第1讲 整数计算第一部分：知识介绍一、基本运算律及公式1．加法：加法交换律、加法结合律2．减法：在连减或者加减混合运算中，去括号、添括号的规则3．乘除法：1） 乘法交换率、乘法结合率、乘法分配率（反过程是提取公因数）、积不变性质2） 商不变性质3） 在乘除混合运算中，去括号、添括号的规则二、加减法中的速算与巧算1、 分组凑整法2、加补凑整法3、位值原理法4、“基准数”法三、乘除法中的速算与巧算1、 乘法凑整：2510⨯=，425100⨯=，81251000⨯=，711131001⨯⨯=2、乘法其他速算方法：（详细例子见附录）20以内的两位数相乘、首同尾非十的两位数相乘、首同尾十的两位数相乘、首十尾同的两位数相乘、任意多位数数x 11、任意两位数x 任意两位数。

3、在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b ÷÷=÷÷两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘，即()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷四、计算的应用1、定义新运算：定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

2、平均数计算：平均数问题的数量关系式，总数量÷总份数=平均数, 平均速度=总路程÷总时间.解平均数问题，关键是要找准总数量及对应的总份数。

第二部分：例题精讲【例 1】 巧算： 20052004200320022001200019991998199719967654321+--++--++-⋅⋅⋅--++--+=【考点】分组凑整【解析】观察数字和符号的规律得，从第二个数开始每四个数分为一组，每组结果都为0，一直到最后四个数刚好是最后一组。

所以结果为2005.【答案】2005【例 2】 （上外面试题汇编）巧算：（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6＝【考点】基准数【解析】观察括号里的6个数，每个数都很接近4940，可全看成4940，多的减掉，少的补上，得(49406232113)6(494066)64941⨯++--++÷=⨯+÷=【答案】4941【例 3】 巧算：(123456234561345612456123561234612345)111111+++++÷=【考点】位值原理【解析】观察括号里的6个数，从每个数位上看都有1~6，由位值原理得(123456)11111111111121+++++⨯÷=【答案】21【例 4】 巧算：45691117366685⨯⨯⨯⨯⨯÷⨯⨯（）（）=【考点】分组配对【解析】观察除法前后两个括号里的数，发现第一个括号里两两配对之后与第二个括号相同，即(49)(611)(517)366685⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，所以最后相除后等于1。

【答案】1【例 5】 （上外面试题汇编）巧算：1999＋999×999＝【考点】拆数，提取公因数【解析】观察所给数的特点后采用提取公因数进而凑整的方法，得++⨯=+⨯+=⨯=10009999999991000999(9991)100010001000000【答案】1000000【例 6】计算：11192199319994+++所得和数的数字之和是多少？【考点】加补凑整【解析】观察后三位数，可分别补上8,7,6使得凑成整百整千整万的数+++=++-=-=1119219931999420020002000010222001122189最终所得数的数字和是22【答案】22【例 7】（上外面试题汇编）请用简便方法计算：19981999×19991998－19981998×19991999＝【考点】拆数，提取公因数【解析】前两个不是重码数需要拆数变形，再提取公因数得⨯--⨯=-=19981999(199919991)1998199819991999199919991998199910000【答案】10000【例 8】（上外面试题汇编）72×108＋108×46－（118×142－118×134）＝【考点】提取公因数+⨯--⨯=⨯-=【解析】观察可直接提取公因数得(7246)108(142134)118118(1088)11800【答案】11800【例 9】（2010年上外面试题）若a△b=(a+b)/(b-a)，请计算1△2+2△3+3△4+4△5+5△6+6△7= 【考点】定义新运算+++++=【解析】新运算符号表示两数和除以两数差，得3579111348【答案】48【例 10】（2013年上外面试题）现在定义一种符号△，并满足a△b（a>b）是a除以b的余数。

已知a△4=a△6，那么a的最小值是（）【考点】定义新运算，同余，最小公倍数【解析】由新运算符号及所给条件知a应该大于6并且除以4和6同余，那么当a取4和6的最小公倍数12时，是满足条件的最小值，除以4和6后都余零。

【答案】12【例 11】某小组有10人，他们的数学成绩分别是：87、91、94、88、93、91、89、87、92、86，求这个组的平均成绩？【考点】平均数，基准数【解析】10个成绩都接近90，可采用基准数算法，总分是9020314231132490202⨯-++-++--+-=⨯-那么平均成绩=(90202)20900.189.9⨯-÷=-=分【答案】89.9【例 12】 （2012年上外面试题）某学生算六个数的平均数，最后一步应除以6，但是他将“÷”错写成“×”，于是得错误分析1800，那么，正确分析是__________。

【考点】平均数的概念，还原逆推【解析】6个数的和是300，由平均数的数量关系式求得平均数就是50【答案】50第三部分：课堂检测【检测 1】计算：（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋8＋1988）＝（ ）。

【考点】分组计算【解析】观察两个括号中数的特点，对应两两相减得1，共得995个1.【答案】995【检测 2】计算：343535353434⨯-⨯．【考点】重码数，提取公因数【解析】观察，把数分拆后提取公因数，得(351)35353534343510135350-⨯-⨯=⨯-=或者直接利用重码数前一项可变换为3435101353434⨯⨯=⨯前后两项相同，做差为0.【答案】0【检测 3】389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝（ ）。

【考点】基准数【解析】选基准数380，得380797354682660422702⨯+++++++=+=【答案】2702【检测 4】（上外面试题汇编）计算：1÷50＋2÷50＋……＋99÷50＝（ ）。

【考点】除法的性质【解析】直接计算(1299)501009950198+++÷=⨯÷=L【答案】198【检测 5】200920082008200820092009⨯-⨯=_______【考点】重码数【解析】观察后直接利用重码数的特点，200920081000120082009100010⨯⨯-⨯⨯=【答案】0【检测 6】定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求6△（3△4）的值。

【考点】新运算，多重运算【解析】两重运算，先按照新运算计算括号3△4 =1，再算6△1=7【答案】7【检测 7】规定新运算※:a ※b =3a -2b .若x ※(4※1)=7,则x = .【考点】新运算，多重运算【解析】两重运算，先算括号4※1=10，再由结果逆推，x ※10=7，得x=9【答案】9【检测 8】有一个数学运算符号⊗，使下列算式成立：248⊗=，5313⊗=，3511⊗=，9725⊗=，求73?⊗=【考点】新运算，找规律【解析】观察数的规律，第一个数的2倍加上第二个数得到结果，所以7372317⊗=⨯+=【答案】17【检测 9】（上外面试题汇编）7个数的平均数是29 ，把7个数排成一列，前3个数的平均数是25，后5个数的平均数为38，则第三个数是（ ）？【考点】平均数【解析】前3个数的和是25375⨯=，后5个数的和是385190⨯=，7个数的总和是297203⨯=。

则第3个数是7519020362+-=。

【答案】62【检测 10】（上外面试题汇编）某同学在4次数学测试中，取得的平均分数是84分，他要使平均分上升到86分，在下次测验中，他至少要得（ ）分？（按整分计算）【考点】平均数，移多补少【解析】前4次测试平均分要提高2分到86分，需要下次考试的分数比86分至少高248⨯=分，这样才能把多出来的8分补给前4次各2分。

【答案】94第四部分：家庭作业【作业1】 计算：333333333333 ⨯【考点】多位数的巧算【解析】多位数的计算可利用999999，再凑整，可巧算得111111999999111111000000111111111110888889⨯=-=【答案】111110888889【作业2】 计算： 345345788690105606⨯+⨯【考点】提取公因数【解析】观察有重码数345345，并且690与345有2倍关系，变形为3451001788345211212345(788788211212)345000000⨯⨯+⨯=⨯+=【答案】345000000【作业3】 计算：64444222233335555⨯⨯+⨯的得数中有 个数字是奇数。

【考点】提取公因数【解析】多位数计算，提取公因数，再利用9999凑整，11111111(4815)11111111637777999977762223⨯⨯+=⨯⨯=⨯=，所以有4个奇数。

【答案】4【作业4】 求777777777777777777777+++++的和的十位数字是___________.【考点】位值原理【解析】个位加起来42，十位加起来是35，最终十位数字是9【答案】9【作业5】 如果a △b 表示(2)a b -⨯,例如3△4(32)44=-⨯=,那么,当a △5=30时, a = .【考点】定义新运算【解析】由结果逆推得a=8【答案】8【作业6】 （上外面试题汇编）如果a △b 表示（a －2）×b ，例如：3△4＝（3－2）×4＝4。