一次函数（解析式和面积）
一、函数
１．定义 （１）在变化过程中有两个变量;
（２）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化;
（３）自变量的每一个确定值,函数有且只有一个值与之对应，即单值对应。
2。
自变量的取值范围
(１)整式时,自变量取全体实数; （2）分式时，自变量使分母不为零；
（3）有偶次根式时，自变量必须使被开方数是非负数； （４)实际问题中,要使实际问题有意义；
(5）在有些函数关系式中，自变量的取值范围应是其公共解。
二、一次函数(——正比例函数)
1.定义
（1）函数为一次函数⇔其解析式可化为y kx b =+（,k b 为常数,0k ≠）的形式。
（2)一次函数y kx b =+结构特征：0k ≠；自变量x 次数为1;常数b 可为任意实数。
（３)一般情况下,一次函数中自变量的取值范围是全体实数.
(4）若0k =,则y b =(b 为常数),这样的函数叫做常函数,它不是一次函数; 若0b =,则y=kx (ｋ为常数）,这样的函数叫做正比例函数. 2。
图像
一次函数的图像是一条直线，确定两点,便能确定其图像。
3.性质 （1)增减性：0k >时，y 随着x 的增大而增大；0k <时，y
（2）图像位置：直线y kx b =+过两个象限或三个象限，由,k 回忆巩固：
1. 求出下列函数中自变量x 的取值范围 (1）
1
1
2y x =
+ （2）
y = (3）y = （4)5
21
y x -=
- 2. 已知
2
3
(2)3
m
y m x -=-+,当m 为何值时,y 是x 的一次函数？
3.
已知一次函数(2)(1)y m x m =++-，若y 随x 的增大而减小,且该函数图象与x
轴的交点在原点右侧,求m 的取值范围.
4. 若正比例函数ｙ=(1—2m ）x 的图象经过点Ａ(x 1，y 1）和点B(ｘ２，y 2)，当
x 1〈x 2时，y １＞ｙ2,则求ｍ的取值范围。
(一） 求一次函数的解析式
用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 设：设一般式y=kx+b (k≠０）;
列：根据已知条件，列出关于k 、b 的方程(组); 解:解出ｋ、b ;
1
2
写：写出一次函数的解析式.
例、已知一次函数的图象经过点Ａ（-3，-２）和点B （１,6)； （1）求此一次函数解析式;
（2） 分别求出此函数图象与x 轴和y 轴的交点坐标。
例、已知一次函数的图象平行于直线y =—3ｘ＋4,且经过点Ａ（1,－２）。
(１）求此一次函数解析式;
（2）分别求出此函数图象与ｘ轴和y 轴的交点坐标.
跟踪训练1:
1. 已知一次函数y=kx-3的图像过点（2,-1),求这个函数的解析式
2.已知直线ｙ=kx ＋b 经过点（９, 0）和（24， 20），求ｋ，b 的值. 跟踪训练2:
已知直线 1y kx b =+与 2y 2x =-平行,且直线1y 在y 轴上的截距为2，求直线 1y 的解析式.
练习巩固：
１. 已知直线:32L y x =-+,现有４个命题：
ﻩ①点3
(,0)2
P -在直线L 上；
②直线L 可以由直线31y x =-+向上平行移动1个单位长度得到；
③若点1(,1)3
M 、(,)N a b 都在直线L 上，且1
3a >，则1b <；
ﻩ④若点Q 到两坐标轴的距离相等,且点Q 在直线L 上，则点Q 在第一或第四象限。
ﻩ 其中正确的命题是____＿__＿＿＿＿____＿__. 2. 已知一次函数(8)(6)y m x n =++-，求： ﻩ（1),m n 为何值时，y 随x 的增大而增大？ （2）,m n 为何值时，函数与y 轴的交点在x 轴上方？ ﻩ(3）,m n 为何值时，图象过原点? (４）若图象经过第一、二、三象限,求,m n 的取值范围。
（5）分别求出函数与x 轴、y 轴的交点坐标。
（二）、面积计算
一、知识点睛
1. 处理面积问题的三种思路： ① ＿_______＿(规则图形）；
② ＿_＿__＿＿_＿(分割求和、补形作差）；
③ ___＿____＿(例:同底等高）；
如图，满足S △ABP =S △ＡBC 的点P 都在直线．．l ．
１．，．ｌ．2．上. 2. 函数背景下处理面积问题，要利用_______＿___＿＿＿_的特点．
二、精讲精练
1. 如图，直线5
3
y kx =+经过点A (-2，ｍ），B
（1，３)．
（1）求k ，m 的值;ﻫ （2）求△ＡOB 的面积． 2. 如图,直线1
12
y x =
+经过点Ａ（１，m )，Ｂ（4,n ），
点C （2,5），求△A ＢＣ的面积。
3. 如图，直线y ＝kx —2与ｘ轴交于点B ,直线y
与ｙ轴交于点C ,这两条直线交于点A (2求四边形AB ＯC 的面积．
4. 如图,直线1
12
y x =-+与x 轴、y 两点，
C (１，2),坐标轴上是否存在点P ，使S △ABP =S △A ＢC ？若存在,
求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由． 5. 如图，直线13
y x =-
+与x 轴、y 轴分别交于点Ａ,B 两点，以ＡＢ为直角边在第一象限内作等腰Rt △ＡBC ,∠B ＡC ＝9０°，点P 为直线x =１上的动点。
(1）求Rt △ABC 的面积；
(２）若S △ABP =S △ＡBC ，求点Ｐ的坐标.
6. 如图,直线P A ：y ＝x +2与x 轴、y 轴分别交于Q 两点，
直线PB :ｙ=—2x +8与x 轴交于点B ．
(1）求四边形P ＱＯB 的面积；
（2）直线P A 上是否存在点M ,使得△PBM 的面积等于四边形PQOB 的面积?若存在，求出点M 的坐标;若不存在，请说明理由．
面积专题（随堂测试）
１。
如图，直线y =—2x +2与ｘ轴、ｙ轴分别交于A
两点,以线段A Ｂ为直角边在第一象限内作等腰R Ｃ,且∠ＢAC =90°，坐标轴上是否存在一点P ，使S △Ｓ△ABC ？若存在,求出点P 的坐标；
面积专题
1．如图，直线26y x =+经过点A (—4，m ）,B (1
2-，点C （-2，1０)，求△AB Ｃ的面积.
2。
如图，直线l 1：y =—2x ＋4与ｘ轴、ｙ轴分别交
于A ，B 两点，直线ｌ2：1
32y x =--与ｘ轴、y
轴分别交于C ,D 两点． (１)求四边形AB ＣD 的面积；
（２）设直线l 1，l 2交于点P ，求△ＰＡD 的面积。
4. 如图,直线13
y x =-
+与x 轴、ｙ轴分别交于A , B 两点，以线段ＡB 为边在第一象限内作等边△ABC ． (１)求△ABC 的面积；
(２)如果点Ｐ是直线1
2y =上的动点,当
S △A ＢP =Ｓ△AB Ｃ时，求点Ｐ的坐标。
3. 如图，直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点,E F ，点E 的坐标为(8,0)-，点A 的坐标为(6,0)-.
（1)求k 的值；
ﻩ（2)若点(,)P x y 是第二象限内直线上的一个动点,在点P 运动过程中,试写出OPA ∆的面积S
与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；
（３）当点P 运动到什么位置时,OPA ∆的面积为
27
8
,并说明理由。
5.
23y x =-+与x 轴交于点A,直线3y x =-与x 轴交于点B,且两直线直线的
交点为点C,求△ABC 的面积。
6. 已知正比例函数y ＝k 1ｘ的图像与一次函数y=ｋ２ｘ—9的图像交于点P （3，
-6）。
（１)求ｋ1和k ２的值；（２)如果一次函数y=k 2x —9的图像与ｘ轴交于点A ，求ＡO Ｐ的面积.。