解 (1)
(2) 画出0+等效电路。根据换路定律有
(3) 由0+等效电路，计算各初始值。
求初始值的简要步骤如下： (1) 由t＜0时的电路， 求出uC(0-), iL(0-)； (2) 画出0+等效电路； (3) 由0+等效电路，求出各电流、电压的初始值。
2.3 一阶电路的零输入响应
例 2.2 – 1 电路如图2.2 - 4(a)所示。在开关闭合前， 电
路已处于稳定。当t=0时开关闭合，求初始值i1(0+)，i2(0+)和
iC(0+)。 解 (1) 求开关闭合前的电容电
压uC(0-)。由于开关闭合前电路已处
于稳定，uC(t)不再变化，duC/dt=0， 故iC=0，电容可看作开路。t=0-时电 路如图(b)所示，由图(b)可得
化率成正比。如果通过电感的电流是直流，则u=0， 电感相
当于短路。 (2) 由于电感上的电压为有限值， 故电感中的电流不能 跃变。
对(2.1 - 9)式两端同时积分，并设i(-∞)=0， 得
（2.1-10）
设t0为初始时刻， (2.1 - 10)式可改写为
设电感上的电压、电流采用关联参考方向，由(2.1-9)式， 得电感元件的吸收功率为
按式(2.4-5)可以得到 电容电流
2.4.2 RL电路的零状态响应 RL一阶电路的零状态响应与RC一阶电路相 似。图（2.4-4）所示电路在开关闭合前，电感 电流为零，即iL(0-)=0。当t=0时开关K闭合。 根据KVL,有
由于 图2.4-4 RL充电电路
所以
(2.4-6)
这是一阶常系数非齐次微分方程，其解答为
图（a)
解：换路前开关闭合，电路处于稳定状态，电容 电流为零，电容电压等于200Ω 电阻的电压，由此 得到
时间常数：
写出电容电压的零输入响应
计算电容电流
方法一：
方法二：
2.3.2 RL电路的零输入响应
电感电流原来等于电流Is， 电感中储存一定的磁场能 量，在t=0时开关打开
由KVL得
(2.3-7) 根据换路定律，得初始条件为
时间常数为：
2.4 一阶电路的零状态响应
电路的零状态响应定义为：电路的初始储能为零，仅
由t≥0外加激励所产生的响应。
2.4.1 RC电路的零状态响应
图中所示电路中的电容原来未充电， uC(0-)=0。t=0时开关Ｋ闭合，电压源 US被接入RC电路。
图2.4-1 一阶RC电路的零状态响应
据OL
代入（2.4-1）
求得
因而
(2.4-3)
式中的常数A由初始条件确定。在t=0+时
由此求得
代入式(2.4-3)中得到电容电压的零状态响应为
(2.4-4)
电容电流可以由电容电压求得
(2.4-5)
图2.4-2
RC电路的零状态响应曲线
计算图（2.4-1）可以不用列解微分方程，直接按式 （2.4-4）写出零状态响应。 对于比较复杂一点的电路，可以利用戴维南定理将电路 变换为图(2.4-1)的形式，再按式（2.4-4）写出零状态响应。 零输入响应一般称为放电，零状态响应一般则称为 电容器充电。 与放电过程类似，经过3τ ～5τ 的时间，电容电压接近 电源电压，即认为过程结束。
据KVL
(2.4-1) 常系数线性一阶非齐次方程
其初始条件为
常系数线性一阶非齐次微分方程。其解包括两部分，即 (2.4-2) 式中的u/C(t)是与式（2.4－1）相应的齐次微分方程的 通解，其形式与零输入响应相同，即
式(2.4－2)中的u//C(t)是式(2.4－1)所示非齐次微分方程
的一个特解，应满足非齐次微分方程．对于直流电源激励 的电路，它是一个常数，令
我们把外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生 的电流和电压，称为动态电路的零输入响应。 2.3.1 RC电路的零输入响应 所示电路中的开关原来连接在1端，电 流源IS通过电阻Ro对电容充电，假设在 开关转换以前，电容电压已经达到ISR0。 在t=0时开关迅速由1端转换到2端。已经 充电的电容脱离电流源而与电阻R 联接。
由曲线可见，各电压电流的变化快慢取决于R和C的乘积。令 =RC，由于 具有时间的量纲，故称它为RC电路的时间常数。 时间常数τ的大小反映了电路过渡过程的进展速度，τ越大， 过渡过程的进展越慢。当t=τ时，
当t=4τ时，
随时间而衰减
t
1 e
2
3
4
5
6
e
2
e
3
e
4
e
5
e
解
(1) 由t＜0时的电路，求iL(0-)。
(2) 画出0+等效电路。根据换路定律，有
(3) 由0+等效电路，计算各初始值。由图(c)可知
例 2.2-3 电路如图2.2 - 6(a)所示，t=0时开关S由1扳向2， 在t＜0时电路已处于稳定。求初始值i2(0+)，iC(0+)。 图 2.2 – 6 例2.2 - 3用图
(2.3-8)
(2.3-9) (2.3-10) (2.3-11)
令τ=L/R，它同样具有时间量纲，是R、L串联电路的时间常 数。这样，(2.3 - 9) 式可表示为 (2.3-12) 由于零输入响应是由动态元件的初始储能所产生的，随 着时间t的增加，动态元件的初始储能逐渐被电阻R所消耗， 因此，零输入响应总是按指数规律逐渐衰减到零。若零输入 响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
[例2.4-1] 电路如图所示，已知电容电压uC(0-)=0， t=0开关闭合，求t0的电容电压uC(t)和电容电流iC(t)。
解: 在开关闭合瞬间，由换路定律 当电路达到新的稳定状态时
由电容两端得到的等效电阻
电路的时间常数
按式（2.4-4）写出电容电压的零状态响应为
按式（2.4-4）写出电容电压的零状态响应为
图 2.2 – 4 例2.2 - 1用图
(2) 画出0+等效电路。根据换路定律有
(3) 由0+等效电路，计算各电流的初始值。由图(c)可知
例 2.2 电路如图2.2 - 5(a)所示，t=0时开关S由1板向2， 在t＜0时电路处于稳定。求初始值i1(0+)、 i2(0+)和uL(0+)。
图 2.2 – 5 例2.2 - 2用图
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
当 t =5 时，uC(5 )=0.007U0 ，基本达到稳态值。
只有 工程上认为
时电路才能真正达到稳态， ~ 、
。
电容放电基本结束。
图 2.3 – 2 不同时间常数的uC波形
[例2.3-1] 电路如图（a)所示，换路前电路处于 稳定状态。t=0时刻开关断开，求t >0的电容电压和 电容电流。
（2.1-2）
(1) 任何时刻，通过电容元件的电流与该时刻的电压变 化率成正比。如果电容两端加直流电压， 则i=0， 电容元件 相当于开路。故电容元件有隔断直流的作用。 (2) 在实际电路中， 通过电容的电流i总是为有限值，这意 味着du/dt必须为有限值，也就是说， 电容两端电压u必定是 时间t的连续函数，而不能跃变。这从数学上可以很好地理解， 当函数的导数为有限值时，其函数必定连续。 将式(2.1-2)改写为 对上式从-∞到t进行积分，并设u(-∞)=0，得
对上式从-∞到t进行积分， 得电感元件的储能为
2.1.3 电感、电容的串、并联
图 2.1 – 5 电感串联
根据电感元件VAR的微分形式， 有
电感L1与L2相并联的电路如图2.1 - 6(a)所示，电感L1和
L2的两端为同一电压u。根据电感元件VAR的积分形式有
图 2.1 – 6 电感并联
由KCL，得端口电流
图 2.2 – 3 RLC串联电路
图2.2-3所示RLC串联电路，若仍以电容电压uC(t)作为电 路响应，根据KVL可得
由于
一般而言，若电路中含有n个独立的动态元件，那么描
述该电路的微分方程是n阶的，称为n阶电路。
2.2.2 电路量的初始值计算
我们把电路发生换路的时刻记为t0，把换路前一瞬间记 为t0-，而把换路后一瞬间记为t0+。当t=t0+时，电容电压uC和 电感电流iL分别为
图 2.3 – 1 一阶RC电路的零输入响应
(2.3-1)
(2.3-2)
(2.3-2)
(2.3-3)
(2.3-4) 令 具有时间量纲,即
(2.3-5) (2.3-Fra bibliotek)ISR0
IS
0.368 ISR0
0.368 IS
RC电路的零输入响应曲线
电路在t＜0时，处于稳定状态，电容上的电压为R0Is。当 电路发生换路后，电容电压由uC(0+)逐渐下降到零，我们把 这一过程称为过渡过程，或称为暂态过程。当t→∞时，过渡 过程结束，电路又处于另一稳定状态。
图 2.1 – 2 例2.1 - 1用图
其波形如图(d)所示。 根据电容储能
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
图 2.1 – 2 例2.1 - 1用图
2.1.2 电感元件
图 2.1 – 3 实际电感器示意图
图 2.1 – 4 线性时不变电感元件
（2.1-9） (1) 任何时刻，电感元件两端的电压与该时刻的电流变
（2.2-4）
若在t=t0处，电容电流iC和电感电压uL为有限值，则电容电压 uC和电感电流iL在该处连续，它们不能跃变。 一般情况下，选择t0=0，则由(2.2 - 4)式得
根据置换定理，在t=t0+ 时，用电压等于u(t0+)的电压