精算数学读书笔记
————数学班 王秋阳 09080124
摘要：利用生命函数，以预定利率和预定死亡率为基础计算定期寿险、终身寿险、延期寿险、生存保险、两全保险的精算现值。

关键字：生命函数、剩余寿命、生命表、精算现值、定期寿险、终身寿险、延期寿险、生存保险、两全保险 一、生命函数
1、初生婴儿未来寿命X 的分布函数()()Pr F x X x =≤ 0x ≥
生存函数()()Pr S x X x =≥
初生婴儿在x 至z 之间死亡的概率()()()Pr x X z S x S z <≤=-
3、剩余寿命F （x ）：分布函数Pr(())()()()()
t
x q T X t pr x X x t X x s x s x t s x =≤=<≤+>-+=
生存函数
Pr(())Pr()()
()
t
x p T x t X x t X t s x t s x =>=>+>+=
：x 岁的人至少能活到x+1岁的概率 ：x 岁的人将在1年内去世的概率
：x 岁的人将在x+t 岁至x+t+u 岁之间去世的概率 整值剩余寿命T(x)：(),
()1,0,1,K X k k T x k k =≤<+=
概率函数
()()()()1
1Pr(())Pr(()1)
Pr 1Pr k x k x k x k x
k x x k x
k K X k k T x k T x k T x k q q p p p q q +++==≤<+=≤+-≤=
-=-=⋅=
死力()()
ln[()]()()
x s x f x s x s x s x μ''=-
==- 死力与生存函数的关系
0()exp{}
exp{}
x
s x t
t
x s x
s x ds p ds μμ+=-=-⎰⎰
死力与密度函数的关系()()}0
exp x
x x s f x s x ds μμμ⎧=⋅=⋅-⎨⎩⎰
x p x q x
t u q
二、生命表
个新生生命能生存到年龄X 的期望个数 个新生生命中在年龄x 与x+n 之间死亡的期望个数
1n
x x x n x n x
x x x x x
d l l l q d l l l q ++=-=⋅=-=⋅
个新生生命在年龄x 至x+t 区间共存活年数：x t
t x y x
L l dy +=⎰
个新生生命中能活到年龄x 的个体的剩余寿命总数：x y x
T l dy ϖ
=⎰
平均余命：/x x k
x e l
l +=
∑|1[()]x k x k x e E K x k q p +===∑∑
完全平均余命： o
x x x
T e l =00[()]o
x t x x t t x e E T x t p dt p dt μ∞∞+===⎰⎰
三、死亡即付的人寿保险
精算现值的厘定：（假设保险金额为1元）
1、n 年定期寿险：基本函数关系
, 0
, 1 , 0 , 0 , t t t t t t t v v t v t n
z b v t n b t n
t n
=≥⎧≤⇒
==≤⎧⎨=>⎨
⎩>⎩
厘定
1:0
()()n
x n
t t T n n
t t t x x t t x x t A
E z z f t dt
v p dt e p dt
δμμ-++====⎰⎰⎰
方差公式22
220
()()()()()n
t t t t T t Var z E z E z e f t dt E z δ-=-=-⎰
2
1
1
2
::()()t x n x n Var z A A =- 2、终身寿险：基础函数关系
, 0 , 01 , 0
t t t t t t t v v t z b v v t b t =>⇒==>=>
厘定
()()x t t T t
t
t x x t t
x x t A E z z f t dt
v p dt e
p dt
ω
ϖ
ϖ
δμμ-++====⎰⎰⎰
方差公式22
220
()()()()()t t t
t T t Var z E z E z e f t dt E z ω
δ-=-=-⎰
2
2
()()t x x Var z A A =-
3、延期终身寿险：厘定
4、n 年定期生存保险1
:()n n
x n t n x n x A E z v p e p δ-==⋅=⋅
5、n 年定期两全保险11:::x x n x n
n
A A
A
=+0
n
t n t x x t n x v p dt v p μ+=⋅⋅+⎰
0l 0()
x l l s x =⋅0l 0l 0l ()|t m x T m A v f t dt ∞=⎰()t
T m e f t dt δ∞
-=⎰
四、死亡年末未给付的人寿保险（原理同上）
五、死亡即付的人寿保险与死亡年末未给付的人寿保险的精算现值的关系
UDD 假设下死亡即刻赔付净趸缴纯保费是死亡年末赔付净趸缴纯保费的
i
δ
倍，即
x x i
A A δ
=。