高中数学：构造函数常见构造函数方法：1.利用和差函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()(x g x f x F x g x f 或；（2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f 或；（3）kx x f x F k x f )()()(k )(或；2.利用积商函数求导法则构造（1）)()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f 或；（2）)0)(()(g )()()0(0)()(-)(g )(x g x x f x F x g x f x x f 或；（3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f 或；（4）)0(x)()()0(0)(-)(x x x f x F x f x f 或；（5）)()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n或;(6))0(x)()()0(0)(n -)(x nxx f x F x f x f 或;(7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x或;(8))0(e)()()0(0)(-)(xxx f x F x f x f 或;(9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx或;(10))0(e)()()0(0)(k -)(kxxx f x F x f x f 或;(11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f 或; (12))0(sin sinx )()()0(0tan )(-)(xx f x F xx f x f 或;(13))0(cos cos )()()0(0)(tanx )(xxx f x F x f x f 或;(14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f 或;(15)()+lna ()0(0)()()xf x f x F x a f x 或;(16)()()lna ()0(0)()xf x f x f x F x a或;考点一。

直接构造法1．（1）已知()(4)f x f x ，且当2x 时，其导函数()f x 满足()2()xf x f x ，若24a，则（）A.2(2)(3)(log )af f f a B.2(3)(log )(2)af f a f C.2(log )(3)(2)af a f f D.2(log )(2)(3)af a f f 解：由题：对称轴x=2,单增，时，单减，当时，当（)(f 2x)(f 2x)()2xx x x f C,1624,2log 12选aa。

（2）设a ＞0，b ＞0．() A ．若a2222ba b ，则a ＞b B ．若a2222ba b ，则a ＜b C ．若a 2222bab ，则a ＞bD ．若a2222bab ，则a ＜b解：对选项A ：构造函数：22xf xx ，则2l n 220xfx恒成立，故有函数22xf xx在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．【答案】A 。

（3）已知函数()f x 满足(2)1f ，且()f x 的导函数()1f x x ，求解不等式21()12f x xx 。

解：2x,0)2(g )(g 01)()(,121)()(g 2故解集为：单增，，则x x x f x g x xx f x 。

（4）已知函数f x满足：1,00,f x f x f fx f x 是的导函数，求解不等式1xxe f xe。

解：x ,0)0(g (g ,0)1)()(()(,1)()(g 故解集为：）单增，则令x x f x f e x g ex f e x xxx。

（5）若)(x f 满足1)(')(x f x f ，4)0(f ，求解不等式3()1xf x e。

解：令)(3)(13)(f )(g xxxxxex h eex f e ex x ，)1)()(()(h x f x f e x x>0,g(x)单调递增，g(0)=f(0)-4=0,则g(x)>0,故x>0.（6）若函数f(x)满足：2()()f x f x 成立，若2)4ln (f ，求解不等式2()x f x e。

解：令g(x)=2)(f xex ,则222)()21)()(()(g x x e x f x f e x >0,则单调递增，1)4(l n )4(l n g 24ln ef ，则g(x)>g(ln4),不等式2()xf x e 的解为：x>ln4.考点二。

找原函数构造法2.（1）若奇函数f(x ）满足：(1)0f ，当0x时，'()()0xf x f x ，求解不等式()0f x 。

单增偶，奇奇为奇单减，又当解：令,0x)(g )(f )(0)()()(,0x,)()x (g 2x x x g xx f x f x x g xx f ，且g(1)=g(-1)=0,故解集为：x<-1或0<x<1.（2）若f(x)满足：f(0)=1,且)()(4,3)()(f 3x f x f x f x 求解不等式。

解：不合题意但0)0(f 1)(f 3xex ，则32ln 042)()(f 412)(f 33xex f x ex xx，故。

考点三。

比大小，证明3.（1）证明对任意正整数n ，不等式3211)11(ln nnn。

解：令x=n1，设函数f(x)=)1ln(x23x x(0<x 1)，112x3)(f2x xx =1x 12323x xx=1x )1(323x x>0恒成立，所以f(x)单调增加，所以f(x)>f(0)=0，即得证原命题。

（2）f(x)=xe, 设a<b,比较aa fb f b f a f b)()(2)()(与的大小。

解：作差法：aba fb f b f a )()(2)()(f =aab ee a b a b a)-b 2)2(2)(（，令g(x)=x+2+(x-2)xe,则g （0）=0,xex x )1(1)(g 在），（0单调递增,即0(0)g (x)g ，故g(x)在），（0单调递增，g(x)>g(0)=0,即aba fb f b f a f )()(2)()(。

（3）已知函数f(x)=-x-ln(-x)，x [-e ，0)，证明：xx x )ln()(f >21。

解：设x x x f x g )ln()()(=xx x x )ln()ln(，令u=-x ∈(0, e]，g(u)=uu u ln -ln u，只需证g(u)>21，g'(u)=222uln 1-1ln 11u u u uu u，uu uu u h u u uu 12u112)(,1-ln )(h 22令,则),2,1(u0)()(0)(h ，单增，令u h u h u （1）当u ∈(0, 1]，lnu-1<0，1-u 1<0，g'(u)<0，g(u)递减，g(u)≥g(1)=1>21，不等式成立。

（2）当u ∈(1, 2)，lnu<u-1（函数性质），g(u)=u-lnu-uu ln >u-(u-1)-u1-u =u1>21，不等式成立。

（3）当u ∈[2, e)，ln(u)-1>0，1-u1>0，g'(u)>0，g(u)递增，g(u)≥g(2)=e ln 2322ln 23-2=21，不等式成立。

考点四。

放缩构造法4.（1）已知函数f(x)＝(1＋x)e－2x，g(x)＝ax ＋32x＋1＋2xcos x ．当x ∈[0,1]时，(1)求证：1－x ≤f(x)≤11x；(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．证明：(1)要证x ∈[0,1]时，(1＋x)e －2x≥1－x ，只需证明(1＋x)e－x≥(1－x)e x.记h(x)＝(1＋x)e－x－(1－x)e x，则h ′(x)＝x(e x－e－x)，当x ∈(0,1)时，h ′(x)＞0，因此h(x)在[0,1]上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0.所以f(x)≥1－x ，x ∈[0,1]．要证x∈[0,1]时，(1＋x)e－2x≤11x，只需证明e x ≥x ＋1.记K(x)＝e x －x －1，则K ′(x)＝e x－1，当x ∈(0,1)时，K ′(x)＞0，因此K(x)在[0,1]上是增函数，故K(x)≥K(0)＝0.所以f(x)≤11x，x ∈[0,1]．综上，1－x ≤f(x)≤11x，x ∈[0,1]．(2)f(x)－g(x)＝(1＋x)e －2x－312cos 2xaxx x≥1－x －ax －1－32x－2xcos x ＝－x(a ＋1＋22x＋2cos x)．设G(x)＝22x＋2cos x ，则G ′(x)＝x －2sin x.记H(x)＝x －2sin x ，则H ′(x)＝1－2cos x ，当x ∈(0,1)时，H ′(x)＜0，于是G ′(x)在[0,1]上是减函数，从而当x ∈(0,1)时，G ′(x)＜G ′(0)＝0，故G(x)在[0,1]上是减函数．于是G(x)≤G(0)＝2，从而a ＋1＋G(x)≤a ＋3.所以，当a ≤－3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立．下面证明当a ＞－3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．f(x)－g(x)≤3112cos 12xaxx xx＝32cos 12x xaxx x x＝212cos 12xxaxx ，记I(x)＝2112cos ()121xax a G x xx，则I ′(x)＝21'()(1)G x x ，当x ∈(0,1)时，I ′(x)＜0，故I(x)在[0,1]上是减函数，于是I(x)在[0,1]上的值域为[a＋1＋2cos 1，a ＋3]．因为当a ＞－3时，a ＋3＞0，所以存在x 0∈(0,1)，使得I(x 0)＞0，此时f(x 0)＜g(x 0)，即f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．。