习 题15-1 如图15-7所示的升降机，在主动轮C 上作用一驱动力偶M ，使质量m 1的物体A 上升。

已知平衡物B 的质量为m 2，主动轮C 和从动轮D 都为均质圆轮，半径和质量分别为r 和m 3。

如不计胶带质量，试求A 物的加速度。

图15-7a m F A 1I = a m F B 2I = ra m r ar m MMDC323I I 21)(21=== 动力学普遍方程0δ)(δ)(δ)(I 2I 1I I =-++---s F W s F W rs MMM B A D C0)()(1)2121(221133=-++---a m g m a m g m rra m ra m Mrm m m gr m m M a )()(32112++-+=15-2 图15-8所示调速器由两个质量各为m 1的滑块及质量为m 2的平衡重块组成，长l 的杆不计重量，弹簧刚度为k ，当θ = 0时，为原长。

若调速器绕铅垂轴等角速度旋转，试求ω与θ的关系。

图15-8θωsin 211I l m F = )c o s 1(θ-=kl F 动力学普遍方程0δ)(δ22211I =+-r F g m r F θθcos δsin δ21r r = θt a n δδ12r r = 故0tan δ)]cos 1([δsin 212121=-+-θθθωr kl g m r l mθθωcos 2)cos 1(122l m kl g m -+=15-3 如图15-9所示，板DE 质量为m 1，放在三个质量均为m 2的滚子A 、B 和C 上，今在板上作用一水平向右的力F ，使板与滚子运动。

如板与滚子，以及滚子与水平面之间均无滑动，试求板DE 的加速度.滚子可视为均质圆柱，不计滚动摩擦。

图15-9DE a m F 11I = 2/22I DE a m F = DE DE Ora m ra r m M222I 41)2(21==动力学普遍方程0δ3δ3δ)(2I 22I 11I =---ϕC M r F r F F02δ4132δ23δ)(121211=⨯⨯-⨯--rr ra m r a m r a m F DE DE DE08921=--DE DE a m a m F212198889m m F m m F a DE +=+=15-4 椭圆规尺放在水平面内，由曲柄带动，如图15-10所示。

设曲柄OC 与椭圆规尺AB 都为均质杆，质量分别为m 1和2m 1，且OC =AC =BC =l 。

滑块A 与B 的质量相等均为m 2，如作用在曲柄上的驱动力矩为M O 不计摩擦，试求曲柄的角加速度。

图15-10同习题12-6ωl v C = ωω=AB ϕωωϕc o s 2c o s 2l l v AB A =⨯= ϕωs i n 2l v B = B A AB OC E E E E E k k k k k +++=)(21])2)(2(121[21)2(21)31(2122222121221B A C v v m l m v m l m ++++=ωω 222221*********3161ωωωωl m l m l m l m ⨯+++=2221243ωl m m +=2221243ϕl m m += O Q M W F =∑=ϕϕϕδδ由ϕϕϕQ F E E t=∂∂-∂∂k k )(d dO M l m m =+)2(243221α221)43(lm m M O+=α15-5 如图15-11所示，铰接平行四边形机构O 1O 2AB 位于铅直平面内，杆O 1A ，O 2B 各长l ，质量不计；杆AB 为均质杆，质量m 。

设在O 1A 杆上作用一常力矩M ，试求O 1A 转动到任意位置时的角加速度，并求︒=90θ时的角加速度的值。

图15-11以θ为广义坐标，先求广义力给系统虚位移θδθθθθsin δδδ)(l mg M W F⨯-=∑θθθθsin δδ)(mgl M W F FQ -=∑=222k 21)(21θθ ml l m E ==由 θθθQ F E E t =∂∂-∂∂k k )(d dθθ 2k ml E =∂∂ 0k =∂∂θE θθsin 2mgl M ml -=2sin mlmgl M θθα-==︒=90θ时 2mlmgl M -==θα15-6 如图15-12所示，在质量为m 1的均质圆柱C 上绕着一根细绳，绳的质量可以不计。

绳的另一端跨过不计质量的滑轮O 与质量为m 2的物块A 相连，物块放在粗糙的水平面上，动摩擦因数为μ。

如果圆柱由静止落下作平面运动，试求物块和圆柱质心的加速度。

图15-12以A x 、C y 为广义坐标，先求广义力显然g m F Ax Q2μ-= g m F Cy Q1=2212122k ))(21(212121r x y r m y m x m E A C C A -++=212122)(412121A C C A x ym ym xm -++= ]32)2[(41211221C C A A y m y x m x m m +-+= ])2[(21)(d d 121k C A A y m x m m x E t -+=∂∂ 0k =∂∂A x E ]3[21)(d d 11k C A C ym x m y E t +-=∂∂ 0k =∂∂Cy E代入拉氏方程 Ax QAA F x E xE t =∂∂-∂∂k k )(d dCy QCC F y E yE t=∂∂-∂∂k k )(d d得g m ym x m m C A 2121])2[(21μ-=-+ g m ym x m C A 111]3[21=+- 解得g m m m m xA 212133+-=μ g m m m m yC 21213)32(+-+=μ即 g m m m m a A 212133+-=μ g m m m m a C 21213)32(+-+=μ15-7 如图15-13所示，一绳跨过两定滑轮A 与B ，并吊起一动滑轮C ，绳子不在滑轮上的各端都是铅垂的，滑轮上吊有重W ＝40N 的重物，绳的两端分别挂有重量各为W 1=20N ，W 2=30N 的两重物。

如滑轮与绳的重量以及轴承的摩擦均可不计，试求这三个重物的加速度。

图15-13以1y 、2y 为广义坐标(向下为正)221222211k )2(212121y y m ym y m E +++=221222211)2(212121y y m y m ym +++=2122221141)4(81)4(81y ym ym m ym m ++++= 2212211p y y mg gy m gy m E ++--=241)4(81)4(8121221121222211p k y y mg gy m gy m y ym ym m ym m E E L +-++++++=-=]41)4[(41)(d d 2111ym y m m y L t ++=∂∂ g m m y L )2(11-=∂∂ ]41)4[(41)(d d 1222ym ym m y Lt ++=∂∂ g m m y L )2(22-=∂∂代入拉氏方程 0)(d d 11=∂∂-∂∂y L y Lt0)(d d 22=∂∂-∂∂y L y Lt得0)2(]41)4[(411211=--++g mm ym ym m0)2(]41)4[(412122=--++g mm ym ym m 0)24()4(1211=--++g m m y m y m m 0)24(])4(2122=--++g m m y m y m m 04012021=+y y 0401604021=-+g yy 解得g y1111-= g y1132=即 g a 1111-=(向上) g a 1132=(向下) g a 111=(向上)15-8 图15-14所示滑轮组中，三个物块A ，B ，C 质量分别为m A =10kg ， m B =20kg ，m C =20kg 。

物块与地面间的动摩擦因数均为μ=0.2，滑轮质量不计，试求各重物的加速度。

图15-14以A x (向右为正)、C x (向左为正)为广义坐标，先求广义力显然g m g m F A B x QAμ-=2g m g m F C B x QCμ-=2222k )2(212121C A B C C A A x x m xm x m E +++=]41)4(81)4(8122C A B C B C A B A x x m xm m x m m ++++= C B A B A A x m x m m x E t 41)4(41)(d d k ++=∂∂ 0k =∂∂A x E A B C B C C xm xm m xE t 41)4(41)(d d k ++=∂∂ 0k =∂∂Cx E代入拉氏方程Ax Q AA F x E xE t=∂∂-∂∂k k )(d d Cx Q CC F x E x E t=∂∂-∂∂k k )(d d得g m g m xm xm m A B C B A B A μ-=++241)4(41g m g m xm xm m C B A B C B C μ-=++241)4(41g x x C A 322060=+ g xx C A 2410020=+ 解得2m/s 76.47034==g xA 2m /s 4.171==g x C即 2m/s 76.4=A a (向右) 2m /s 4.1=C a (向左) 2m /s 08.3=C a (向下)15-9 用动力学普遍方程推导刚体平面运动微分方程。

15-10 如图15-15所示，半径为r 的滑轮可绕水平轴O 转动，在滑轮上跨过一不可伸长的绳，绳的一端悬挂质量为m 1的重物C ，另一端与刚性系数为k 的铅垂弹簧相连。

设滑轮的质量m 2均布于轮缘上，绳与滑轮间无滑动。

试求系统的振动周期。

图15-15以C 的铅垂位移C y 为广义坐标(向下为正)22221k ))((2121ry r m ym E C C +=221)(21C ym m += 22st 2st 1p 21])[(21C C C ky y k gy m E =-++-=δδ2221p k 21)(21C C ky y m m E E L -+=-=C C ym m y Lt )()(d d 21+=∂∂ C Cky y L -=∂∂代入拉氏方程0)(d d =∂∂-∂∂CC y L yL t0)(21=++C C ky y m m 021=++C C y m m k y21m m k +=ω km m T 21π2π2+==ω15-11如图15-16所示，椭圆摆由一半径为r ，质量为m 1的均质圆盘A 与一小球B 构成，圆盘可沿水平面纯滚动。