俯视图高三第一次月考 数学试题（理科）第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误．．的是 （ ） A ．→--AB ＝→--DCB ．→--AD ＋→--AB ＝→--ACC ．→--AB －→--AD ＝→--BDD ．→--AD ＋→--CB ＝→0 2．函数y=)23(log 21-x 的定义域是（ ）A ．［1，+∞）B ．（32,+∞）C ．［32，1］D ．（32,1］3．如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 ）ABC D ．83 4．已知向量,a b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则3a b-等于（ ）A B C D ．45．已知条件p ：（x+1）2>4，条件q:x>a,且q p ⌝⌝是的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥-3D ．a ≤-36．设函数⎩⎨⎧<--≥+=1,22,1,12)(2x x x x x x f 若1)(0>x f ，则0x 的取值范围 （ ）A ．),1()1,(+∞--∞B ．[)+∞--∞,1)1,(C ．),1()3,(+∞--∞D ．[)+∞--∞,1)3,( 7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线B 1C 和C 1D 所成角的正弦值为（ ）A ．2B ．12C ．—2D ．—128．定义21---=⊗ka ab b a ，则方程x x ⊗=0有唯一解时，实数k 的取值范围是 （ ） A ．}5,5{- B ．]2,1[]1,2[ --C ．]5,5[-D ．]5,1[]1,5[ --9．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2011）的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．210．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”．若2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是（ ）A ．[1，4]B ．[2，4]C ．[3，4]D ．[2，3]第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡相应位置． 11．函数176221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 在[]1,3-∈x 上的值域为 ．12．设非零向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ． 13．已知集合{}20A x x x x =-∈,R ≤，设函数2x f x a -=+()（x A ∈）的值域为B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间[-1，1]上至少存在一个实数c使f （c ）>0，则实数p 的范围 ．15．已知βα,是平面，n m ,是直线，则下列命题中正确．．的是 ． 若m ∥α⊥m n ,，则α⊥n ○2若m ∥n =⋂βαα,，则m ∥n若⊥m βα⊥m ,，则α∥β ○4若⊥m βα⊂m ,，则⊥αβ16．研究问题：“已知关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>+-a bx cx ”，有如下解法：解：由02>+-c bx ax ⇒0)1()1(2>+-xc x b a ，令x y 1=，则)1,21(∈y ， 所以不等式02>+-a bx cx 的解集为)1,21(．参考上述解法，已知关于x 的不等式0<++++cx bx a x k 的解集为)3,2()1,2( --，则关于x 的不等式0111<--+-cx bx ax kx 的解集为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。

18．如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC的中点．（Ⅰ）证明PA//平面BDE ；（Ⅱ）求二面角B —DE —C 的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？证明你的结论．19．已知2(1,),(,),m x n x x x a ==+-为实数，求关于x 的不等式：23()2()602a m n a m n ⋅-+⋅+>的解集．20．厦门某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为错误！不能通过编辑域代码创建对象。

（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为错误！不能通过编辑域代码创建对象。

平方米，且高度不低于错误！不能通过编辑域代码创建对象。

米．记防洪堤横断面的腰长为错误！不能通过编辑域代码创建对象。

（米），外周长（梯形的上底线段．．．．．．．错误！不能通过编辑域代码创建对象。

．．．．．．．．．．．．．．．．．与．两腰长的和．．．．．）为错误！不能通过编辑域代码创建对象。

（米）． ⑴求错误！不能通过编辑域代码创建对象。

关于错误！不能通过编辑域代码创建对象。

的函数关系式，并指出其定义域；⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过错误！不能通过编辑域代码创建对象。

米，则其腰长错误！不能通过编辑域代码创建对象。

应在什么范围内？⑶当防洪堤的腰长错误！不能通过编辑域代码创建对象。

为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值．21．若定义在R 上的函数()f x 对任意的R x x ∈21,，都有1)()()(2121-+=+x f x f x x f 成立，且当0>x 时，1)(>x f 。

（1）求证：1)(-x f 为奇函数； （2）求证：)(x f 是R 上的增函数；B（3）若5)4(=f ，解不等式3)23(2<--m m f ．22．已知二次函数2(),(1)f x ax bx f x =++为偶函数，函数()f x 的图象与直线y x =相切．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()[()](,)g x f x k x =--∞+∞在上是单调减函数，那么：①求k 的取值范围；②是否存在区间[,]()m n m n <，使得()f x 在区间[,]m n 上的值域恰好为[,]km kn ？若存在，请求出区间[m ，n]；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题答案：（每小题5分， 10道小题共50分）4．222203(3)691611cos6097,a b a b a a b b -=-=-+=-⨯⨯⨯+=3a b ∴-= 6．0()1f x >⇔000020001,1,1 1.21 1.22 1.x x x x x x x <≥⎧⎧⎪⇔≥<-⎨⎨+>-->⎪⎩⎩或或8．xx ⊗=00212=---⇔kx x 212+=-⇔kx x ,设21221+=-=⇔kx y x y 与方程解的问题转化为两个函数图象的交点由图可以观察出，]2,1[]1,2[ --∈k9．2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f （x ）的值以6为周期重复性出现．,所以f （2011）= f （1）=-1,10．22|()()||57|57f x g x x x x x -=-+=-+．由2571x x -+≤，得2560x x -+≤，解得23x ≤≤，．11．⎥⎦⎤⎢⎣⎡124421,21 12、 ⎝⎛⎪⎭⎫-∞-31,⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-,340,31 13、[102-,] 14．)23,3(- 15、○1○3○4 16、)1,21()31,21( -- 13．解：{}2001A x x x x =-∈=,R [,], ≤ 111021122x x B a a -∴-∈-⇒∈⇒=++[,][,][,].1011101022211a B A a a a a ⎧+≥⎪⊆∴++⊆∴⇒-≤≤⎨⎪+≤⎩,,[,][,],..17．解： （1）当0=a 时，()2x x f =为偶函数；当0≠a 时，()x f 既不是奇函数也不是偶函数．（2）设212≥>x x ，()()22212121x a x x a x x f x f --+=-()[]a x x x x x x x x -+-=21212121， 由212≥>x x 得()162121>+x x x x ，0,02121><-x x x x 要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数只需()()021<-x f x f ， 即()02121>-+a x x x x 恒成立，则16≤a 。

另解（导数法）：()22'xax x f -=，要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数，只需当2≥x 时，()0'≥x f 恒成立，即022≥-xax ，则[)+∞∈≤,1623x a 恒成立，故当16≤a 时，()x f 在区间[)+∞,2是增函数。

18． 解：（Ⅰ）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A （2，0，0），P （0，0，2），E （0，1，1），B （2，2，0）， )0,2,2(),1,1,0(),2,0,2(==-=DB DE PA设 1(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则由 111001,(1,1,1).2200n DE y z y n x y n DB ⎧⋅=+=⎧⎪=-=-⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ 得取得∵11220,,//.PA n PA n PA BDE PA BDE ⋅=-=∴⊥⊄∴ ，又平面平面（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(1,1,1)n =-是平面BDE 的一个法向量， 又2(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量． 设二面角B —DE —C 的平面角为θ，由图可知12,n n θ=<>∴121212cos cos ,||||n n n n n n θ⋅=<>=⋅故二面角B —DE —C 的余弦值为33（Ⅲ）∵)1,1,0(),2,2,2(=-= ∴.,0220DE PB ⊥∴=-+=⋅xyz PA C假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设)10(<<=λλ， 则)22,2,2(),2,2,2(λλλλλλ-=+=-=PF DP DF PF ， 由0)22(244022=--+=⋅λλλλ得 ∴PBPF 31)1,0(31=∈=，此时λ即在棱PB 上存在点F ，31=PF PB ，使得PB ⊥平面DEF19． 解：22m n x x x x ⋅=+-= ，23()2()602a m n a m n ∴⋅-+⋅+>化简得：(3)(2)0ax x -->．（1）当a =0时，不等式的解集为｛2x x <｝． （2）当a ＞0时，不等式化为a 3()(2)0x x a -->。