解直角三角形单元达标检测（时间： 90 分钟，分值： 100 分）一、选择题（每题 3分，共 30 分） 1．在 Rt △ABC 中，∠ C=90°，下列式子不一定成立的是（） A ． sinA=sinB B ．cosA=sinB C ． sinA=cosB D ．∠ A+∠ B=90° 2．直角三角形的两边长分别是 6， 8，则第三边的长为（）A ．10B ．2 2C ．10或 2 7D ．无法确定 3．已知锐角 α，且 tan α =cot37 °，则 a 等于（ ） A ． 37° B ．63° C ． 53° D ．45°4．在 Rt △ABC 中，∠ C=90°，当已知∠ A 和 a 时，求 c ，应选择的关系式是（ ）aaA ．c=B ． c= Csin AcosA中点 M 处，它到 BB 的中点 N 的最短路线是（ ）A ．8B ． 2 6C ．2 10D ．2+2 5A ． 30°B ．45°C ． 60°D ． 75 7．当锐角 α >30°时，则 cos α的值是（ ）A ．大于 1B ．小于 1C ．大于 3D ．小于 32 2 2 28．小明沿着坡角为 30°的坡面向下走了 2 米，那么他下降（ ）A ．1 米B ． 3 米C ． 2 3D ． 2339．已知 Rt △ ABC 中，∠ C=90°， 4 tanA= ，3BC=8，则 AC 等于（ ） A ． 6 B．32 C ．310 D．1210．已知 sin α = 11，求 α ，若用计算器计算且结果为“” ，最后按键2 A ． AC10N B ． SHIET C ．MODE D ． SHIFT “”二、填空题（每题 3分，共 18 分）11．如图， 3× 3?网格中一个四边形 ABCD ， ?若小方格正方形的边长为 1， ?则四边形 ABCD 的周长是 ____ ．12．计算 2sin30 °+2cos60°+3tan45 ° = _________ ． 13．若 sin28 ° =cos α ，则 α= _______ ．14．已知△ ABC 中，∠ C=90°， AB=13，AC=5，则 tanA= __ 15．某坡面的坡度为 1： 3 ，则坡角是 _______ 度．c=a · tanA D c=a · cotA5．如图是一个棱长为 4cm 的正方体盒子，一只蚂蚁在 D 1C 1的 6．已知∠ A 是锐角，且sinA= 3 ，那么∠ A 等于（216．如图所示的一只玻璃杯，最高为 8cm ，将一根筷子插入其中，杯外最长 厘米，那么这只玻璃杯的内径是 ________ 厘米．三、解答题（每题 9分，共 18 分） 17．由下列条件解题：在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°：（ 1）已知 a=4， b=8，求 c ． （ 2）已知 b=10，∠ B=60°，求 a ，c ． （ 3）已知 c=20，∠ A=60°，求 a ，b ．18．计算下列各题．3)tan2 ° tan4 °· tan6 °⋯ tan88四、解下列各题（第 19 题 6 分，其余每题 7 分，共 34 分）19．已知等腰△ ABC 中， AB=AC=13，BC=10，求顶角∠ A 的四种三角函数值．20．如图所示，平地上一棵树高为 5 米，两次观察地面上的影子， ?第一次是当阳光与地面成 45 °时，第二次是阳光与地面成 30 °时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？21．如图所示的燕服槽一个等腰梯形，外口 AD 宽 10cm ，燕尾槽深 10cm ，AB 的坡度 i=1 ：1，4 厘米， ? 最短 21) sin 230°+cos 245° + 2 sin60tan45；（2）22cos 230 cos 260 tan60 cot 30+tan60求里口宽BC及燕尾槽的截面积．22．如图， AB 是江北岸滨江路一段，长为 3千米， C 为南岸一渡口， ?为了解决两岸交通困难，拟在渡口 C 处架桥．经测量得 A 在 C 北偏西 30°方向， B 在 C 的东北方向，从 C 处连 接两岸的最短的桥长多少？（精确到 0.1 ）23．请你设计一个方案，测量一下你家周围的一座小山的高度．求写出需要工具及应测量数据．24．（附加题 10 分）如图所示，学校在楼顶平台上安装地面接收设备，为了防雷击，在离接收设备 3 米远的地方安装避雷针，接收设备必须在避雷针顶点 45?°夹角范围内，才能有效 避免雷击（ α≤45°），已知接收设备高 80 厘米，那么避雷针至少应安装多高？?小山底部不能到达，且要答案：1．A2．C [ 点拨]长为8 的边即可能为直角边，也可能为斜边．3．C [ 点拨]tan α=cot37 °，所α+37°=90°即α=53°．4． A [ 点拨]sinA= a，所以c= a．c sin A5．C [ 点拨]利用展开图得MN= 22 62=2 10 ．6．C37．D [ 点拨]余弦值随着角度的增大而减小，α>30°，cos30°= 3，23所以cosa< 3．28．A9．A [ 点拨]tanA= BC，AC= BC 8 =6．AC tanA 4310．D11．3 2 +2 5 [ 点拨] 四边形ABCD的周长为1212+ 1222+ 2212+ 2222 =3 2 +2 5 ．点拨]原式=2× 1 +2× 3 +3×1=4+ 3．2213．6214．12 [ 点拨]BC= AB2 AC2= 132 52BC 12=12，tanA= =AC 512．4+ 3 [1315．30° [ 点拨]坡角α的正切 tan α=，所以α =303316．6 [ 点拨]根据条件可得筷子长为 12 厘米，如图 AC=10， BC= AC 2 AB 2 = 102 82 =6 ．( 3)2 (1)2(2)原式 = 2 2 + 3 =1 + 33 3 3( 3)原式 =tan2 °· tan4 °· tan6 °·⋯ cot6 °· cot4 °· cot2= (tan2 °· cot2 °)( tan4 °· cot4 °)·(tan6 °· cot6 °)⋯ =119．解：如下图， AD ⊥ BC ， CE ⊥ AB ， AB=AC ． 因为 AD ⊥ BC ，AB=AC ，所以BD=CD=．5在直角三角形 ABD 中， AD= AB 2 BD 2132 52 =12．1 1 1 1 120S △ABC = ×AB ×CE= ×BC ×AD ，所以×13 × CE= ×10×12， CE=22在直角三角形 ACE 中， 在直角三角形 ACE 中，17．解：（1) c= a 2 b 242 82 =4 5 ；（ 2 ) a=b×cotB=10×33b10 10 20 3c=sinB sin60 3 310 3 33） =10× 1 =5．18．解： 1）原式 =（ 1） 22+2) 2+ 2 ×23×120sin∠ CAE=CE13AC 13119cos ∠CAE=AE 13 AC 13120 169119169AE= AC 2 CE 2 132a=c × sinA=20 × 2b=c ×cos60两次观察到的影子长的差是 5 3 -5 米．21．解：如下图，作 DF ⊥ BC 于点 F ．由条件可得四边形 AEFD 是矩形， AD=EF=10．AEAB 的坡角为 1： 1，所以=1，所以 BE=10．同理可得 CF=10．BE里口宽 BC=BE+EF+FC=3（0 厘米）．1 截面积为 ×（ 10+30）× 10=200（平方厘米） ．222．过点 C 作 CD ⊥AB 于点 D ．CD 就是连接两岸最短的桥．设CD=x 米．在直角三角形 BCD 中，∠ BCD=45°，所以 BD=CD=．x在直角三角形 ACD 中， ∠ ACD=30°，所以 AD=CD × tan ∠ACD=x · tan30 °= 3x ． 3因为 AD+DB=A ，B 所以 x+ 3 x=3， x= 9 3 3 ≈1.9 （米）． 3223．略．24．解：如图， AE ⊥CD 于点 E ， AB=CE=0.8， AE=BC=3．120tan∠CAE=CE 13 AE 11913AE 119cot ∠CAE=CE 12020．第一 次观察到的影子长为1201195× cot45 °=5（米）；5?×cot30 °=5 3 （米） 第二次观察到的影子长为灿若寒星制作在直角三角形ADE中，cot α = ，DE=AE×cot α =3cot α ．AE因为α≤45°，所以cot α ≥1，所以DE>3．CD=CE+DE>3.8 （米）．因此，避雷针最少应该安装 3.8 米高．初中数学试卷灿若寒星制作。