类型一线段、周长最值问题1. 如图，抛物线y＝－x2－2x＋3交x轴于A，C两点(点A在C的左边)，抛物线交y轴于点B，点D是抛物线的顶点．(1)求线段AB的长；(2)点P是直线AB上方的抛物线上一点(不与A，B重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G，求出△PFG周长的最大值；2. 已知二次函数y＝x2－x－2的图象和x轴相交于点A、B，与y轴交于点C，过直线BC的下方抛物线上一动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D.(1)求直线AC的解析式；(2)求△PQD周长的最大值；(3)当△PQD的周长最大值时，在y轴上有两个动点M、N(M在N的上方)，若MN＝1，求PN ＋MN＋AM的最小值．第2题图3. (2017重庆大渡口二模)如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于H.(1)求A、B两点的坐标；(2)设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP＝∠CDB时，求出点P的坐标；(3)以OB为边在第四象限内作等边△OBM，设点E为x轴正半轴上一动点(OE>OH)，连接ME，把线段ME绕点M旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值．第3题图4. (2017遵义改编)如图，抛物线y＝ax2＋bx－a－b(a<0，a、b为常数)与x轴交于A、C两点，与y 轴交于B 点，直线AB 的函数关系式为y ＝89x ＋163.(1)求该抛物线的函数关系式与C 点坐标；(2)已知点M (m ，0)是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点．当△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M ′，将OM ′绕原点O 顺时针旋转得到ON (旋转角在0°到90°之间)；ⅰ：探究：线段OB 上是否存在定点P (P 不与O 、B 重合)，无论ON 如何旋转，NPNB始终保持不变，若存在，试求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； ⅱ：试求出此旋转过程中，(NA ＋34NB )的最小值．第4题图5. (2016重庆渝中区校级二模)如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－33x 2－3x ＋433交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线上一点D 的横坐标为－5. (1)求直线BD 的解析式；(2)点E 是线段BD 上的动点，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当折线EF ＋BE 最大时，在对称轴上找一点P ，在y 轴上找一点Q ，连接QE 、OP 、PQ ，求OP ＋PQ ＋QE 的最小值； (3)如图②，连接BC ，把△OBC 沿x 轴翻折，翻折后的△OBC 记为△OBC ′，现将△OBC ′沿着x 轴平移，平移后△OBC ′记为△O ′B ′C ″，连接DO ′、C ″B ，记C ″B 与x 轴形成较小的夹角度数为α，当∠O ′DB ＝α时，求出此时C ″的坐标．第5题图6. (2017重庆西大附中月考)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋43与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，且B (33，0)，对称轴为直线x ＝3，点E (23，0)，连接CE 交对称轴于点F ，连接AF 交抛物线于点G .(1)求抛物线的解析式和直线CE 的解析式；(2)如图②，过E 作EP ⊥x 轴交抛物线于点P ，点Q 是线段BC 上一动点，当QG ＋45QB 最小时，线段MN 在线段CE 上移动，点M 在点N 上方，且MN ＝152，请求出四边形PQMN 周长最小时点N 的横坐标．第6题图答案1. 解：(1)抛物线y ＝－x 2－2x ＋3， 令y ＝0，则－x 2－2x ＋3＝0，(x －1)(x ＋3)＝0，x 1＝1，x 2＝－3，∵点A 在点C 的左边， ∴A (－3，0)，C (1，0)， 令x ＝0，得y ＝3，∴B (0，3)， ∴AB ＝32＋32＝32， ∴线段AB 长为3 2.(2)由题意可知△PFG 是等腰直角三角形，设P (m ，－m 2－2m ＋3)， ∴F (m ，m ＋3)，∴PF ＝－m 2－2m ＋3－m －3＝－m 2－3m ，∴PG ＝FG ＝22PF ， △PFG 周长为：PG ＝FG ＋PF ＝PF ＋2PF ＝－m 2－3m ＋2(－m 2－3m )＝－(2＋1)(m ＋32)2＋9（2＋1）4， ∴△PFG 周长的最大值为9（2＋1）4.2. 解：(1)令y ＝0，x 2－x －2＝0 ∴x 1＝－1，x 2＝2， ∴A (－1，0)，B (2，0)， 令x ＝0，y ＝－2， ∴C (0，－2)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， ∵直线过点A 、C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－k ＋b b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝－2， ∴直线AC 解析式为y ＝－2x －2； (2)∵BO ＝CO ，∠BOC ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∠ACO ＝∠EPQ ， ∴tan ∠ACO ＝tan ∠EPQ ＝12，过Q 作PE 的垂线QH ，垂足是H .设QH ＝a ，PH ＝2a ，DH ＝a ，a ＋2a ＝PD ，a ＝13PD ，设P (m ，m 2－m －2)，D (m ，m －2)，C △PQD ＝PQ ＋QD ＋PD ＝(5＋2＋3)a ＝5＋2＋33PD ， C △PQD ＝5＋2＋33PD ＝5＋2＋33(－m 2＋2m )＝－5＋2＋33(m －1)2＋5＋2＋33， ∴当m ＝1时，C △PQD 最大＝5＋2＋33，此时P (1，－2)； (3)把点A 向下平移1个单位到点A ′，则A ′(－1，－1)连接A ′P ， ∴AM ＋MN ＋PN 最小值＝A ′P ＋MN ＝5＋1.第2题解图① 第2题解图②3. 解：(1)y ＝x 2－2x －3＝(x －3)(x ＋1)，令y ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，则A (－1，0)，B (3，0)；(2)过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，过点D 作DK ⊥y 轴于K ，如解图①，由C (0，－3)，D (1，－4)，得OC ＝OB ＝3，CK ＝DK ＝1，∴∠BCO ＝∠DCK ＝45°， ∵BC ＝32，CD ＝2，BD ＝25，∴BC 2＋CD 2＝BD 2，∴∠BCD ＝90°， 当∠ABP ＝∠CDB 时， 有Rt △PQB ∽Rt △BCD ，故PQ BQ ＝BC CD ＝322＝3，即PQ ＝3BQ . 设P (x ，x 2－2x －3)，则BQ ＝||3－x ，PQ ＝||x 2－2x －3.∵P 点在x 轴下方时， ∴－x 2＋2x ＋3＝3(3－x )，整理得x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3(不合题意，舍去)． 此时点P 的坐标为(2，－3)．∴当∠ABP ＝∠CDB 时，P 的坐标为(2，－3)．第3题解图①(3)易证△OME ≌△BMF ，故∠MBF ＝∠MOE ＝60°. 连接FB 并延长交抛物线对称轴于点G ，如解图②， ∴当DF ⊥BG 时，DF 取得最小值． ∵∠GBH ＝60°，∴∠G ＝30°， ∴HG ＝3BH ＝2 3.DF ＝12DG ＝2＋3，∴线段DF 的长的最小值为2＋ 3.第3题解图②4. 解：(1)在y ＝89x ＋163中，令x ＝0，则y ＝163，令y ＝0，则x ＝－6，∴B (0，163)，A (－6，0)，把B (0，163)，A (－6，0)代入y ＝ax 2＋bx －a －b 得⎩⎪⎨⎪⎧36a －6b －a －b ＝0－a －b ＝163，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－89b ＝－409，∴抛物线的函数关系式为y ＝－89x 2－409x ＋163，令y ＝0，则－89x 2－409x ＋163＝0，∴x 1＝－6，x 2＝1， ∴C (1，0)；(2)∵点M (m ，0)，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点，如解图①，∴D (m ，89m ＋163)，当DE 为等腰三角形的底时，作BG ⊥DE 于G ，则EG ＝GD ＝12ED ，GM ＝OB ＝163，∵DM ＋DG ＝GM ＝OB ，∴89m ＋163＋12(－89m 2－409m ＋163－89m －163)＝163， 解得：m 1＝－4，m 2＝0(不合题意，舍去)，∴当m ＝－4时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形；第4题解图①ⅰ：存在，∵ON ＝OM ′＝4，OB ＝163，∵∠NOP ＝∠BON ，∴当△NOP ∽△BON 时，OP ON ＝NP NB ＝ON OB ＝34，∴NPNB不变， 即OP ＝34ON ＝34×4＝3，∴P (0，3)ⅱ：如解图②，N 在以O 为圆心，4为半径的半圆上，由(ⅰ)知，NP NB ＝OP ON ＝34，∴NP ＝34NB ，∴(NA ＋34NB )的最小值＝NA ＋NP ，∴此时N ，A ，P 三点共线，∴(NA ＋34NB )的最小值＝32＋62＝3 5.第4题解图②5. 解：(1)令y ＝0，则－33x 2－3x ＋433＝0，解得x ＝－4或1， ∴A (－4，0)，B (1，0)， 令x ＝0，则y ＝433，∴C (0，433)，当x ＝－5时，y ＝－2533＋53＋433＝－23，∴点D 坐标(－5，－23)，设直线BD 解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎨⎧－5k ＋b ＝－23k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33b ＝－33，∴直线BD 的解析式为y ＝33x －33. (2)如解图①中，设BD 交y 轴于K ，则K (0，－33)，设E (m ，33m －33)，则F (m ，－33m 2－3m ＋433)，第5题解图①∴tan ∠ABD ＝33， ∴∠ABD ＝30°，∴EF ＋EB ＝－33m 2－3m ＋433－(33m －33)＋2(33－33m )＝－33(m ＋3)2＋1633， ∴m ＝－3时，EF ＋EB 的值最大，此时点E 坐标(－3，－433)，如解图②，作点E 关于y 轴的对称点N ，EM ⊥AB 于M ，连接MN ，交对称轴于P ，交y 轴于Q ，第5题解图②∵M 、O 关于对称轴对称，∴OP ＝PM ，E 、N 关于y 轴对称，∴QE ＝QN ，∴OP ＋PQ ＋QE ＝PM ＋PQ ＋QN ，∴当M 、N 、P 、Q 共线时，OP ＋PQ ＋QE 最小，最小值为MN 的长，在Rt △MNE 中，MN ＝EM 2＋EN 2＝（433）2＋62＝2933.∴OP ＋PQ ＋QE 的最小值为2933.(3)如解图③中，作O ′M ⊥BD 于M ，BD ＝（1＋5）2＋（23）2＝43，设O ′B ＝a ，则O ′M ＝12a ，BM ＝32a ，DM ＝BD －BM ＝43－32a ，第5题解图③∵∠O ′DM ＝∠C ″BO ′，∠O ′MD ＝∠BO ′C ″＝90°， ∴△O ′MD ∽△C ″O ′B ， ∴O ′M O ′C ″＝DM BO ′， ∴12a 433＝43－32aa ，∴a 2＋4a －32＝0，解得a ＝4或－8(舍去)， ∴C ″坐标为(－3，－433)．6. 解：(1)由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋43的对称轴－b 2a ＝ 3 ①，点E (23，0)在抛物线上，则(33)2a ＋33b ＋43＝0 ②， 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－439b ＝83，则抛物线的解析式为y ＝－439x 2＋83x ＋43， 又点C (0，43)，E (23，0)， 设直线CE 的解析式为y ＝kx ＋m ，则⎩⎨⎧0＋b ＝43，23k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－2b ＝43，∴直线CE 的解析式为y ＝－2x ＋4 3. (2)由抛物线y ＝－439x 2＋83x ＋43知，当x ＝23时，y ＝43， 则点P 的坐标为(23，43)， 根据对称性得A (－3，0)， 由y ＝－2x ＋43知，当x ＝3时，y ＝23，F (3，23)， 直线AF 的解析式为：y ＝x ＋3，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－439x 2＋83x ＋43y ＝x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝934y ＝1334，点G 的坐标为(934，1334)．由sin ∠OBC ＝OC BC ＝4353＝45，∴当QG ⊥x 轴时，QG ＋45QB 最小，∵直线BC 的解析式为y ＝－43x ＋43，∴当x ＝934时，y ＝3，∴点Q (934，3)．如解图，过点P 作PK ∥MN ，取PK ＝MN ＝152， 则四边形PMNK 是平行四边形，∴四边形PQNM 的周长＝PM ＋MN ＋NQ ＋PQ ＝NK ＋MN ＋NQ ＋PQ ，由于MN 、PQ 的值不变，所以只需NK ＋NQ 最短，所以作K 关于直线CE 的对称点K ′，连接K ′Q ，交CE 于N ，即当K ′、N 、Q 三点共线时，四边形PQNM 的周长最短．∵P 的坐标为(23，43)，PK ＝152，PK ∥CE ， ∴K 点横坐标x k ＝23＋152cos ∠CEO ＝23＋32＝532， K 点纵坐标为y k ＝43－152sin ∠CEO ＝43－152×255＝33，∴K (532，33)，∵直线KK ′与直线CE 垂直， ∴设直线KK ′的解析式为y ＝12x ＋b ，则12×532＋b ＝33，解得b ＝734， ∴直线KK ′为：y ＝12x ＋734，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋734y ＝－2x ＋43，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9103y ＝1153，则KK ′与CE 交点坐标为(9310，1135)，由对称特点可得K ′的横坐标为9310×2－532＝－7310，K ′的纵坐标为1135×2－33＝735， ∴K ′(－7310，735)，由Q (934，3)，设直线K ′Q 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－7310k ＋b ＝735934k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－859b ＝77359，∴直线K ′Q 的解析式为y ＝－859x ＋77359，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋43y ＝－859x ＋77359 ，解得x ＝1593110，则N 点的横坐标为1593110.第6题解图。