2004年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim
0=--→b x a
e x
x x ，则=a ______，=b ______. (2) 设函数),(v u f 由关系式)()],([y g x y y xg f +=确定，其中函数)(y g 可微，且
0)(≠y g ，则2f
u v
∂=
∂∂.
(3) 设⎪⎩
⎪⎨⎧≥
-<≤-=21,12121,)(2
x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.
(4) 二次型2
132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .
(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>
}{DX X P _______.
(6) 设总体X 服从正态分布),(2
1σμN , 总体Y 服从正态分布),(2
2σμN ,1,,21n X X X 和
2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则
12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤
-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
∑∑.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2
)
2)(1()
2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).
(C) (1 , 2).
(D) (2 , 3).
(8) 设)(x f 在(-∞,+∞)内有定义，且a x f x =∞
→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
,00
,)1()(x x x f x g ，则
(A) 0=x 必是)(x g 的第一类间断点.
(B) 0=x 必是)(x g 的第二类间断点. (C) 0=x 必是)(x g 的连续点.
(D) )(x g 在点0=x 处的连续性与a 的取值有关.
(9) 设)1()(x x x f -=，则
(A) 0=x 是)(x f 的极值点，但)0,0(不是曲线)(x f y =的拐点. (B) 0=x 不是)(x f 的极值点，但)0,0(是曲线)(x f y =的拐点. (C) 0=x 是)(x f 的极值点，且)0,0(是曲线)(x f y =的拐点. (D) 0=x 不是)(x f 的极值点，)0,0(也不是曲线)(x f y =的拐点.
(10) 设有下列命题：
(1) 若
∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞
=1
n n u 收敛.
(2) 若
∑∞
=1
n n u 收敛，则∑∞
=+1
1000n n u 收敛.
(3) 若1lim
1
>+∞→n
n n u u ，则∑∞
=1
n n u 发散. (4) 若
∑∞=+1
)(n n n v u 收敛，则∑∞=1
n n u ，∑∞
=1
n n v 都收敛.
则以上命题中正确的是
(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4).
(11) 设)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f )(a f >. (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f )(b f >. (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .
(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.
(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有
(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ]
(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*
≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的
互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.
(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.
(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{, 若αx X P =<}|{|, 则x 等于
(A) 2
αu . (B) 2
1αu
-. (C) 2
1αu -. (D) αu -1.
三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)
求)cos sin 1(
lim 2
220x x
x x -→.
(16) (本题满分8分)
求
⎰⎰++D
d y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的
平面区域(如图).
(17) (本题满分8分)
设)(x f , )(x g 在],[b a 上连续，且满足
⎰⎰≥x
a
x
a
dt t g dt t f )()(，],[b a x ∈，
⎰⎰=b
a
b
a dt t g dt t f )()(.
证明：
⎰⎰≤b
a b a dx x xg dx x xf )()(.
(18) (本题满分9分)
设某商品的需求函数为P Q 5100-=，其中价格)20,0(∈P ,Q 为需求量.
(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E >0)；
(II) 推导
)1(d E Q dP
dR
-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加.
(19) (本题满分9分)
设级数
)(8
642642428
64+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) )(x S 所满足的一阶微分方程；
(II) )(x S 的表达式.
(20)(本题满分13分)
设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T
β)3,3,1(-=,
试讨论当b a ,为何值时,
(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;
(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;
(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.
(21) (本题满分13分)
设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A .
(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;
(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1
-为对角矩阵.
(22) (本题满分13分)
设A ，B 为两个随机事件,且41)(=
A P , 31)|(=A
B P , 2
1)|(=B A P , 令
⎩⎨
⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.
0,1不发生，发生，
B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布;
(Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.
(23) (本题满分13分) 设随机变量X 的分布函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,
(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.。