绝密★启用前2016年第二次全国大联考【新课标I 卷】理科数学试卷考试时间：120分钟；满分150分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合{}260,A x x x x =--<∈R ，{}||3,B y y x x A ==-∈，则A B I 等于（ ） A ．{}03x x << B ．{}10x x -<< C ．{}20x x -<< D ．{}33x x -<< 2．命题p ：0x ∃∈R ，不等式00cos 10xx e +-<成立，则p 的否定为（ ）A ．0x ∃∈R ，不等式00cos 10xx e +-≥成立 B ．x ∀∈R ，不等式cos 10x x e +-<成立 C ．x ∀∈R ，不等式cos 10x x e +-≥成立 D ．x ∀∈R ，不等式cos 10x x e +->成立3．在复平面内复数)0z b =>，则复数z bi -在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九 章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈 一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺， 问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（ ）A ．1998立方尺B ．2012立方尺C ．2112立方尺D ．2324立方尺 5．cos54cos 66cos 6︒+︒-︒=（ ） A ．0 B ．13 C ．12D ．1 6．已知双曲线22221(0)x y a b a b=>>－与两条平行直线1l ：y x a =+与2l ：y x a =-相交所得的平行四边形的面积为26b ，则双曲线的离心率为（ ）A B C D ．2 7．如图，已知在等腰梯形ABCD 中，AB CD P ，45BAD ∠=︒，,,E F G 分别是,,AB BC CD的中点，若EF u u u r 在AG u u u r ，则||ABCD=u u u ru u u r （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．如图所示，函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线231122y x x =-++上，则()f x ＝（ ）A．1()sin()63f x xπ=+B．1()sin()23f x xπ=+C．()sin()23f x xππ=+ D．()sin()26f x xππ=+第7题图第8题图第9题图9．某程序框图如图所示，若输出43S=，则判断框中M为（）A．7k<？ B．6k≤？ C．8k≤？ D．8k<？10．已知5()a bx-的展开式中第4项的系数与含4x的系数分别为80-与80，则5()a bx-展开式所有项系数之和为（）A．1-B．1 C．32 D．6411．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为162393π+，则圆锥的母线长为（）A．22B．23 C．4 D．23+12．已知关于x的方程22ln20x a x ax--=有唯一解，则实数a的值为（）A．1 B．12C．13D．14第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数3()()xxaf x e xe=+为偶函数，则实数a=___________．14．已知F是抛物线24y x=的焦点，过该抛物线上一点M作准线的垂线，垂足为N，若4||3MF=，则NMF∠=___________．15．已知实数x、y满足220yx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩，则213log()12yzx-=+-的取值范围是___________．16．如图，已知点D在ABC∆的BC边上，且90DAC∠=︒，6cos3C=，6AB=，6BD=，则sinAD BAD∠=__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，0n a >，且1(3)6n n n S a a =+． （1）求数列的通项公式；（2）设1(1)(2)n n n b a a =-+，12n n T b b b =+++L ，求证：16n T <．18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱） 中，11,2BC CC AC ===，=90ABC ∠︒． （1）求证：平面1ABC ⊥平面11A B C ；（2）设D 为AC 的中点，求平面1ABC 与平面1C D B 所成锐角的 余弦值．19．（本题满分12分）广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性， 是精神文明建设成果的一个重要指标和象征．2015年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开 展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20,30） ，[30,40），[40,50），[50,60），[60,70），[70,80] 后得到如图所示的频率分布直图．问：（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40,70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的值；（3）若从年龄在[20,40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者年龄在[30,40）中的人数x 的分布列及 其数学期望．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点到直线320x y -+=的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为10． （1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一点Q ，使得过Q 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，且满足2211QA QB+ 为定值？若存在，请求出定值，并求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2()21(f x ax bx e =++为自然对数的底数)． （1）若21=a ，求函数()()x F x f x e =的单调区间；（2）若a e b 21--=，方程()x f x e =在)1,0(内有解，求实数a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合．若曲线C 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+，直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设点(1,2)Q ，直线l 与曲线C 交于,A B ，求||||QA QB g 的值．2016安徽省高三百校大联考（全国Ⅰ卷）理科数学参考答案（1）D 解析：{}|1A y y =>-Q ，{}|12B x x =-<<，A B A ∴=U ，故选D. （2）A 解析：i i)(1i)1i i =1i 22a a a a ------=+Q（，111022a a -+∴++=，解得1a =-.（3）B 解析：根据题意可知函数f(x)为R 上的奇函数且为减函数，A 为偶函数，B 符合题意，C 为偶函数，D 为增函数，故选B. （4）B 解析：20161612016116100010020161622S S a a a a d ++-=-==，1.10d =（5）B 解析：224,62be b +===，双曲线的渐近线方程为x ±3y ＝0，d 1d 2＝|x ＋3y |2×|x －3y |2＝32． （6）C 解析：103)22cos(cos 2=++απα，23cos 2sin cos 10ααα-=，2212tan 33tan 20tan 701tan 10αααα-=⇒+-=+，解得()1tan 73α=-或舍. （7）D 解析：由三视图可知几何体的表面积为2382378.πππ⨯⨯+⨯⨯⨯=（8）C 解析：设矩形长为x ，宽为y ，则x a ＝a －y a ，y ＝a －x ，S 矩形＝xy ＝x (a －x )≤(x ＋a －x 2)2＝a24，其概率的最大值为(S 矩形)max S △＝12，故选C ．（9）D 解析：由程序框图可得12,1,31,52a n a n a n ==→==→=-= 12,7,92a n a n →==→==→⋅⋅⋅∴a 的取值是以3为周期而变化的，∴2,2017a n ==，故选D.（10）A解析：可行域如图所示，由图可得当y z =+与22(2)4x y -+=的下面部分相切时，z 取得最小值，此时有2，解得z =-，故选A.（11）C 解析：由题意得,23232--=+±a a 解得1a =，∴()2sin()3f x x π=-. 0x z =+∵()()124,f x f x ⋅=-∴11221252,2,,66x k x k k Z k Z ππππ=-+=+∈∈，∴12122|||2()|3x x k k ππ+=++，∴12x x +的最小值为23π，故选C.（12）C 解析：'2()360f x x bx =-=，则f(x)的极值点为0,2b ，根据题意可知(0)0,f >再结合条件可得(2)0f b =，即34a b =，()0f x ∴=可转化为323340x bx b -+=.∵2x b =是方程的一个根，∴可解得另一个根为b -.∵0b >，∴12||3b x x -=.又∵142a <<，34a b =，∴112b <<，∴123||3b 32x x <-=<. （13）21-或 解析： ∵55511()()()()a a a y x x y x x y x y y++=+++,2233235510()20C a C a a a a ∴+=+=，∵0a ≠， 220a a ∴+-=，解得2a =-或1.（14）3 解析：由已知可得2||a bb ⋅=r rr ，即4a b ⋅=r r .∵||a b -=r r 2225a a b b -⋅+=r r r r ，解得|| 3.a =r （15解析：不妨设点A 00(,)x y 在第一象限，过A 向准线作垂线，垂足为D ，则根据抛物线定义可得03|||AF |x 2AD ==+，3FB FA =u u u r u u u r Q ，AD 平行x 轴，则可得2||23AD p ==，012x ∴=，代入C 方程可得203y =，所以点A到原点的距离d ==（16解析：设内角A ，B ，C 的对边分别为,a b c ，，则由题意可得6,4c a ==， 根据余弦定理可得22224cos ,b AD AD ADC =+-∠222(624cos ,AD AD ADB =+-∠ ∵ADB ADC π∠=-∠，∴222(6b)28b AD +=+，即2AD ==，当b =时，AD 取最小值，根据余弦定理可求得cos ACB ∠=，∴sin ACB ∠=ABC ∆的面积142S =⨯⨯= （17）解：（Ⅰ）由121n n S S n +-=-可得11n n a S n +=+-，则当2n ≥时，11(1)n n a S n -=+--， 两式相减得121n n a a +=-，∴1121n n a a +-=-，由1a =3可得23a =，则当2n ≥时，211222n n n a ---=⨯=，即121n n a -=+，----------5分∵1a 不满足121n n a -=+，∴13,121,2n n n a n -=⎧=⎨+≥⎩.------------------6分 （Ⅱ）当2n ≥时，11111212n n n a --=<+，------------------8分111123111()1111111141422().1323323212n n n n a a a a ---⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∴++++<+++=+=-<-L L ----------------12分（18）解：（Ⅰ）2⨯2列联表∴2250(1031027)9.98 6.63520303713K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异. ---------5分 （Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,2,3.22342255369(0),101050C C P X C C ==⋅=⨯=11221123341422225555663412(1),1010101025C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=⨯+⨯=201121123234412222555516643(2),1010101010C C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=⨯+⨯= 201123412255(3)C C C C P X C C ==⋅∴X 的分布列为∴1233025525EX =+++=（19）解：（Ⅰ）∵ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，O 为AC 与BD 的交点，∴O 为BD 的中点，又BDF ∆为等边三角形，∴BD OF ⊥，∵AC ⊂平面ACEF ，OF ⊂平面ACEF ，AC OF O =I ，∴BD ⊥平面ACEF .-------------4分 （Ⅱ）∵AF FC =，O 为AC 的中点，∴AC OF ⊥， ∵BD OF ⊥，∴OF ⊥平面ABCD ， 建立空间直角坐标系O-xyz ，不妨设2AB =∵60,DAB ∠=o ∴(0,1,0)B，(C ,(0,1,0)D -,(0,0A F ，∵AF CE =u u u r u u u r，∴(E -，------------------7分设1111(,,)n x y z =u r 为平面BEC 的法向量，则1100n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r，可求得1(1,n =u r ， 同理可求得平面ECD的法向量2n =u u r，∴1212121|cos ,|||5||||n n n n n n ⋅<>==⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，∴二面角--B EC D.-------------------12分（20）解：=化简整理可得2215x y +=，∴曲线E 的方程为2215x y +=.-------------4分（Ⅱ）由题意可得'F （－2，0），若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为2x =，此时||AB =，'F 到直线2x =的距离为4，'F AB ∆的面积，不满足题意；-----------------6分 ∴根据题意设直线l 的方程为(2)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，联立2215(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 可得2222(15)202050k x k x k +-+-=，2212122220205,.1515k k x x x x k k -+==++---------------8分则12|||AB x x =-== 设点'F 到直线l 的距离为d，则d =，∴'11||22F ABS d AB ∆=⨯⨯===，解得k =，∴存在直线:20l x --=或20x -=满足题意.---------- --------12分 （21）解：（Ⅰ）由条件可求得切点为(1,3)e a --，'(1)22f e a =--， 由已知可得3(2)2210e a e a ----=---，解得 1.a =- -----------------------4分（Ⅱ）由2()21x f x e ax x =---得()22xf x e ax '=--， 记()22,xg x e ax =--则()20xg x e a '=-<，即()()f x g x '=在11(,)4a --上单调递减， ∵12a <<，1'1()0a f e a --=>，141()2042af e -'-=+-<，∴()22xf x e ax '=--在11(,)4a --存在唯一的011(,)4x a ∈--，使得0()0f x '=， ------7分 且当0x x <时，()0f x '>；当0x x >时，()0f x '<， 即()f x 在0(,)x -∞上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减， ∴020max 00()()21x f x f x e ax x ==---，由0()0f x '=得0022x eax =+，将其代入前式可得20max 00()()2(1)1f x f x ax a x ==-+-+， ∵12a <<，011(,)4x a ∈--，∴ 220max 01(1)()()(x )1a a f x f x a a a --==--++ ∵11(0,)2a a -∈，∴20max 1139()()()2(1)()144216f x f x a a a =<-⨯-+-⨯-+=-，∵12a <<，∴3915,21616a -<∴015()16f x <.----------------------------12分 （（23）解：（Ⅰ）消去参数ϕ可得1C 的直角坐标方程为2214x y +=，曲线2C 的圆心的直角坐标为(0,3)，∴2C 的直角坐标方程为22(y 3)1x +-=.---------4分（Ⅱ）设(2cos ,sin )M φφ，则2||MC ===∵1sin 1φ-≤≤，∴根据题意可得min max ||211,||415,MN MN =-==+=即||MN 的取值范围是[]1,5.-------------10分2min 2max ||2,||4MC MC ==。