重点中学选拔考试的试卷，考察学生的计算能力是必不可少的，近几年来又以考察：1.速算巧算；2.分数的计算技巧为明显趋势。

本讲我们将系统地归纳和总结这一部分的技巧和方法。

1.回顾提取公因数（式）和凑整的应用；2.精讲公式应用、循环小数化分数、分数的拆分。

【例1】 1324264839724129612424836124816⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯【分析】 原式=3333331324(1234)9124(1234)⨯⨯⨯+++=⨯⨯⨯+++， （此题学生容易做成1324(1234)9124(1234)⨯⨯⨯+++=⨯⨯⨯+++，虽然答案对,但是老师要强调错误原因。

）【拓展】（首师大附中入学选拔试题）1202505051313131321212121212121212121+++【分析】原式=121015101011310101011251312121101211010121101010121212121⨯⨯⨯+++=+++=⨯⨯⨯。

【例2】 求3333333×6666666乘积的各位数字之和。

【分析】 原式=9999999×2222222=（10000000-1）×2222222 =11111110000000-2222222 =11111107777778专题回顾教学目标计算之公式应用及技巧第一讲所以，各位数字之和为8×7=56。

下面这些公式是小学奥数中常见的计算公式，同学们一定要熟练掌握，这可是小升初考试中计算的好帮手。

同时也希望同学们在做题时能够对一些规律性比较强的数字的计算自己进行归纳。

常用技巧： 1. 100171113abcabc abc abc =⨯=⨯⨯⨯；2. 10101371337ababab ab ab =⨯=⨯⨯⨯⨯；3.10.1428577=，20.2857147=，30.4285717=， 40.5714287=，50.7142857=，60.8571427=； 4.1111111111123321n n n ⨯=个个，其中9n ≤。

经典精讲常用公式常用公式： 1. (1)1232n n n ⨯+++++=； 2. 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯++++=； 3. ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=； 4. ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=；5. ()222222(21)(21)(41)13572133n n n n n n ⨯+⨯-⨯-+++++-==； 6. 等比数列求和公式：0111111(1)1n n a q Sn a q a q a q q --=++⋅⋅⋅+=-。

7. 平方差公式:：()()22a b a b a b -=+-；8.完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=++；用文字表述为：两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+。

为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”。

【例3】 计算199297395501⨯+⨯+⨯++⨯【分析】原式()()()()11012121012231012350101250=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯222211012121012231012350101250=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯()()222212350101212350=++++⨯-⨯++++=50511016⨯⨯42925=注：这条算式与222212350++++的值相等。

【拓展】计算1232343458910⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯【分析】原式()()()()2222221331441991=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-()333323492349=++++-++++()()2123912349=++++--++++24545=-1980=【例4】 计算3333333313579111315+++++++【分析】原式()333333333123414152414=++++++-+++()()223331515181274+=-⨯+++22576002784=-⨯⨯ 8182=。

【前铺】(浙江省小学数学活动课夏令营)11111111111357911131517192481632641282565121024+++++++++= 。

【分析】原式=11111111111357911131517192481632641282565121024+++++++++++++++++++=()1111910121024⨯+⨯+-10231001024=。

【点评】对公比为2的等比数列求和，可以运用“借来还去”的技巧。

本题对于后面的等比数列部分，可以“借来”11024，则有最后两个数的和等于前面一个数，依此前推，则总得数为两个12，即为1,但这不是最终结果，因为要“还去”11024，即111024-。

一般地，()1211111122221n n n S a a a a a -=++++=-。

【例5】 （06年希望杯）计算：3333341664102440963＋＋＋＋＋256【分析】 原式=234566633333311()44444444++++++-43214321公元前1世纪古希腊数学家尼科梅切斯(Nichomachus )就是采用数形结合的方法——图解法，得出了三次方幂求和的公式：333321123[(1)]2n n n ++++=⨯⨯+尼科梅切斯给出的解法是这样的：把求和式中任意一项k 。

写成“2k k ⨯”的形式，那么3k 就 可以理解成k 个“边长为k ”的正方形面积之和。

那么，可以构 造一个图形，如图：一方面，图中大正方形的边长为“1+2+3+4”，面积为2(1234)+++。

另一方面它又等于全部小正方形的面积之和。

但是注意在放置两个2×2及4×4的正方形时，两个正方形有重叠部分——图中浅色阴影正方形，再把重叠部分补到它的右上方的小正方块——图中深色阴影正方形中去，这样一来这些小正方形的面积和正好等于边长为“1+2+3+4”的大正方形面积。

所以：23333222221123411223344(1234)4(41)2⎡⎤+++=⨯+⨯+⨯+⨯=+++=⨯⨯+⎢⎥⎣⎦= 2345563333311()4444444+++++- ......=63114095()4444096+-=。

【例6】 234561111111333333++++++【分析】 (法一)设234561111111333333S =++++++则23451111133133333S =++++++61333S S -=-，整理可得3641729S =。

（法二）由题设，2345622222222333333S =++++++，则运用【例5】的方法， 将等式化为61233S +=，整理得到3641729S =。

【例7】 (浙江省小学数学活动课夏令营)⑴()2314159263141592531415927-⨯=______； ⑵221234876624688766++⨯=______。

【分析】⑴设31415926a =原式()()()2221111a a a a a =--+=--= ⑵原式2212348766212348766=++⨯⨯()212348766=+100000000=【点评】这里介绍平方差公式与完全平方公式的变形应用：【例8】 22222222(246100)(13599)12391098321+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++【分析】 原式=222222222(21)(43)(65)(10099)10-+-+-+⋅⋅⋅+-=(21)(21)(43)(43)(65)(65)(10099)(10099)100+-++-++-+⋅⋅⋅++-=3711199100+++⋅⋅⋅+=1(3199)502100⨯+⨯=20215042=【例9】 222222222212233445200020011223344520002001+++++++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯【分析】 原式=2222222222122334452000200112122323343445452000200120002001++++++++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =12233445200020012132435420012000++++++++⋅⋅⋅++ =2132435199920012000()()1223344200020002001⎛⎫⎛⎫+++++++⋅⋅⋅+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=20002000222222001++++⋅⋅⋅++个2相加=200040002001【点评】本题利用性质：b c b ca a a+=+对各个分数进行计算、比较。

【前铺】推导以下算式10.191240.129933123410.123999333=====12340.12349999121110.12909012312280.123900225=-==-== 123412311110.1234900090001234126110.123499004950123411370.123499901110-==-==-==【分析】以此题为例，推导1234126110.123499004950-==， 设：0.1234为A ,那么100A =12.34,10000A =1234.34， 所以：10000100A A -1234121222=-=,122261199004950A ==。

循环小数化分数【例10】⑴0.54+0.36 ⑵ 0.1230.034- ⑶0.3300.186⨯ ⑷ 0.1240.1230÷【分析】⑴原式=4360.59099++899990=。

⑵原式12313440.0899099045-=+==。

⑶原式=3301861999990-⨯330185999990⨯=⨯581=。

⑷原式124199999901230-=⨯1011.01100==。

【例11】 计算110.150.2180.3111⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭【分析】原式=1512182111909903111--⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭ 3799=1113111⨯⨯181=。

【例12】（江苏省吴江市小学数学联赛）在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立。