2013年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题 1．计算：20lim______313n n n →∞+=+.【测量目标】数列极限的运算.【考查方式】给出了数列进行化简，根据极限运算法则算出极限. 【难易程度】容易 【参考答案】13【试题解析】根据极限运算法则，201201lim lim 1331333n n n n n n→∞→∞++==++． 2．设m ∈R ，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =. 【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】给出复数，由纯虚数的基本概念算出m 的值. 【难易程度】容易 【参考答案】2m =-【试题解析】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩． 3．若2211x xx y y y=--，则______x y +=.【测量目标】行列式的初步运算.【考查方式】给出行列式，由行列式的运算法则计算出x y +的大小. 【难易程度】容易 【参考答案】0【试题解析】2220x y xy x y +=-⇒+=．4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________.（结果用反三角函数值表示）【测量目标】余弦定理，反三角函数.【考查方式】利用余弦定理解出角C ，再用反三角函数值表示. 【难易程度】中等【参考答案】1πarccos3C =- 【试题解析】2222222323303a ab bc c a b ab ++-=⇒=++，故11cos ,πarccos33C C =-=-． 5．设常数a ∈R ，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =.【测量目标】二项式定理.【考查方式】根据某一项的系数，利用二项式展开式的通项公式求出未知量的值. 【难易程度】容易 【参考答案】2-【试题解析】2515C ()(),2(5)71rr r r aT x r r r x-+=--=⇒=，故15C 102a a =-⇒=-．6．方程1313313x x-+=-的实数解为________. 【测量目标】指数方程.【考查方式】给出了指数方程，化简求值. 【难易程度】容易 【参考答案】3log 4x =【试题解析】原方程整理后变为233238034log 4x x x x --=⇒=⇒=．7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________. 【测量目标】坐标系与参数方程，两点间的距离公式. 【考查方式】给出参数方程，联立方程组得到两点的距离. 【难易程度】容易【参考答案】12【试题解析】联立方程组得(1)1ρρρ-=⇒=1）， 又0ρ．（步骤2） 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）. 【测量目标】古典概型，随机事件的的概率【考查方式】所求事件为一个随机事件，利用随机事件概率的求法求出答案 【难易程度】容易 【参考答案】1318【试题解析】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为2529C 131C 18-=．9．设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且π4CBA∠=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为________.【测量目标】椭圆的标准方程，椭圆的性质.【考查方式】写出椭圆标准方程，根据其性质求出焦点间的距离.【难易程度】容易【参考答案】23c=【试题解析】不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x yb+=，于是可算得(1,1)C（步骤1），得24,23b c==．（步骤2）10．设非零常d是等差数列12319,,,,x x x x的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x，则方差_______Dξ=.【测量目标】随机变量的期望和方差.【考查方式】给出等差数列，求出随机变量的方差.【难易程度】中等|d【试题解析】11219110191819+291919x dx x xE x d xξ⨯+++===+=…（步骤1）22222222(981019)3019dD dξ=+++++++=．（步骤2）11．若12cos cos sin sin,sin2sin223x y x y x y+=+=，则sin()________x y+=.【测量目标】两角和与差的正余弦，二倍角公式.【考查方式】给出三角函数的值，利用两角和与差的余弦公式和等量代换求出值.【难易程度】中等【参考答案】23【试题解析】1cos()2x y-=，2sin2sin22sin()cos()3x y x y x y+=+-=，故2sin()3x y+=．12．设a为实常数，()y f x=是定义在R上的奇函数，当0x<时，2()97af x xx=++，若()1f x a +对一切0x 成立，则a 的取值范围为________.【测量目标】奇函数的性质.【考查方式】给出了在某段定义域内的函数解析式，利用奇函数的性质求出a 的范围. 【难易程度】中等 【参考答案】87a- 【试题解析】(0)0f =，故011a a +⇒-（步骤1）；当0x >时2()971a f x x a x=+-+（步骤2）即6||8a a +，又1a -，故87a -．（步骤3） 13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x-+=和22(3)1(3)x y x-+=、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y 作、所得截面面积为24π18πy -+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________.第13题图 【测量目标】合情推理.【考查方式】给出了封闭图形，利用祖暅原理求出其体积. 【难易程度】中等 【参考答案】22π16π+【试题解析】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为22π12π28π2π16π+=+．14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y fx -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =.【测量目标】反函数，函数零点的求解与判断.【考查方式】给出了反函数的解析式，在特定定义域内求出它的反函数解析式并求出新函数的解.【难易程度】中等 【参考答案】02x =【试题解析】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈（步骤1）；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]（步骤2），故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应在(,0)[1,2](4,)-∞+∞，故若00()f x x =，只有02x =．（步骤3） 二、选择题15．设常数a ∈R ，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--=-，若A B =R ，则a的取值范围为 （ ） A (,2)-∞B (,2]-∞C (2,)+∞D [2,)+∞【测量目标】集合的基本运算，解一元二次不等式.【考查方式】给出两个集合，根据它们的并集求出a 的取值范围. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】当1a ＞时，][[)(,1,),1,,A a B a =-∞+∞=-+∞（步骤1）若A B =R ，则1a -1，12a ∴＜，（步骤2） 当1a =时，易得A =R ,此时A B =R 成立，（步骤3） 当1a ＜时，][(,1,)A a =-∞+∞，[)1,B a =-+∞，若AB =R ，则1a -a 显然成立（步骤4）∴1a ＜；综上a 的取值范围是(],2-∞，故选B （步骤5）16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 （ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 【测量目标】充分必要条件.【考查方式】给出日常生活问题，判断命题的充分必要性. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】根据等价命题，便宜没好货，等价于，好货不便宜，故选B ．17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为 （ ）A 18B 28C 48D 63 【测量目标】指数函数模型.【考查方式】给出了数列矩阵以及行列元素的关系，求出矩阵元素不同数值的个数. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】,21i ji j i j i j a a a a a +=++=-，而2,3,,19i j +=，故不同数值个数为18个，选A ．18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足 （ ）.A 0,0m M =>B 0,0m M <>C 0,0m M <=D 0,0m M <<【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.【考查方式】根据平面几何中的向量性质，容易求出答案. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】由题意记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d ，利用向量的数量积公式，只有0AF DE AB DC =>，其余均有0i ra d ，故选D ．三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2,AD =1,A 1A =1，证明直线BC 1平行于平面1D AC ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.第19题图 【测量目标】直线与平面平行的判定，锥的体积.【考查方式】给出长方体及若干条件，根据直线与平面平行的判定定理以及三棱锥的体积公式求出答案. 【难易程度】容易【试题解析】因为ABCD -A 1B 1C 1D 1为长方体，1111,AB C D AB C D =，故ABC 1D 1为平行四边形，故11BC AD （步骤1），显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面1D AC （步骤2）；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=（步骤3） 而1AD C △中，11AC D C AD ===，故132AD C S =△所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．（步骤4）20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【测量目标】二次函数模型的建立，求函数的最值.【考查方式】给出实际问题建立函数模型，求出其最值. 【难易程度】容易【试题解析】(1)根据题意，33200(51)30005140x x xx+-⇒--又110x ，可解得310x （步骤1） (2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =+-=⨯--+故6x =时，max 457500y =元．（步骤2）21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>；（1）若()y f x =在π2π[,]43-上单调递增，求ω的取值范围； （2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b ∈R 且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．【测量目标】三角函数的单调性，周期，图像及其变化.【考查方式】将三角函数进行变化求出ω的取值范围；将三角函数进行平移和变换求出零点进而求出答案. 【难易程度】中等【试题解析】(1)因为0ω>，根据题意有ππ34202ππ432ωωω⎧--⎪⎪⇒<⎨⎪⎪⎩（步骤1）(2) ()2sin(2)f x x =，ππ()2sin(2())12sin(2)163g x x x =++=++ π1π()0sin(2)π324g x x x k =⇒+=-⇒=-或5π+π,12x k k =∈Z ，即()g x 的零点相离间隔依次为π3和2π3，（步骤2）故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点， 则b a -的最小值2ππ43π1415333⨯+⨯=．（步骤3） 22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．第22题图 【测量目标】圆锥曲线的探索性问题.【考查方式】给出了“C 1—C 2型点”的概念，证明3个命题的正确性. 【难易程度】较难【试题解析】：（1）C 1的左焦点为(3,0)F ，过F 的直线3x =与C 1交于2(3,-，与C 2交于(3,(31))±+，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”， 且直线可以为3x =-；（步骤1） （2）直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >；（步骤2）直线y kx =与C 2有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”.（步骤3） （3）显然过圆2212x y +=内一点的直线l 若与曲线C 1有交点，则斜率必存在； 根据对称性，不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t+，则:(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt -+=-⇒-++-=直线l 与圆2212x y +=<化简得，221(1)(1)2t tk k +-<+①（步骤4） 若直线l 与曲线C 1有交点，则2222211()2(1)(1)10212y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++⎧⎪⇒-++-++-+=⎨-=⎪⎩（步骤5） 222222114(1)4()[(1)1]0(1)2()22k t kt k t kt t kt k ∆=+---+-+⇒+--化简得，221(1)2()2t kt k +--②由①②得，2222112()(1)(1)122k t tk k k -+-<+⇒<（步骤6）但此时，因为2210,[1(1)]1,(1)12t t k k +-+<，即①式不成立；当212k =时，①式也不成立综上，直线l 若与圆2212x y +=内有交点，则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点，即圆2212x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” ．（步骤7）23．（3 分+6分+9分）给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n +=∈N .（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n a a c +∈-N ，； （3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.【测量目标】间接证明，等差数列的综合应用.【考查方式】给出函数解析式及数列，间接证明出命题的正确，利用等差数列的综合应用证明是否存在1a . 【难易程度】较难【试题解析】（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，3222()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+（步骤1）（2）要证明原命题，只需证明()f x x c +对任意x ∈R 都成立，()2|4|||f x x c x c x c x c +⇔++-++即只需证明2|4|||+x c x c x c ++++（步骤2） 若0x c+，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++++成立；（步骤3）若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++++⇔++>+显然成立 综上，()f x x c +恒成立，即对任意的*n ∈N ，1n na a c +-（步骤4）（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c >，故n 无限增大时，总有0n a >此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+（步骤5）故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++， 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++，（步骤6） 当10a c+时，等式成立，且2n时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意；若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--， 此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意；综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞--．（步骤7）。