1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在两台计算 机上，用了1200个小时，完成了四色猜想的证明.
1883年法国的数学家 Edouard Lucas 提出的河内塔问题(Tower of Hanoi)。
例4:(梵塔传说)传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根 针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按 下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起 “过渡”的作用.
聪明的各位，想想看，他们是怎么知道的？
已知 判断
前提
新的 判断
结论
——归纳推理
铜能导电
铝能导电 金能导电
银能导部电分
一切金属 都能导电.
甲、乙、丙、
丁四所高中学 生普遍认为数 学是严肃枯燥 的。
全市高中 生普遍认 为数学是 枯燥的.
整体
个别
三角形内角和
为 180
凸四边形内角
和为360
凸五边形内角
2.1.1 合 情 推 理
华罗庚爷爷讲的小故事：
• 有位老师想考考他的两个学生. 他采用如 下的方法：事先准备好两顶白帽子，一顶 黑帽子，让学生们看到，然后让他们闭上 眼睛. 老师给他们戴上帽子，并把剩下的那 顶帽子藏起来. 最后让学生睁开眼睛，看着 对方的帽子，说出自己所戴帽子的颜色. 两 个学生互相望了望，犹豫了一小会儿，然 后异口同声地说：“我们戴的是白帽子” .
天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由个别推知一般.
谚语“瑞雪兆丰年” 物理学中牛顿发现万有引力
化学中的门捷列夫元素周期表
天文学中开普勒行星运动定律
例1.已知数列{an}的第1项a1=1， （n=1 , 2 , …),
an1
1
an an
(1)试归纳出这个数列的通项公式;
(2) Sna113a123a133a1n3
1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。
最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。
2 21 1 5 ,
2 2 2 1 17 ,
223 125,7224 16553, 7
都是质数
猜想：22n 1是质数.
归纳推理的 一般步骤
观察分析
发现规律
半个世纪之后，欧拉发现：
大胆猜想
和为 540
凸n边形 内角和为
n218.0
一 第一个数为2
第二个数为4 第三个数为6
般
第n个 数为2n.
第四个数为8
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物 的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般 性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).
观察下列等式 6 = 3 + 3 16 = 5+11 8 = 3 + 5 18 = 7+11 10= 3 + 7 20 = 7+13 12= 5 + 7 22 = 5+17
1.每次只能移动1个圆环； 2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了.
请你试着推测：把 n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移
动多少次?
2
1
3
n=1时, f (1) 1
2
1
3
n=1时, f (1) 1
n=2时, f (2) 3
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
猜想 F+V-E=2 欧拉公式
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
7
10
15
截角正方体 7
10
15
尖顶塔
9
9
16
小结
2
1
3
n=1时, f (1) 1
n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7
2
1
3
n=1时, f (1) 1
n=2பைடு நூலகம், f (2) 3 n=3时, f (3) 7
n=4时, f (4) 1 5
归纳: f(n)2n 1
归纳推理是科学发现的重要途径!
成语“一叶知秋” 意思是从一片树叶的凋落，知道秋
归纳出一个规律：
偶数=奇质数+奇质数
通过更多特例的检验, 从6开始,没有出现反例.
大胆猜想:
任何一个不小于 6的偶数都等于两个 奇质数的和.
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
在陈景润之前，关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和 (简称“s + t ”问题)之进展情况如下: 1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。 1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。 1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。 1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。 1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。 1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。 1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”，其中c是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。 1957年，中国的王元先後证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”，中国的 王元证明了“1 + 4 ”。 1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及意大 利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。
225 142949672967416700417
检验猜想
后来人们发现 226 1,227 1,228 1都是合数.
新的猜想：形如22n 1（n 5）的数都是合数.
每幅地图可 以用四种颜色着 色，使得有共同 边界的相邻区域 着上不同色.
1852年，英国人弗南西斯·格思里为地图着色 时，发现了四色猜想.
可用数学归纳法证明 这个猜想是正确的.
练习:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
立方体
正八面体
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)