当前位置:文档之家› 高二【数学(人教A版)】《数学归纳法》【教案匹配版】最新国家级中小学课程全高清

高二【数学(人教A版)】《数学归纳法》【教案匹配版】最新国家级中小学课程全高清


证明
高中数学
( ) 的单调性. 难以应用数学归纳法
恒成立.
例1 证明:
证明:(1)当n=1时,①式的左边

右边
高中数学高二上册

,所以①式成立.
高中数学
(2)假设当n=k (
)时, ①式成立,即

在上式两边同时加上
,有
高中数学高二上册
目标

高中数学
(2)假设当n=k (
)时, ①式成立,即

在上式两边同时加上
,上册
典例剖析
例2 已知数列 满足 ,
( ),试
猜想数列 的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
下面用数学归纳法证明这个猜想

(1)当n=1时,②式左边
,右边
,猜想成立.
②式成立,即

那么

高中数学
即当n=k+1时,猜想也成立. 由(1)(2)可知, 猜想对任何
典例剖析
例3 设x为正实数,n为大于1的正整数,若数列
1,1+x, ,…,
,… 的前n项和为 ,
试比较 与n的大小,并用数学归纳法证明你的结论.
解法2:显然,所给数列是等比数列,公比为1+x,于是
高中数学
当n=2时, 当n=3时,
由此,我们猜想,
,由x>0,可得

,由x>0,可得
.
.
高中数学高二上册
,有
高中数学高二上册
, 高中数学
高中数学
高中数学高二上册

高中数学高二上册

高中数学
即当n=k+1时, ①式也成立
由(1)(2)可知, ①式对任何
都成立.
方法归纳
问题2 怎样正确地使用数学归纳法?
不能缺少第一步的验证;
高中数学高二上册
用上假设,递推才真
高中数学
高中数学高二上册
典例剖析
例2 已知数列 满足 ,
( ),试
猜想数列 的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
解:由
,可得
( ).

可得
.
同理可得


.
高中数学
归纳上述结果,猜想
( ).
高中数学高二上册
典例剖析
例2 已知数列 满足 ,
( ),试
猜想数列 的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
下面用数学归纳法证明这个猜想

(1)当n=1时,②式左边
,右边
,由x>0,可得

当n=3时, 由此,我们猜想,
,由x>0,可得 .
.
高中数学
高中数学高二上册
典例剖析
解法1:用数学归纳法证明 猜想 (1)当n=2时,由上述过程知,不等式成立. (2)假设当n=k时,不等式成立.
高中数学
高中数学高二上册
典例剖析
解法1:用数学归纳法证明 猜想
(1)当n=2时,由上述过程知,不等式成立.
(2)假设当n=k
时,不等式成立,即

由x>0,可得1+x>1,所以
.
于是
当n=k+1时,不等式也成立.
高中数学
高中数学高二上册
典例剖析
解法1:用数学归纳法证明 猜想
(1)当n=2时,由上述过程知,不等式成立.
(2)假设当n=k
时,不等式成立,即

由x>0,可得1+x>1,所以
.
于是
,所以,当n=k+1时,不等式也成立.
高中数学高二上册
数学归纳法(2)
年 级:高二 主讲人:
学 科:数学(人教A版) 学 校:
复习导入
高中数学高二上册
高中数学
归纳奠基
归纳递推
两个步骤 缺一不可
高中数学高二上册
复习导入
问题1 什么时候需要应用数学归纳法? 数学归纳法一般被用于证明某些 与无限多个正整数n有关的命题
证明对任意的正整数n,等式 不必应用数学归纳法
由(1)(2)可知, 不等式
对任何大于1的正整数n都成立.
高中数学
高中数学高二上册
典例剖析
例3 设x为正实数,n为大于1的正整数,若数列
1,1+x, ,…,
,… 的前n项和为 ,
试比较 与n的大小,并用数学归纳法证明你的结论.
解法2:显然,所给数列是等比数列,公比为1+x,于是
高中数学
高中数学高二上册
解法1:由已知可得
.
当n=2时,
,由x>0,可得

当n=3时, 由此,我们猜想,
,由x>0,可得 . .
高中数学
高中数学高二上册
典例剖析
例3 设x为正实数,n为大于1的正整数,若数列
1,1+x, ,…,
,… 的前n项和为 ,
试比较 与n的大小,并用数学归纳法证明你的结论.
解法1:由已知可得
.
当n=2时,
对任何大于1的正整数n都成立.
高中数学高二上册
课堂小结
问题3 通过本节课,你有哪些收获? 什么时候需要应用数学归纳法? 怎样正确地应用数学归纳法?
高中数学
高中数学高二上册
课后作业
1.用数学归纳法证明:
.
2.若数列
的前n项和为 ,
计算 , , ,由此推测计算 的公式,并用数学归纳法
进行证明.
高中数学
都成立.
高中数学高二上册
典例剖析
追问:把例2中的“ ”换成“ ”,其他条件不变, 试猜想数列 的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
体会初始值的改变对其通项公式繁简程度的影响
高中数学
高中数学高二上册
典例剖析
例3 设x为正实数,n为大于1的正整数,若数列
1,1+x, ,…,
,… 的前n项和为 ,
试比较 与n的大小,并用数学归纳法证明你的结论.
典例剖析
解法2:用数学归纳法证明 猜想 (1)当n=2时,由上述过程知,不等式成立.
高中数学
高中数学高二上册
典例剖析
解法2:用数学归纳法证明 猜想
(2)假设当n=k
时,不等式成立,即

由x>0,知
. 所以
又x>0,所以
高中数学
=xk+k+1. 所以,当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)可知, 不等式
相关主题