函数专题Part A ：基础部分一、映射f : A →B 的概念。

在理解映射概念时要注意：⑴ A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

例1、设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是A 、M 中每一个元素在N 中必有象B 、N 中每一个元素在M 中必有原象C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的D 、N 是M 中所在元素的象的集合；例2、点),(b a 在映射f 作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点_ （2，－1）； 二、函数f : A →B 是特殊的映射。

特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。

例1、已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈= 中所含元素的个数有 个（答： 0或1）；例2、若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2） 三、同一函数的概念。

构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。

而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。

四、函数的定义域（研究函数问题时要树立定义域优先的原则，因为此部分内容不太可能出现在选择题和填空题，它会经常放在19-21大题。

）：（内容简单，略）五、求函数值域（最值）的方法：（重点内容，分开先） 六、分段函数的概念。

（通常是图像解题）分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。

在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。

例、已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________（答：3(,]2-∞）七、求函数解析式的常用方法：（1）代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。

值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。

例1、已知,sin )cos 1(2x x f =-求()2x f的解析式（答：242()2,[f x xx x =-+∈）； 例2、若221)1(xx x x f +=-，则函数)1(-x f =_____（答：223x x -+）； （2）方程的思想――已知条件是含有()f x 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。

例、已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2()33f x x =--）；八、反函数：（非广东高考内容，可以不掌握，预防万一，知道它好点）（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y 值，都有唯一的x 值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；周期函数一定不存在反函数。

例1、函数223y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是 （答：D ） A 、(],1a ∈-∞ B 、[)2,a ∈+∞ C 、[1,2]a ∈ D 、(],1a ∈-∞ [)2,+∞ （2）求反函数的步骤：①反求x ；②互换 x 、y ；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。

注意函数(1)y f x =+的反函数不是1(1)y f x -=+，而是1()1y f x -=-。

九、函数的奇偶性。

（注意定义域对称） 十、函数的单调性。

（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(,)a b 内，若总有()0f x '>，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，请注意两者的区别所在。

如已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(0,3]）)； ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0by ax a x=+> ③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减。

（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围） 十一、常见的图象变换（略。

三角函数为重点。

注意分f(-x)的变换） 十二、函数的对称性。

提醒：（1）求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像1C 与2C 的对称性，需证两方面：①证明1C 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在2C 上；②证明2C 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在1C 上。

十三、函数的周期性。

（1）类比“三角函数图像”得：若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-；（2）由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函数”得：①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数； ②若1()(0)()f x a a f x +=≠恒成立，则2T a =；③若1()(0)()f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =. 十四、指数式、对数式：m na =，1m mnaa -=，，01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，log a N a N =，log log logc a c b b a=， log log mn a a nb b m=。

十五、指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法； （3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。

附：【2011年广东高考函数考点】考点1：函数的概念、表示法、定义域、值域、最值； 考点2：函数的单调性、奇偶性、周期性；考点3：指数函数和对数函数的定义、性质（尤其是单调性）、图象和应用； 考点4：抽象函数问题的求解考点5：运用函数的思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题 考点6：导数的概念及运算，导数的应用.看一下考点1-3，这些问题在《金榜一号》、《名师一号》上很详细，发现有疑问的话就去翻这两本书。

Part B ：函数值域一、求函数值域（最值）的方法：（知道基本方法，解题就不会迷茫）（1）配方法例1、当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：21-≥a ）； （2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。

运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围。

例1、22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,]8-）； 例2、21y x =+的值域为_____（答：(3,)+∞）t =，0t ≥。

）；（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性。

例、求函数2sin 11sin y θθ-=+的值域（答： 1(,]2-∞；（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性。

例如求1(19)y x x x =-<<的值域为__________答：80(0,)9； （5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，（即线性规划的4种模型） 例1、已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求2yx +及2y x -的取值范围（答：[、[）； 例2、求函数y =的值域（答：[10,)+∞）；（6）2bxy x mx n =++型，先化简，再用均值不等式.（分式求值域） 例、求21x y x =+的值域（答：1(,]2-∞）；（7）不等式法――利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例、设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则21221)(b b a a +的取值范围是_ _(,0][4,)-∞+∞（8）导数法――一般适用于全体函数。

例、求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。

（答：－48）练习：1、求函数y=6122-+-+x x x x 的值域。

2、求函数y=x-x -1的值域。

3、求函数y=1222--+x x x 的值域。

4、求函数x x y -++=11的值域。

5、求函数y=的最值。

Part C ：抽象函数的类型和解法二、抽象函数：1、f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)2、.232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 3、f (x).1),x 0(x ,x 1)x1x (f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 4、对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 5、定义在R +上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(x m )=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立; (2)证明f(x)是R +上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围. 6、已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.7、设定义在R 上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y ∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2.1)2(f )3x (f 21)]x (f [)2(;,4)x x 3(f )1(22+=++>-解方程解不等式8、)xy1yx (f )y (f )x (f ),1,1(y ,x )1(:)x (f )1,1(++=+-∈-都有对任意满足上的函数定义在 (2)当x ∈(-1,0)时,有f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数；（Ⅱ）).31(f )5n 5n 1(f )191(f )111(f 2>+++++Part D ：函数与导数的结合一、 已知单调区间，求参数。