第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初赛试卷（初一组）
一、选择题（每小题10 分，共60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将
表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）
1．代数和-1⨯2008+2⨯2007-3⨯2006+4⨯2005+L -1003⨯1006+1004⨯1005的个位数字是（）
A.7
B.8
C.9
D.0
【答案】B
【解析】只需考察每个组合的个位数的乘积，发现这2015 个的组合中，个位数的乘积每十个一循环，观察这个循环中的乘积和：
-1⨯ 8+2 ⨯ 7 -3⨯ 6+4 ⨯ 5 -5⨯ 4 + 6 ⨯ 3 - 7 ⨯ 2 +8⨯1 - 9 ⨯ 0 + 0 ⨯ 9=0 ，因此每个循环的个位数和为0，观察最后循环外的几个数的乘积和：
-1⨯8+2 ⨯ 7 -3⨯ 6+4 ⨯ 5=8 。
因此最后得到的个位数为8
2．已知-1<a<b<0，则下列不等式成立的是（）
A. a<a3 <ab2 <ab
B. a<ab2 <ab<a3
C. a<ab<ab2 <a3
D. a3<ab2<a<ab
【答案】A
【解析】a,a3 ,ab2 ,ab 中易知只有ab >0，故ab 最大，排除B,C；另外由于-1 <a < 0 得
a2 < 1 ，即a <a3 ，排除D，所以选A
3．在数轴上，点A 和点B 分别表示数a 和b ，且在原点O 的两则，若a -b =2016 ，
AO =2BO ，则a +b =（）
A.6048
B. -6048
C. ±672
D.0
【答案】C
【解析】由a -b = 2016 且A,B 在O 点两侧以及a= 2 b 知a, b的解有两种可能性：
i. a >0,b<0则可解得a =2
⨯ 2016 = 1344 ，b =-
1
⨯ 2016 =-672 ，a +b =672 3 3
4．如右图所示，三角形ABC 是直角三角形，∠ABC =60o ，若在直线AC 或BC 上取一点P ，使得三角形PAB 为等腰三角形，那么这样的点P 的个数为（）
A.4
B.5
C.6
D.7
【答案】C
【解析】考察不同的等腰三角形的顶角：
若P 为顶角，则P 必位于AB 的中垂线上，而AB 中垂线与直线AC,AB 的交点有两个，故这样
的等腰三角形有2 个；
若A 为顶角，则AB 为其中一条腰，将线段AB 绕A 点旋转，与直线AC,AB 的交点有三个，但
是由于∠ABC = 60︒，此旋转后的直线与BC 延长线的交点与以P 为顶点的一个三角形重合，
故这样不同的等腰三角形有2 个；
若B 为顶角，同样AB 为其中一条腰，将线段AB 绕B 点旋转，与直线AC,AB 的交点同样有三个，同样与P 为顶点的一个三角形重合，故不同的三角形只有2 个；
综上这样的点P 的个数为6 个。
5．如右图，乙是主河流甲的支流，水流流向如箭头所示。
甲
主流和支流的水流速度相等，船在主流和支流中的静水
D C A
速度也相等。
已知AC =CD ，船从A 处经C 开往B 处乙
需用6 小时，从B 经C 到D 需用8 小时，从D 经C 到B
B 需用5 小时。
则船从B 经
C 到A ，再从A 经C 到
D 需
用（）小时。
1
A.13
3【答案】B 【解析】B.12
1
3
C.11
1
3
D.10
1
3
设AC =CD =a ，CB =b ，静水速度为v ，水流速度为s 。
由题意得
a
+ b
=6
v -s v +s
a
+ b
=8
v -s v -s
a
+ b
=5
v +s v +s
由后两个式子可以得到
1
=
8
，
1
=
5
代入第一个式子化简得到b =2a v -s a +b v +s a +b
船从B 经C 到A，再从A 经C 到D 需用时：
b
+a
+
2a
= (2a +b)
8
+a
5
=
21a + 8b v
-s v +s v -s a +b a +b a +b 将b = 2a 代入得到
21a + 8b
=21a +16a
=
37
= 12
1
a +
b a +2a33
6 6．甲、乙、丙、丁四种商品的单价分别为 2 元，3 元，5 元和
7 元，现从中选购了 6 件共花 费了 36 元。
如果至少选购了 3 种商品，则买了（
）件丁商品。
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】D
【解析】由于至少选购了 3 中产品，故丁产品最多买 4 件，如果丁产品少于 4 件，则 6 件总 花费 ≤ 7 ⨯ 3+5 ⨯ 2+3 ⨯1=33 元，矛盾，故丁必须买 4 件；同时如果丁买 4 件，丙与乙各买 一件，总花费正好是 36 元。
综上丁买了 4 件
二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）
7．如右图，在平行四边形 ABCD 中， AB = 2AD ，点 O 为平 D C
c O
行四边形内一点，它到直线 AB , BC , C D 的距离分别为 a , b , c ，
a
A
B
且它到 AD 和 CD 的距离相等，则 2a - b + c = 。
b 【答案】0
【解析】考察平行四边形的两条高，AB 为底边的高为 a + c ，AD 为底边的高为b + c ，由面
积不变定理有 S = AB (a + c ) = AD (b + c ) ，得 b + c = 2 (a + c ) ，即 2a + c - b = 0
8．如右图所示，韩梅家的左右两侧各摆了 3 盆花，韩梅每次按照 以下规则往家中搬一盆花：先选择左侧还是右侧，然后搬该侧 离家最近的，要把所有的花搬到家里，共有 种不同的搬
花顺序。
【答案】20 【解析】
韩梅每次只能选择搬左侧或者右侧的花，左侧和右侧分别只能选择三次，我们将三个左 和三个右组成的排列（例如：左左右左右右 是一种排列）分别对应一种搬花的顺序，并且 不同的排列对应不同的搬花的顺序。
所以三个左和三个右组成的排列的个数与搬花顺序的个 数相同。
故只需考虑所以三个左和三个右组成的排列的个数。
对于这种排列只需要考虑在 6
个位置中选择三个为左的个数，这样的个数一共有C 3
= 20 。
E 9．如右图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥CD ，AB =6，CD =14， A B ∠AEC =90o ，CE =CB ，则AE2 =.
D C 【答案】84
【解析】
AG =BF =h ，CG =10，CF =4
AC2 =AG2 +CG2 =h2 +100
CE2 =BC2 =BF 2 +CF 2 =h2 +16
AE2 =AC2 -CE2 =84
10．已知四位数x 是完全平方数，将其4 个数字各加1 后得到的四位数仍然是完全平方数，则x =。
【答案】2025
【解析】设x =a2 ，另一个数为b2 则有b2 -a2 = 1111 ，即(a +b)(b -a)=1111
由于1111 =101⨯11，且101,11 均为质数；故a +b = 101, b -a =11，解得a =45
故x =2025。