分式加减运算（讲义）
➢ 课前预习
1. 观察下列分数加减运算的式子：
121235555++==， 121215555--==-， 1132325236666++=+==， 1132321236666--=-==． 猜一猜，______b c a a +=，______b c a a -=，
_________b d bc a c ac +=+=，___________b d bc a c ac
-=-=．
➢ 知识点睛
1. 分式的通分：
根据_______________，异分母的分式可以化为_______的分式，这一过程称为分式的通分．
对异分母分式进行通分时，需要注意两点：
①为了计算方便，通常取最简公分母（即各分母的所有因式的最高次幂的积）作为它们的共同分母．
②分子、分母是多项式时，通常先因式分解，再找最简公分母．
2. 分式的加减法法则：
同分母的分式相加减，_______不变，把_______相加减；
异分母的分式相加减，先_______，化成_________________，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．
3. 分式混合运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，先算括号里面的．
分式化简计算时，需要注意两点：
①在进行分式运算前，要先把分式的分子和分母_________，能约分的，通常先约分．
②分式的乘除要______，加减要______，最后的结果要化成______________．
➢ 精讲精练
1. 分式的加减运算：
（1）a b
a b
ab ab +-+；
（2）22+a b a b a b -+；
（3）3
45
+1+1+1x x
x x x x +++-；
（4）251222x x x x x x -+-----；
（5）315
5a a a -+；
（6）22142a a a ---；
（7）211
393a
a a a a -+---+；
（8）222m n mn m n m n n m +++--；
（9）
1
y
xy x xy x
+
+-
；（10）
22
13
1
a
a a a
-
+
--
；
（11）
24
2
2
a
a
a
+
+-
-
；（12）
2
1
1
a
a
a
--
-
．
2.分式的混合运算：
（1）
242
222
x x
x x x
⎛⎫+
+÷
⎪
--
⎝⎭
；（2）
341
1
32
a
a
a a
-
⎛⎫⎛⎫
+-
⎪⎪
--
⎝⎭⎝⎭
；
（3）
2
344
1
11
x x
x
x x
-+
⎛⎫
--÷
⎪
--
⎝⎭
；（4）
2
21
4
a a b
b a b b
⎛⎫
⋅-÷
⎪-
⎝⎭
；
（5）
22
222
2
x x y xy
x y x xy y x xy
-
+⋅
+-++
；
（6）
32
2
121 2691
x x x x
x x x
--+
÷-
+--
．
3.先化简，再求值：
222
2
211
b a ab b
a
a a
b a a b
⎛⎫
-+⎛⎫
÷++
⎪ ⎪
-⎝⎭
⎝⎭
，其中
a1，b1．
4.先化简
2
2
1221
x x x x
x x x x
-
⎛⎫
-÷
⎪
---+
⎝⎭
，然后从13
x
-≤≤中选取一个你认为合适的整数
x代入求值．
5. 先化简3423332a a a a a a a +-+⎛⎫-÷⋅ ⎪+++⎝⎭
，然后从不等式组 25<324
a a --⎧⎨⎩≤的解集中选取一个你认为符合题意的a 代入求值．
6. 课堂上，王老师出了这样一道题：
已知5x =，求代数式22213111x x x x x -+-⎛⎫÷+ ⎪-+⎝⎭
的值． 小明觉得直接代入计算太复杂了，同学小刚帮他解决了问题，并解释说：“结果与x 无关”．解答过程如下：
2(1)13(1)(1)1
111112(1)
12
_________x x x x x x x x x x x x -++-=÷+-+-=÷+-+=⋅+-=原式①②③④ 当5x =时，12
=原式． （1）从原式到步骤①，用到的数学知识有_______________；
（2）步骤②中空白处的代数式应为_____________________；
（3）从步骤③到步骤④，用到的数学知识有_____________．
7. 某农场原计划在m 天内收割小麦960公顷，实际每天比原计划多收割40公顷，
实际_________天完成了任务．
8. 某工厂储存了a 天用的煤m 吨，要使储存的煤比预定的时间多用d 天，每天应节
约用煤_________吨．
9.某蓄水池装有A，B两个进水管，每小时可分别进水a吨，b吨，若单独开放A进
水管，p小时进可将该水池注满．如果A，B两个水管同时开放，那么能提前________小时将该蓄水池注满．
【参考答案】
➢课前预习
1.ad
ac
，
bc ad
ac
+
；
ad
ac
，
bc ad
ac
-
；
➢知识点睛
1.分式的基本性质，同分母；
2.分母，分子；通分，同分母的分式；
3. ①因式分解；②约分，通分，最简分式或整式；
➢ 精讲精练
1. （1）2b
； （2）a b -； （3）2-； （4）2x +； （5）15； （6）12a +； （7）2729a a --； （8）m n m n
-+； （9）221y xy x +-；（10）21a a a -+； （11）82a --；（12）11
a -. 2. （1）2x ； （2）2a +； （3）22
x x +--； （4）24a ab b -； （5）2222x y x y +-； （6）32x
. 3. 化简得原式=1ab -
，将a 和b 代入结果为12
-； 4. 化简得原式=12
x --，将x =3代入，结果为-1；（答案不唯一） 5. 化简得原式=3a +，将a =0时代入，结果3；（答案不唯一） 6. （1）因式分解，通分，分式的基本性质；
（2）221
x x -+； （3）约分（或分式的基本性质）.
7. 2424m m
+ 8. ()
md a a d + 9.
pb a b
+。