n
a1 j x j
( x1,
x2 ,...,
xn )
j1 n
a2 j x j
j1
n
anj x j
j1
§5.1 二次型及其矩阵表示
x1
令
X
x2
xn
n
n
x1 a1 j x j x2 a2 j x j
j1
j1
n
xn anj x j
j1
n
n
nn
( xi aij x j )
（这表明在选定文字 x1, x2 ,..., xn 下，二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
正因为如此，讨论二次型时矩 阵是一个有力的工具.
§5.1 二次型及其矩阵表示
练习1 写出矩阵表示
1. 实数域R上的2元二次型 f ax2 2bxy cy2
选择适当角度 θ,逆时针旋转 坐标轴
x xcos ysin y xcos ysin
f ax2 cy2
(标准方程)
§5.1 二次型及其矩阵表示
二次齐次多项式
代数观点下
f ( x1, x2 , , xn )
作适当的非退 化线性替换
x1 c11 y1 c12 y2
x2
c11
y1
c12
y2
xn cn1 y1 cn2 y2
只含平方项的多项式
(标准形)
c1n yn c1n yn
cnn yn
§5.1 二次型及其矩阵表示
一、n元二次型
1、定义 设P为数域， aij P, i, j 1, 2, , n,
n个文字 x1, x2 , , xn 的二次齐次多项式
f ( x1, x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a1n x1 xn
f ( x1 , x2 ,, xn ) aii xi2 2 aij xi x j .
i 1
1i jn
§5.1 二次型及其矩阵表示
2、二次型的矩阵表示
（1） 约定①中aij=aji，i<j ，由 xixj＝xjxi，有
f ( x1, x2 , , xn ) a11 x12 a12 x1 x2
2. 实数域R上的3元二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 2 x12 4 x1 x2 6 x1 x3 5 x22 3 x2 x3 7 x32
3. 复数域C上的4元二次型 f ( x1, x2 , x3 , x4 ) ix1 x2 3 x1 x4 5 x22 (3 i)x2 x3
xi .
§5.1 二次型及其矩阵表示
二、非退化线性替换
1、定义 x1, x2 , , xn; y1, y2 , , yn 是两组文字,
cij P,i, j 1, 2,...n
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn
关系式
x2
c11 y1
c12
y2
c1n yn
③
xn
cn1
y1
§5.1 二次型及其矩阵表示
3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型
X CY
f
( x1, x2 ,..., xn )
X AX
————————
| C | 0
(CY ) A(CY )
Y (CAC )Y 令——B————C——AC Y BY g( y1, y2 ,..., yn )
又 B (CAC ) CAC CAC B
a1n x1 xn
a21 x2 x1 a22 x22
a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
nn
aij xi x j .
②
i1 j1
§5.1 二次型及其矩阵表示
a11 a12 ... a1n
令
A
a21Βιβλιοθήκη a22...a2
n
an1 an2 ... ann
y
x
sin
y cos
是非退化的.
§5.1 二次型及其矩阵表示
2、线性替换的矩阵表示
x1
y1
c11 c12 ... c1n
令
X
x2
,Y
y2
,C
c21
c22
...
c2n
xn
yn
cn1 cn2 ... cnn
则③可表示为
X=CY
④
若|C| ≠0，则④为非退化线性替换.
cn2
y2
cnn yn
称为由 x1, x2 , , xn到y1, y2 , , yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换 (non-degenerate linear transformation).
§5.1 二次型及其矩阵表示
y
.
y
x
0
x
例1
变换
x x cos y sin
( A P nn )
则矩阵A称为二次型 f ( x1, x2 , , xn ) 的矩阵 （matrix）.
§5.1 二次型及其矩阵表示
（2）
a11 a12 ... a1n x1
X AX
( x1,
x2 ,...,
xn
)
a21
a22
...
a2n
x2
an1 an2 ... ann xn
aij xi x j
i 1
j 1
i1 j1
于是有 f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) X AX .
§5.1 二次型及其矩阵表示
注意 1. 二次型的矩阵总是对称矩阵，即A A. 2. 二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若 X AX X BX 且 A A, B B，则 A B.
a22 x22
2a2n x2 xn
a33 x32 2a3n x3 xn
①
ann xn2
称为数域P上的一个n元二次型（Quadratic Form）．
§5.1 二次型及其矩阵表示
注意
1. 为了计算和讨论的方便,式①中 xi x j i j 的系数
写成 2aij .
2. 式① 也可写成
n
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
一、n元二次型 二、非退化线性替换 三、矩阵的合同 四、小结
§5.1 二次型及其矩阵表示
问题的引入
解析几何中
中心与坐标原点重合的有心二次曲线 f ax2 2bxy cy2
§5.1 二次型及其矩阵表示
练习2 写出下列二次型的矩阵
1. 4 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
1 3 5 x1
2.
(
x1
,
x2
,
x3
)
2 7
4 8
6 5
x2 x3
n
3. xi2
xi x j
i 1
1i jn
n
4. ( xi x)2,
i 1
其中
x
1 n
n i 1