差分方程模型的理论和方法第一节差分一、 基本概念1、差分算子设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=∆∆+1:为n x 在n 处的向前差分。

而1--=∆n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。

以后我们都是指向前差分。

可见n x ∆是n 的函数。

从而可以进一步定义n x ∆的差分：n n x x 2)(∆=∆∆称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。

类似可定义在n 处的k 阶差分为： ))((1n k n k x x -∆∆=∆ 2、差分算子 、不变算子、平移算子记n n n n x Ix x Ex ==+,1，称E 为平移算子，I 为不变算子 。

则有：n n n n x I E Ix Ex x )(-=-=∆ I E -=∆∴ 由上述关系可得： i n ki i k i k n iki ik ik n kn kx C x E C x I E x +=-=-∑∑-=-=-=∆0)1()1()( （1）这表明n x 在n 处的k 阶差分由n x 在k n n n ++....1,，处的取值所线性决定。

反之，由 n n n x x x -=∆+1 得 n n n x x x ∆+=+1：n n n n x x x x +-=∆++1222，得：n n n n x x x x 2122∆++-=++,这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。

即一个数列的任意一项都可以用其前面的k 项和包括这项在内的k+1 项增量的增量的增量……..第k 层增量所构成。

……..,)1(10k n i n k i i k i k n kx x C x ++-=-+-=∆∑得：n k i n k i i k i k k n x x C x ∆+--=+-=-+∑1)1( （2）可以看出：k n x +可以由n k n n x x x ∆∆,...,,的线性组合表示出来3、差分方程由n x 以及它的差分所构成的方程),...,,,(1n k n n n k x x x n f x -∆∆=∆ （3） 称之为k 阶差分方程。

由（1）式可知（3）式可化为),...,,,(11-+++=k n n n k n x x x n F x （4） 故（4）也称为k 阶差分方程（反映的是未知数列n x 任意一项与其前，前面k 项之间的关系）。

由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的。

我们经常用的差分方程的形式是（4）式。

4、差分方程的解与有关概念 （1） 如果n x 使k 阶差分方程（4）对所有的n 成立，则称n x 为方程（4）的解。

（2） 如果-=x x n （-x 为常数）是（4）的解，即 ),...,,(---=x x n F x则称-=x x n 为（4）的平衡解或叫平衡点。

平衡解可能 不只一个。

平衡解的基本意义是：设n x 是（4）的解，考虑n x 的变化性态，其中之一是极限状况，如果x x n n =∞→lim ，则方程（4）两边取极限（x 就存在在这里面），应当有),...,,(---=x x n F x（3） 如果（4）的解n x 使得--x x n 既不是最终正的，也不是最终负的，则称n x 为关于平衡点-x 是振动解。

（4） 如果令：--=x x y n n ，则方程（4）会变成),...,,(1-++=k n n k n y y n G y （5） 则 0=y 成为（5）的平衡点。

（5） 如果（5）的所有解是关于0=y 振动的，则称k 阶差分方程 （5）是振动方程。

如果（5）的所有解是关于0=y 非振动的，则称k 阶差分方程（5）是非振动方程。

（6） 如果（5）有解n y ，使得对任意大的y N 有 0>≥n N n y Sup y则称n y 为正则解。

（即不会从某项后全为零）（7） 如果方程（4）的解n x 使得-∞→=x x Lim n n ，则称n x 为稳定解。

5、差分算子的若干性质（1）n n n n y x y x ∆+∆=+∆βαβα)(.)( （2）)(1)(1n n n n n n n n y x x y y y y x ∆-∆=∆+（3）n n n n n n y x x y y x ∆+∆=∆+1)(（4）∑∑==+++∆+-=∆bak k k a bak a b b k k y x y x y x x y 111（5）∑=∆=+∆==ni i i n nnn x C x I x E x 0000)(6、Z 变换定义：对于数列n x ，定义复数级数∑∞=-==0)()(k k k n z x x Z z X （6）这是关于z 洛朗级数。

它的收敛域是：21R z R <<，其中2R 可以为∞，1R 可以为0。

称)(n x Z 为n x 的z -变换。

由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知：z 变换是一一对应的，从而有逆变换，记为：))((1z X Z x n -= （7）z 变换是研究数列的有效工具 。

z 变换的若干重要性质：（1）线性性 )()()(n n n n y Z x Z y x Z βαβα+=+（2）平移性质 ])([)(10∑-=-+-=N k k k NN n z x z X z x Zz 变换举例：（1）⎩⎨⎧≠=∞=0,00,)(n n n δ, 则∑∞==--=⨯==001)1()())((k k k k z z k n Z δδ（2）⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(k k n u ，则∑∑∞=∞=-->-===00,1,1)())((k k k kz z z z z k u n u Z（3）设,)(na n f =则∑∞=->>-==0,0,,)(k k k n a a z a z z z a a Z（4）设,!1)(n n f =则0,!1)!1(01>==∑∞=-z e z k n Z k z k第二节 差分方程常用解法与性质分析1、常系数线性差分方程的解方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8）其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。

又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9） 为方程（8）对应的齐次方程。

如果（9）有形如n n x λ=的解，带入方程中可得： 0...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。

显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。

基本结果如下：（1） 若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解： n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211，（2） 若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项： n m m n c n c c λ)...(121----+++（3）若（10）有一对单复根 βαλi ±=，令：ϕρλi e ±=，αβϕβαρarctan,22=+=，则（9）的通解中有构成项： n c n c n nϕρϕρsin cos 21--+（4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（9）的通项中有构成项：n n c n c c n nc n c c n m m m m nm m ϕρϕρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k 个独立的任意常数。

通解可记为：-n x 如果能得到方程（8）的一个特解：*n x ，则（8）必有通解： =n x -n x +*n x （11）（8） 的特解可通过待定系数法来确定。

例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的多项式，则当b 不是特征根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为m 次多项式；如果b 是r 重根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（8）中确定出系数即可。

2、差分方程的z 变换解法对差分方程两边关于n x 取Z 变换，利用n x 的Z 变换F （z ）来表示出k n x +的Z 变换，然后通过解代数方程求出F （z ），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的n x 例1 设差分方程1,0,0231012===++++x x x x x n n n ，求n x解：解法1：特征方程为0232=++λλ，有根：2,121-=-=λλ 故：n n n c c x )2()1(21-+-=为方程的解。

由条件1,010==x x 得：n n n x )2()1(---=解法2：设F （z ）=Z(n x ),方程两边取变换可得：0)(2))((3)1.)((0102=+-+--z F x z F z zx x z F z 由条件1,010==x x 得23)(2++=z z zz F由F （z ） 在2>z 中解析，有∑∑∑∞=∞=-∞=--=---=+-+=+-+=000)21()1(2)1(1)1(211111)2111()(k k k k k k k kk kz z z zz z z z z F 所以，n n n x )2()1(---=3、二阶线性差分方程组 设=)(n z )(n y x n，)(dc ba A =，形成向量方程组 )()1(n Az n z =+ （12） 则 )1()1(z A n z n =+ （13） （13）即为（12）的解。

为了具体求出解（13），需要求出n A ，这可以用高等代数的方法计算。

常用的方法有：（1）如果A 为正规矩阵，则A 必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A 的特征值，相似变换矩阵由A 的特征向量构成：)1()()1(,,111z p p n z p p A p p A n n n Λ=+∴Λ=Λ=---。

（2）将A 分解成ηξξη,,/,=A 为列 A A n n n .)(.......).(1//.//-===ηξηξηξηξηξ 从而，)1(.)()1()1(1/Az z A n z n n -==+ηξ（3） 或者将A 相似于约旦标准形的形式，通过讨论A 的特征值的性态，找出n A 的内在构造规律，进而分析解)(n z 的变化规律，获得它的基本性质。

4、关于差分方程稳定性的几个结果（1）k 阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（10）所有的 特征根k i i ...2,1,=λ满足1<i λ （2）一阶非线性差分方程)(1n n x f x =+ （14） （14）的平衡点-x 由方程)(--=x f x 决定， 将)(n x f 在点-x 处展开为泰勒形式：)())(()(/---+-=x f x x x f x f n n （15）故有：1)(/<-x f 时，（14）的解-x 是稳定的，1)(/>-x f 时，方程（14）的平衡点-x 是不稳定的。