ax≤20， 2xa≥1，
亦即aaxx≥≥22a02，
①或aaxx≤≤22a02，.
②
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微专题一 解不等式及线性规划
由题意知，不等式组①与②的解集的并集为{x|x>0}， 故 2a2＝20，即 a＝ 10或 a＝－ 10(舍去)．
－2，12 解析：由 y＝x2 得 y′＝2x，则在点 x＝1 处的切线斜率 k＝2×1＝2，切 线方程为 y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图
阴影部分所示，则点 A(0，－1)，B12，0.
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原创与经典•大二轮整体设计
年份 2017 2018 2019
填空题
T7解一元二次不等式 T11解函数不等式 T5解对数不等式 T4解不等式
解答题
T20不等式证明 T20绝对值不等式 T19，T20函数、数列中不等关系的论证
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微专题一 解不等式及线性规划
典课 型时 例作 题业
点评：本题为解函数不等式，直接代入解析式后解不等式；注意对于这类问题还 会通过研究函数单调性、奇偶性、图象等直接转化为自变量大小比较．
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微专题一 解不等式及线性规划
(2) 已知函数 f(x)＝x2＋mx－1，若对任意 x∈[m，m＋1]，都有 f(x)<0 成立，则实 数 m 的取值范围是________． － 22，0 解析：据题意ffmm＋＝1m＝2＋mm＋2－112<＋0，mm＋1－1<0， 解得－ 22<m<0.
10 3
解析：x2＋xyy－2＋x2＋x－y－2y1＋2＝x＋x＋112＋y－y－112＝yx－ ＋11＋xy＋ －11，令 t＝yx－ ＋11，则 t
的几何意义为 2≤y≤4－x，x≥1 对应的可行域中的任一点与点(－1,1)连线的斜率．
由下图可得 t∈13，1，即t＋1t max＝130当t＝13时取得，故原式的最大值为130.
1.
已知函数
f(x)
＝
x，x≥0， x2，x<0，
则关于 x
的不等式
f(x2) ＞ f(3 － 2x) 的 解 集 是
________． (－∞，－3)∪(1,3)
解析：由题意得x32－>32－x≥2x0， 或3x2－>23x－<02，x2，
解得 x<－3
或 1<x≤32或32<x<3，即 x∈(－∞，－3)∪(1,3)．
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点评：本题所求分式可以进行配方，发现式子结构的特征为“二元齐次”，所给 不等式条件联想线性规划的思想，利用几何法求解最值．
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微专题一 解不等式及线性规划
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点评：在二次方程、不等式及函数的处理过程中要注意灵活使用判别式，同时要 注意主变量与辅变量及它们的取值范围．
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【思维变式题组训练】
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2. 已知函数 f(x)＝|xx＋|＋11，x∈R，则不等式 f(x2－2x)＜f(3x－4)的解集是________． (1,2) 解析：f(x)＝|xx＋ |＋11＝1x－－，21－1，xx<≥00，， f(x)在(－∞，0)上单调递增，在[0，
微专题一 解不等式及线性规划
点评：(1) 线性规划问题本质是借助于图形研究二元函数的最值问题．其中常见的 几何意义有斜率、截距、距离． (2) 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤如下： ① 在平面直角坐标系中作出可行域； ② 考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形； ③ 确定最优解：在可行域内平移目标函数变形后的直线，从而确定最优解； ④ 求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
根为 x1，x2，且 x1＜x2，易知 x1＜0，x2＞0.又当 x＞0 时，原不等式恒成立，故 x
＝1a是方程 x2＋ax－5＝0 的一个根，代入得 a＝12.
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解法二：如图所示，当 a＝0 时，显然不能使原不等式对任意的 x＞0 恒成立，故 a≠0， 且当 x＝1a，a≠0 时，原不等式恒成立．易知 a＞0，当 x＝1a时，ax－1＝0，此时， 结合图象可知 x＝1a是方程 x2＋ax－5＝0 的一个根，所以 a＝12.
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(3) 已知函数 f(x)＝x3－2x＋ex－e1x，其中 e 是自然对数的底数．若 f(a－1)＋f(2a2)≤0， 则实数 a 的取值范围是________． －1，12 解析：因为 f(－x)＝－x3＋2x＋e1x－ex＝－f(x)，所以函数 f(x)是奇函数．因 为 f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2 ex·e－x≥0，所以 f(x)在 R 上单调递增．又 f(a－1)＋f(2a2)≤0，即 f(2a2)≤f(1－a)，所以 2a2≤1－a，即 2a2＋a－1≤0，解得－ 1≤a≤12，故实数 a 的取值范围为－1，12.
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4. 已知函数 f(x)＝x＋4sinx，若不等式 kx＋b1≤f(x)≤kx＋b2 对一切实数 x 恒成立， 则 b2－b1 的最小值为________．
8 解析：思路分析：设 g(x)＝f(x)－kx，则 g(x)是有界函数． 设 g(x)＝f(x)－kx＝(1－k)x＋4sinx，x∈R. 若 k≠1，则 g(x)的值域为 R，不合题意． 若 k＝1，则 g(x)＝4sinx 的值域为[－4,4]，所以 b2－b1 的最小值是 4－例题 课后作业
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点评：解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为 f(g(x))>f(h(x))的形式， 然后根据函数 f(x)的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 g(x)与 h(x)的取值应在函数 f(x)的定义域内．
＋ ∞) 上 的 值 始 终 为 1. 而
f(x2
－
2x)
＜
f(3x
－
4)
，
则
x2－2x＜0， 3x－4≥0，
或
x2－2x＜3x－4， 3x－4<0， x2－2x<0，
解得43≤x＜2 或 1＜x＜43，则不等式的解集为 1＜x＜2.
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目标 1 解不等式 例 1 (1) 已知函数 f(x)＝－ x2＋x2， 2x，x≥x<0，0， 则不等式 f(f(x))≤3 的解集为________．
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(－∞， 3] 解析：x＞0 时，f(f(x))≤3 即 x4－2x2－3≤0 且－x2<0，x∈(0， 3]； x＝0 时，f(f(x))≤3 即 0≤3 成立； －2＜x＜0 时，x2＋2x<0，f(f(x))≤3 即(x2＋2x＋3)(x2＋2x－1)≤0 成立； x≤－2 时 f(f(x))≤3 即－(x2＋2x)2≤3 成立． 综上，不等式的解集为(－∞， 3]．
【思维变式题组训练】
x－y＋1≥0， 1. 若 x，y 满足约束条件x＋y－3≥0，
x－3≤0，
则 z＝x－2y 的最小值为________．
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－5 解析：由xx＋－yy－＋31＝＝00， 得yx＝＝21，， 点 A(1,2)． 由xx－－3y＋＝10＝0， 得yx＝＝43，， 点 Β(3,4)． 由xx＋－y3－＝30＝，0 得yx＝＝03，， 点 C(3,0)．分别将 Α，Β，C 代入 z＝x－2y 得 zΑ＝1－2×2 ＝－3，zΒ＝3－2×4＝－5，zC＝3－2×0＝3，所以 z＝x－2y 的最小值为－5.
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目标 2 线性规划的基本问题
例 2 (1) 已知抛物线 y＝x2 在 x＝1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 D(包 含三角形内部与边界)．若点 P(x，y)是区域 D 内的任意一点，则 x＋2y 的取值范围 是________．
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微专题一 解不等式及线性规划
x2＋y2 为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中点 A 距离原点最近，此时 距离为原点到直线 2x＋y－2＝0 的距离，d＝ －4＋21＝255，则(x2＋y2)min＝45； 图中点 B 距离原点最远，点 B 为 x－2y＋4＝0 与 3x－y－3＝0 的交点，则 B(2,3)， 则(x2＋y2)max＝13.