绝密★启用前 试卷类型：A深圳市2019年高三年级第二次调研考试数 学（文科） 2019．4本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．2．复数21i+的共轭复数是3．已知双曲线C ：()22210x y a a −=>的渐近线方程为3y x =±，则该双曲线的焦距为（A ）(0,1)（B ）(0,3)（C ）(1,2)（D ）(2,3)（A ）1i +（B ）1i −（C ） 1i −+（D ）1i −−注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}220A x x x =−< ，{}13B x x =<<，则A B =4．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[)15,20，[)20,25，[]25,30三组内的学生中，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[)20,25内的学生中选取的人数为5．已知角α为第三象限角，若πtan()34α+=，则sin α=6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为7．若函数π()sin()6f x x ω=−(0)ω>图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数)f x (的一个单调递增区间为（A ）8π3（B ）10π3（C ）14π3（D ）10π第6题图第4题图0.04 0.06 O5 10 15 20 25 300.010.02 a（A 2（B ）2 （C ）22 （D ）4（A ）1（（C （D ）4（A ）25（B ）5（C 5 （D 258．函数21()lgxf xx−=的图象大致为10．已知正方体1111ABCD A B C D−，P为棱1CC上的动点，Q为棱1AA的中点，设直线m为平面BDP与平面11B D P的交线，以下关系中正确的是11．已知1F、2F分别是椭圆C：2222+10x ya ba b=>>（）的左、右焦点，点A是1F关于直线bx ay ab+=的对称点，且2⊥AF x轴，则椭圆C的离心率为（A）ππ,63⎡⎤−⎢⎥⎣⎦（B）ππ,22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦（C）ππ,36⎡⎤−⎢⎥⎣⎦（D）π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦第10题图（A）14（C）13（D）12（A）//m1D Q（B）//m平面11B D Q（C）1m B Q⊥（D）m⊥平面11ABB A（A）312（B）12（C）512（D）32（A）（B）（C）（D）9．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即：“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长大于这个圆的内接正三角形边长的概率是多少？”贝特朗给出了“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理求解的方法，但结果都不相同，这类悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．其中“随机端点”的求法如下：设A为圆O上的一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，求所得弦长大于圆O的内接正三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为15（B）12．若函数()ln f x x x a x =−−在区间(1,)+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分． 第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答． 第22～23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设函数23, 0,()(2), 0,x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩则(3)f −＝______________．14．设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且6c =，1cos 4C =−，三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =,122nn n a a +=++()n *∈N ．（1）判断数列{2}nn a −是否为等差数列，并说明理由； （2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ．（A ）1(0,)2（B ）1(,e)2（C ） (0+)∞， （D ）1(,)2+∞第16题图(1)A'BDC第16题图(2)sin 2sin A B =，则b ＝______________．15．已知等边ABC ∆的边长为2，若点D 满足=2AD DC ，则=BD AC ⋅______________． 16．如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =， D 为AB 的中点，将△ACD 沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '−．若三棱锥C A BD '−的外接球的半径为5，则A DB '∠=______________．ABCD18．（本小题满分12分）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与当月售价x （单位：元/件）之间的关系，收集了5组数据进行了初步处理，得到如下数表：x 5 6 7 8 9 y864.53.53（1）统计学中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若[0.75,1]r ∈，则认为相关性很强；若[0.3,0.75)r ∈，则认为相关性一般；若[0,0.25]r ∈，则认为相关性较弱. 请根据上表数据计算y 与x 之间的相关系数r （精确到0.01），并说明y 与x 之间的线性相关关系的强弱；（2）求y 关于x 的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，估计当售价x 定为多少时，月销售金额最大？(月销售金额=月销售量⨯当月售价) 附注：参考数据：16512.85≈，参考公式：相关系数12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===−−=−−∑∑∑，线性回归方程y bx a =+，121()()()niii nii x x y y b x x ==−−=−∑∑，a y bx =−.19．（本小题满分12分）在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE 和CF 为折痕把△DFC 和△BEC 折起，使点B 、D 重合于点P 位置，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P AECF −.（1）在线段PC 上是否存在一点G ，使PA 与平面EFG 平行？若存在，求PGGC的值； 若不存在，请说明理由.（2）求点A 到平面PEC 的距离．CD FP20．（本小题满分12分） 设点P 是直线2y =−上一点，过点P 分别作抛物线2:4C x y =的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点. （1）若点A 的坐标为1(1,)4，求点P 的横坐标；（2）当△ABP 的面积为272时，求AB . 21．（本小题满分12分）已知函数()e +21xf x a x =−，其中常数e 2.71828......=，是自然对数的底数． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意的1a ≥，当0x >时，()(e)f x x a x ≥+．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,sin ,αα=⎧⎨=⎩x y （α为参数），圆2C 的方程为22(2)4x y −+=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为0θθ=(0)ρ≥．（1）求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程；（2）当0π02θ<<时，若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点， 且||2||ON OM =，求△2MC N 的面积．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数1()||||(1)f x x m x m m=−++>．（1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集； （2）证明：1()3(1)f x m m +≥−．2019年深圳市高三第二次调研考试文科数学试题答案及评分参考第Ⅰ卷一．选择题（1） C （2） A （3） D （4） C （5） B （6）C （7） A （8） B （9） C （10）B （11）C （12）D12.【解法1】22()12a x af x x x'==．注意到函数2y x =()1+∞，上单调递增，且21x >． 若12a ≤，则120a −≥，则()0f x '>，函数()f x 在()1+∞，上单调递增，故()(1)0f x f >=，不合题意，应舍去． 当12a >12a >()01x ∈+∞，()01x x ∈，()f x ()0,x x ∈+∞(1)0f =0()0f x <()2(1)0f a +>，通过研究直线()1+∞，与曲线l n 0x x a x −−=的位置关系，易知(1)t x t =>，所以12a >. 【解法3】此题作为选择题，结合答案是有一些较为灵活的解题方法的，比如可以将问题转化为直线22l n 0(1)t t a t t −−=>与a =在()1+∞，上有交点，注意到0a ≠和函数()ln h x a x =的凹凸性以及(), ()g x h x 均过点()1,1，故可研究()h x 在()1,1处的切线即可．二．填空题：13．4 14．115．23 16．2π316【解法1】设A BD '∆的外接圆半径为r ，2A DB θ'∠=，其中π(0,)2θ∈．由正弦定理易得12a >时，此时存在()01x ∈+∞，，使得当()01x x ∈，时，()f x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()f x 单调递增．因为(1)0f =，所以0()0f x <．又因为()2(1)0f a +>，故此时()f x 在()1+∞，上必定存在零点．综上所述，答案为D ． 【解法2】函数()f x 在()1+∞，上存在零点，即方程ln 0x x a x −−=在()1+∞，上有解， 设(1)t x t =>，则方程可化为22ln 0(1)t t a t t −−=>，显然当0a =时，方程在()1+∞，上无解；当0a ≠时，方程可化为4sin 2sin 2r θθ=，故1cos r θ=解得1cos =2θ，所以A DB '∠2π=2=3θ． 【解法2】设A BD '∆的外接圆半径为r ，2A DB θ'∠=，其中π(0,)2θ∈，并设A B '中点为M ，DM b =，A M a '=，则有222()a b r r +−=，由于224a b +=，由此可得2br =，又因为21=5r +，所以=2r ，而11cos =22b r θ==，所以A DB '∠2π=2=3θ． n n n n n S n n ++−⨯−=+=−+−−. …………………………12分 【命题意图】本题主要考查数列的递推公式，等差数列的证明方法，分组求和法以及等差、等比数列的前n 项和公式等知识，重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．18．（本小题满分12分）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与售价x （单位：元/件）之间的关系，收集了5组数据进行了初步处理，得到如下数表：（1）统计学中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若[0.75,1]r ∈，则三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =,122nn n a a +=++()n *∈N ．（1）判断数列{2}nn a −是否为等差数列，并说明理由；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ． 【解析】(1) 设2n n n b a =−，则1112n n n b a +++=−，……………………………2分则1111(2)(2)2n n n n n n n n n b b a a a a ++++−=−−−=−−， ……………………4分(22)22nnn n a a =++−−=()n *∈N ， ……………………………5分所以，数列{2}nn a − 是首项为0，公差2d =的等差数列．………………6分 (2)由（1）可知20(1)nn n a −=+−2， …………………………………………8分 ∴ 22(1)nn a n =+−，………………………………………………………………9分∴[]120(1)2(12)22122认为相关性很强；若[0.3,0.75)r ∈，则认为相关性一般；若[0,0.25]r ∈，则认为相关性较弱. 请计算相关系数r ，并说明y 与x 之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）； （2）求y 关于x 的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价x 定为多少，可获取最大的月销售金额？ 解：(1)由表中数据和附注中的参考数据得，7x =，5y =， ………………………………1分521()10ii x x =−=∑，521()16.5i i y y =−=∑，……………………………………………2分51()()12.5iii x x y y =−−=−∑，0.97r ≈≈− ……………………………3分因为0.97[0.75,1]r ≈−∈， ………………………4分 说明y 与x 的线性相关关系很强．.……………………………………………………5分（2）由（1）可知121()()12.51.2510()niii nii x x y y b x x ∧==−−−===−−∑∑ ………………………7分 ∧∧=⋅⋅−+（元）或者2= 1.2513.75z y x x x ∧∧=⋅−+（千元） ………10分则当 5.5x =时，z ∧PGGC的值； 若不存在，请说明理由.5 1.25713.75a y b x ∧∧∴=−=−−⨯=（），…………………………………………… 8分 1.2513.75y x ∧∴=−+……………………………………………………………………9分 （3）由题意可知， 月销售额的预报值21000=125013750z y x x x 取到最大值，即该店主将售价定为5.5元/件时，可使网店的月销售额最大. ……12分【命题意图】本题旨在考查概率统计在实际问题中的应用，以研究相关系数，线性回归，二次函数等知识为载体，考查了学生的数学运算、数学建模等数学核心素养． 19．（本小题满分12分）在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE 和CF 为折痕把△DFC 和△BEC 折起，使点B 、D 重合于点P 位置，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P AECF −.（1）在线段PC 上是否存在一点G ，使PA 与平面EFG 平行，若存在，求（2）求点A 到平面PEC 的距离． 解：（1）线段PC 上的点G 满足13PG GC =时，PA 与平面EFG 平行． ………1分 证明如下：连结EF ，EG ，FG ，AC ，记AC 与EF 的交点为O ，连结OG ． 在正方形ABCD 中，∵E 、F 分别为边AB 、AD 的中点， ∴13AO OC =， ……………………2分 故13AO PG OC GC ==， ……………………3分 ∴PA // OG ． ……………………4分∵PA EFG ⊄平面，OG EFG ⊂平面,∴ //PA EFG 平面 ． ……………………6分（2）解法一：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥， 翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥， 又PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ． ……………………8分记AC 与EF 的交点为O ，连结PO ， 可知△OPC 为直角三角形，2OP =，4PC =，32OC =，设P 到直线AC 的距离为h ，4232h =⋅，43h ∴=． ……………………9分33239P AEC AEC V S h −∆∴=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=，142PCE S PC PE ∆=⋅⋅=，设点A 到平面PCE 的距离为h '，AEF PAC⊥平面E F A E C F ⊂平面C C⊥平面平面C C C平面平面OPC OC,,PC EF AC EF ACPC C ⊥⊥=,∴EF PAC ⊥平面EF AECF ⊂平面,∴ PAC AEC ⊥平面平面 ∵ =PACAEC AC 平面平面∴ △OPC 斜边OC 上的高h 即为三棱锥-P AEC 的高． ……………………10分111416241433A PCE PCE V S h h −∆''∴=⋅⋅=⋅，41639h '∴=，解得4=3h '． …………………12分 解法二：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥， 又PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ， ……………………8分记AC 与EF 的交点为O ，连结PO ， 可知△OPC为直角三角形，OP =4PC =，OC =易得P 到直线AC 的距离为43， ……………………9分 238342421=⋅⋅=∴ΔPAC S ，,,PC EF AC EF ACPC C ⊥⊥=,∴ EF PAC ⊥平面，-1116=339P AEC E PAC PAC V V S OE −∆∴=⋅⋅==，又142PCE S PC PE ∆=⋅⋅=，设点A 到平面PCE 的距离为h ， 1433A PCE PCE V S h h −∆∴=⋅⋅=⋅，41639h ∴=，解得4=3h 1=⋅⋅=ΔPOCS ． ……………………9分 ,,PC EF AC EF ACPC C ⊥⊥=，∴EF PAC ⊥平面，3422231=⋅⋅=∴E-POC V ，BCDEFPO． …………………12分 解法三：在正方形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，翻折后PC PE ⊥，PC PF ⊥， 又PE PF P =，PC ∴⊥平面PEF ． ……………………8分记AC 与EF 的交点为O ，连结PO ， 可知△OPC 为直角三角形，OP =4PC =，OC =易得22242-44416=3339E PAC E POC V V −∴=⋅=，又142PCE S PC PE ∆=⋅⋅=，设点A 到平面PCE 的距离为h ， 1433A PCE PCE V S h h −∆∴=⋅⋅=⋅，41639h ∴=，解得4=3h ． …………………12分 【说明】本题以翻折问题为载体考查空间中点，线，面的位置关系，线面平行的性质定理的应用，点到平面的距离等知识，意在考查考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力．20．（本小题满分12分）设点P 是直线2y =−上一点，过点P 分别作抛物线2:4C x y =的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点.（1）若点A 的坐标为1(1,)4，求点P 的横坐标； （2）当△ABP 的面积为272时，求AB . 【解析】（1）由214y x =，所以12y x '=， ……………………………………1分 因为1(1,)4A ，由导数的几何意义知，切线PA 的斜率111=22PA k =⨯，……………………2分 所以切线PA 的方程为11:(1)42−=−PA l y x ，即1124=−y x ，………………………3分 又因为点P 为直线2y =−与直线1124=−y x 的公共点， 联立2y =−与1124=−y x ，可得P 点横坐标为72−．.…………………………4分 （2）法一：不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，0(,2)P x −，由（1）可知112PA k x =，即直线PA 的方程为1111()2−=−y y x x x ， 即111:2PA l y x x y =−，同理可得221:2PB l y x x y =−，…………………………5分因为切线PA ，PB 均过点0(,2)P x −， 所以0110222222x x y x x y ⎧−=−⎪⎪⎨⎪−=−⎪⎩， ……………6分所以1122(,),(,)x y x y 为方程22x x y −=−的两组解， 所以直线AB 的方程为022x x y −=−，即0:22AB xl y x =+.…………………7分联立02224x y x x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得20280x x x −−=，显然0∆＞， 由韦达定理得，120122,8x x x x x +==−， ……………………………………8分所以AB ==， …………9分又因为点P 到直线AB的距离d =， …………………………10分所以322020111274(8)22222ABPx S AB d x ∆⎛=⋅=+=+= ⎝，………11分 解得201x =，所以=AB . ………………………12分法二：不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，由（1）可知直线PA 的方程为21124x x y x =−， 同理，直线PB 的方程为22224x x y x =−，…………………………………………5分 联立解得1212(,)24x x x x P +，…………………………………………………………6分 又点P 在直线2y =−，所以1224x x=−，128x x =−， …………………………7分设直线AB 的方程为y kx m =+，联立24x y y kx m⎧=⎨=+⎩，可得2440x kx m −−=，由韦达定理得124x x k +=，1248x x m =−=−，可得2m =，(2,2)P k −，…………………………………………………………8分所以||AB == …………………9分 又因为点P 到直线AB的距离为2d =， ……………………………10分所以3222127||4(2)22ABP S AB d k ∆=⋅==+=，…11分 解得214k =，所以||2ln()x a <−，由()0f x '<解得2ln()x a>−．故()f x 在2,ln()a ⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln()a⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减． …………………………4分综上所述，当0a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时， ()f x 在2,ln()a ⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln()a⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减． …………………………5分（2） 证法一：原不等式等价于e 12e 0x x x a ax a−−+−≥． ………………6分 令e 12()e x x g x x a ax a =−−+−，则2(1)(e 1)()x x a x g x ax −−−'=．…………………7分 当1a ≥时，e 1e 1x xa x x −−≥−−，…………………8分AB = ………………………12分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考查抛物线的切点弦，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 21．（本小题满分12分）已知函数()e +21xf x a x =−，其中常数e 2.71828......=，是自然对数的底数． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意的1a ≥，当0x >时，()(e)f x x a x ≥+．【解析】（1）()e 2xf x a '=+． …………………………1分① 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增；………………………2分 ② 当0a <时，由()0f x '>解得令()e 1x h x x =−−，则当0x >时，()e 10xh x '=−>，∴ 当0x >时，()h x 单调递增，即()(0)0h x h >=， ………………………10分 ∴ 当01x <<时，()0g x '<；当1x =时，()0g x '=；当1x >时，()0g x '>， ∴ ()(1)0g x g ≥=． ………………………11分即e 12e 0x x e x x−−−+≥，…………10分 令xaaxa−−+−≥，则()(e)f x x a x ≥+，易证当0x >时，()()2e e 1xa x x −≥−，∴当()e e x g x x =−时，()e e x g x '=−，当1x <时，()0g x '<， ∴函数1x >在()0g x '>上单调递减，在()(1)0g x g ≥=上单调递增， ∴e e 0xx −≥， …………………11分∴1x =， 即e 1e 20x x x x−−−+≥， 从而，对任意的0x >，当1x ≠时，e e 0x x −>． …………………………12分x a ax a−−+−≥，故()(e)f x x a x ≥+． ………………12分 证法二：原不等式等价于()()2e e 1xa x x −≥−． ………………………6分令()e e x g x x =−，则()e e xg x '=−．当1x <时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>．∴()(1)0g x g ≥=，即e e 0xx −≥，当且仅当1x =时等号成立．…………………7分 当1x =时，()()2e e 1xa x x −≥−显然成立；当0x >且1x ≠时，e e 0xx −>．欲证对任意的1a ≥，()()2e e 1xa x x −≥−成立， 只需证()2e e 1xx x −≥−．……9分思路1： ∵0x >，∴不等式()2e e 1xx x −≥−可化为1e 20x x思路2： 令()21+e ()e xx xx ϕ−=，则(1)(e 3)()e xx x x ϕ−−+−'=．()0 3e 1x x ϕ'>⇒−<<，()0 103e x x x ϕ'<⇒><<−或．∴()x ϕ在(0,3e)−上单调递减，在(3e 1)−，上单调递增，在(1+)∞，上单调递减． …………………………11分∵ (0)=(1)1ϕϕ=，∴ ()21+e ()1e xx x20ln 1a ⎛⎫<<⎪⎝⎭． 当20ln x a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当2ln x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增．②—（i ）：若22e 1a ≤<−，则()(0)1e +20h a =−≤． ∵ 2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭∴ 当()0,1x ∈时，()=()0g x h x '<；当()1+x ∈∞，时，()=()0g x h x '>． 与①同，不等式成立． …………………………9分x ϕ−=≤，即()21e e x x x −≤−．从而，对任意的1a ≥，当0x >时，()(+e)f x x a x ≥． …………………………12分 证法三：原不等式等价于2e 21e 0x a x x a x +−−−≥．令()2()e e 21xg x a x a x =−−−−，则()()e 2e 2xg x a x a '=−−−． ……………6分令()()e 2e 2xh x a x a =−−−，则()e 2xh x a '=−，其中0x >．① 当2a ≥时，()0h x '>．()h x 在()0+∞，上单调递增． 注意到(1)0h =，故当()0,1x ∈时，()=()0g x h x '<；当()1+x ∈∞，时，()=()0g x h x '>． ∴ ()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．∴ min ()=(1)0g x g =，即()(e)f x x a x ≥+． …………………………7分 ② 当12a ≤<时，②—（ii ）：若21e 1a ≤<−，则()(0)1e +2>0h a =−， ∵ 2ln(1)0h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， ∴ 020,ln x a ⎛⎫⎛⎫∃∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()00h x =，且当()00,x x ∈时，()=()0g x h x '>；当()01x x ∈，时，()=()0g x h x '<；当()1+x ∈∞，时，()=()0g x h x '>． ∴ ()g x 在()00,x 上单调递增，在()01x ，上单调递减，在()1,+∞上单调递增． ∵ (0)=10g a −≥，(1)=0g∴ 此时，()0g x ≥，即()(e)f x x a x ≥+．综上所述，结论得证． …………………………12分【命题意图】本题旨在考查导数在研究函数时的应用，以研究单调性，证明不等式等为载体，综合考查学生的分类讨论、化归转化、数形结合等数学思想，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,sin ,αα=⎧⎨=⎩x y （α为参数），圆2C 的方程为22(2)4x y −+=，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为0θθ=(0)ρ≥．（1）求曲线1C 和圆2C 的极坐标方程；（2）当0π02θ<<时，若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点， 且||2||ON OM =，求△2MC N 的面积．解：（1）由2cos ,sin αα=⎧⎨=⎩x y 消去参数α可得1C 的普通方程为2214x y +=，……………1分 把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得22(cos )(sin )14ρθρθ+=，即222244cos 4sin 13sin ρθθθ==++， 所以1C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+； ………………………3分把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入22(2)4x y −+=，得4cos ρθ=，所以2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ………………………5分（2）把0θθ=代入22413sin ρθ=+，得220413sin ρθ=+M ， 把0θθ=代入4cos ρθ=，得04cos ρθ=N ， ………………………6分 由||2||ON OM =，得2N M ρρ=，即224N M ρρ=， 即202016(4cos )13sin θθ=+， ………………………7分∵ 0π02θ<<，∴ 0sin 3θ=，0cos θ=，∴ 3ρ=M，04cos ρθ==N ， …………………8分 ∴ △2MC N 的面积222∆∆∆=−MC N C N C M O O S S S2011||()sin 222ρρθ=−⋅=⨯N M OC ．……………………10分 【命题意图】本题主要考查了椭圆，圆的极坐标方程与直角坐标方程以及参数方程的互化、极径ρ的几何意义与应用等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．考察考生的化归与转化能力．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数1()||||(1)f x x m x m m=−++>． （1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集；（2）证明：1()3(1)f x m m +≥−．解：（1）当2m =时，1()|2|||2f x x x =−++， ………………………1分①当12x ≤−时，原不等式等价于1(2)()32x x −−+>，解得34x <−，……………2分 ②当122x −<<时，原不等式等价于532>，不等式无解， ……………3分 ③当2x ≥时，原不等式等价于()12+32x x ⎛⎫−+> ⎪⎝⎭，解得94x >，………………4分 综上，不等式()3f x >的解集为39(,)(,)44−∞−+∞； ………………5分 （2）由题11()||||||f x x m x m m m=−++≥+， ………………………6分 0m >，11||m m m m∴+=+， 1()f x m m ∴≥+， 当且仅当1,x m m ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时等号成立． ………………7分 11111()(1)1(1)(1)11f x m m m m m m m m m m ∴+≥++=+=−++−−−−，1m >，10m ∴−>，1(1)1131m m ∴−++≥+=−，…………9分 1()3(1)f x m m ∴+≥−，当2m =，且1[,2]2x ∈−时等号成立．……………………10分【说明】本题主要考查绝对值三角不等式以及不等式的解法，分段函数，基本不等式等知识点，重点考查分类讨论，数形结合的思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．。