在坐标系中构造平行四边形
一．知识复习：
（一）平行四边形的定义
（二）平行四边形的性质
（三）平行四边形的判定:
二．在坐标系中构造平行四边形
（一）．三个定点，一个动点
1．已知A、B，在坐标平面内确定一个点P，使得以O、A、B、P为顶点的四边形是平行四边形
（1）A（2,0），B（0,1）（2）A（2,0），B（1,1）
2. 已知A（2，-1）、B（1,1），C（3,3），
在坐标平面内确定一个点P，使得以A、B、
C、P为顶点的四边形是平行四边形
（二）．两个定点，两个动点（对动点的位置有要求）
1. 两个动点均在直线上
（1）已知：点B （2,0）和直线3y x =-+，点C 在y 轴上，点P 在直线3y x =-+上，若以O 、B 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点P 的坐标。

（2） 已知：点A （2,0）、B （0,1）和直线3y x =-+，点C 在坐标轴上，点P 在直线3y x =-+上，若以O 、B 、C 、P 为
顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点P 的坐标。

2. 一个动点在直线上，另一个动点在抛物线上
（1） 已知：抛物线232y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），点C 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，若以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求出
.
点（2）已知：抛物线243y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 点的左侧），与y 轴交于点D ，点C 在抛物线的对称轴
上，
点P 在抛物线上，若以D 、B 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点P 的
坐
标。

（3）已知：抛物线245y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点D ，点C 在y 轴上，点P 在抛物线上，若以B 、D 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点P 的坐标。

（4） 已知：抛物线245y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点D ，点C 在x 轴上，点P 在抛物线上，若以B 、D 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点P 的坐标。

三．课后练习：
1.已知抛物线21y x 14
=+（如图所示）．
（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；
（2）已知y 轴上一点A （0，2），点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角形，求点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M 在直线AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
x
y
D
B
O
x
y
D
B
O
2. 如图，在矩形OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处．分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax 2+bx+c 经过O ，D ，C 三点． （1）求AD 的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似？ （3）点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
3. 如图甲，在平面直角坐标系中，A 、B 的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线23y x bx c 4
=++
经过点B ，且对称轴是直线5x 2
=-．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）将图甲中△ABO 沿x 轴向左平移到△DCE （如图乙），当四边形ABCD 是菱形时，请说明
点C和点D都在该抛物线上；
（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MN∥y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形
4．已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，AB＝2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）点C的坐标为_____________；
（2）若抛物线y＝ax2＋bx经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为直线OB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M．问：是否存在这样的点P，使得以C、D、M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
、
5.（2012陕西中考）如果一条抛物线()
2
y ax bx c a≠与x轴有两个交点，那么以该抛
=++0
物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是三角形；
（2）若抛物线()
2
y x bx b的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
=-+>0
（3）如图，△OAB是抛物线()
2
y x bx b的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对
=-+''>0
、、三点的抛物线的表达式；若不存在，说明称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O C D
理由．
6.（2010陕西中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。

（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。

7.(河南2010 ）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A )0,4(-，B )4,0(-，C )0,2(三点． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．
（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线x y -=上的动点，判断有几个位置能够使得点
P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
8.(2011年凉山州）如图，抛物线与x 轴交于A （1x ，0）、B （2x ，0）两点，且12x x <，与
y 轴交于点()0,4C -，其中12x x ，是方程2
4120x x --=的两个根。

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 是线段AB 上的一个动点，过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，连接CM ，当
CMN △的面积最大时，求点M 的坐标；
（3）点()4,D k 在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点F ，使以
A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F 的坐标，
若不存在，请说明理由。