 即当t =1,m =0时，AMN S V ≤123=3, AMN S V =4R ，∴max R =34，这时所求内切圆面积的最大值为916π.故直线l :x =1，△AMN 内切圆面积的最大值为916π………………12分6、解：（1）由2221a b e -==41及149122=+ba 解得a 2=4，b 2=3， 椭圆方程为13422=+y x ；…………………………………………………………2分 设A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2），由m =+得（x 1+x 2-2，y 1+y 2-3）=m （1，23），即⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+m y y mx x 23322121又1342121=+y x ，1342222=+y x ，两式相减得 212332434*********-=++⨯-=++⨯-=--=mm y y x x x x y y k AB ; ………………………6分（2）设AB 的方程为 y =t x +-21，代入椭圆方程得：x 2-tx +t 2-3=0，△=3(4-t 2)，|AB |=224215)4(3411t t -⨯=-⨯+， 点P 到直线AB 的距离为d =5|24|t -，S △P AB=24|2|23t t --=t)(2t)-3(2213+ （-2<t <2）. ……………….10分 令f (t ) =3(2-t )3(2+t )，则f ’(t )=-12(2-t )2(t +1)，由f ’(t )=0得t =-1或2（舍），当-2<t <-1时，f ’(t )>0，当-1<t <2时f ’(t )<0，所以当t =-1时，f (t )有最大值81， 即△P AB 的面积的最大值是29； 根据韦达定理得 x 1+x 2=t =-1，而x 1+x 2=2+m ，所以2+m =-1，得m =-3， 于是x 1+x 2+1=3+m =0，y 1+y 2+23=3+23m +23=0， 因此△P AB 的重心坐标为(0，0)．……………………………………………………13分7、解：（1）设椭圆的半焦距为c ，依题意⎪⎩⎪⎨⎧==336a a c ∴b ＝1．∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3，②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ．由已知|m |1＋k2＝32， 得m 2＝34（k 2＋1），把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得（3k 2＋1）x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1．∴|AB |2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝（1＋k 2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6（k ≠0）≤3＋122×3＋6＝4． 当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立|AB |＝2．当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述，|AB |max ＝2．∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值，S ＝12×|AB |max ×32＝32．8、解：（1）∵|PA |+|PB |=2>3=|AB |， ∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长2a =2的椭圆．………………………………2分∴a =1， .21,2322=-==c a b c ………………………………4分设P （x ，y ），∴点P 的轨迹方程为14122=+y x . ………………………………6分 （2）将)23(+=x k y l ：代入1422=+y x ， 消去x ，整理为.0413)14(22=--+y k y k…………………………………7分设),(),(2211y x N y x M ，，则21221214)(2321y y y y y y AB S BMN -+=-⋅=∆ ………………………………8分=.2131131)1()3(13411322222222≤+++=+++⋅=++⋅kk kk k k k k k k k ………………10分当且仅当kk k k 311322+=+，即22=k 时，△BMN 的最大面积为.21此时直线l 的方程是4622+=x y . …………………………………………12分 9、解：(Ⅰ)设点P 的坐标为（x ,y ）,则点Q 的坐标为（x）.依据题意，有AQ uuu r =(x), BQ uuu r=(x). ……2分 ∵AQ uuu r ·BQ uuu r =1，∴x 2-1+2 y 2=1.∴动点P 所在曲线C 的方程是22x + y 2=1 …4分(Ⅱ)因直线l 过点B ，且斜率为k=-2，故有l ∶y=-2（x -1）.……5分联立方程组22121)2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y ,得2x 2-2x -1=0. ………7分设M （x 1,y 1）、N （x 2,y 2），可得12121,12x x x x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩，于是12121x x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩. …………8分又OM u u u u r +ON uuu r +OH u u u r =0r ，得OH u u u r =（- x 1- x 2，- y 1- y 2），即H （-1，-2）………9分∴|MN=……………………10分 又l+2y，则H 到直线l 的距离为d|2(+⨯--=故所求驻MNH 三角形的面积为S=12= ………………12分 10、解（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q的坐标为()x ，依据题意，有(),().AQ x BQ x =+=-u u u r u u u r…………………1分 221,12 1.AQ BQ x y ⋅=∴-+=u u u r u u u rQ∴动点P 所在曲线C 的方程是22 1.2x y +=………………3分（Ⅱ）因直线l 过点B，且斜率为k =，故有:1).l y x =-………5分联立方程组22121)x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y ，得22210.x x --=………………6分设11(,)M x y 、22(,)N x y ，可得1212112x x x x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩，于是12121x x y y +=⎧⎪⎨+⎪⎩.………………………7分又0OM ON OH ++=u u u u r u u u r u u u r r ，得1212(,),OH x x y y =----u u u r即(1,H -而点G 与点H 关于原点对称，于是，可得点(1,2G ……………………………8分若线段MN 、GH 的中垂线分别为1l 和2l，GH k =121:),:.2l y x l y =-=………………9分联立方程组1)42y x y ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，解得1l 和2l的交点为11(,8O ………………………10分因此，可算得1||O H1||O M =所以M 、G 、N 、H四点共圆，且圆心坐标为11(,8O…12分11、【解析】（I）由题意知2c e a ==，从而2a b =，又a =，解得2,1a b ==。