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选修 4-4 第一讲 坐标系
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=-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0. x
因此，BE 与 CF 互相垂直。
你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过 程，建立直角坐标系应注意什么问题？ 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，注意以下原则： （1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； （2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
o A
x
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a=680,c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.所以Γ的方程为：
x2 y2 − = 1( x < 0) 680 2 5 × 340 2
用 y=－x 代入上式，得∴ x = −680 5 , y = 680 5 , 即P ( −680 5 ,680 5 ), 故PO = 680 10
1 x′ = x 2 y′ = y
①
我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。 2 怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=3sinx？ 在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y)，保持横坐标 x 不变，纵坐 标 y 伸长为原来的 3 倍，那么正弦曲线 y=sinx 就变成曲线 y=3sinx. y x o
y
边 AC,CF 上的中线， 建立适当的平面直角坐标系探究 BE 与 CF
C E
的位置关系。 以△ABC 的顶点Ａ为原点Ｏ，边 AB 所在的直线 x 轴，建
F O (A)
Bx
立直角坐标系，由已知，点 A、B、F 的坐标分别为 A ( 0, 0 ) , B
( c ,0 ) , F ( c/2 ,0 ).
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2 x' = 3 x A. y' = 3 y 2
3 x' = 2 x B. y' = 2 y 3
x' = y C. y' = x
x' = x + 1 D. y' = y − 1
设 C 点坐标为(x,y)，则点 E 的坐标为(x/2,y/2)， 由 b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2，即 x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]， 所以 2x2+2y2+2c2-5cx=0. 因为 BE =(x/2-c, y/2)， CF =(c/2-x, -y)，所以 BE ⋅ CF = (x/2-c,y/2)·(c/2-x,-y)
椭圆可以变成圆吗？抛物线、双曲线变成什么曲线？
x' = 2 x 练习：1 求下列点经过伸缩变换 后的点的坐标： y' = 3 y （1） （1，2） ； （2） （-2，-1）.
1 x' = x 3 2 曲线 C 经过伸缩变换 后的曲线方程是 4 x' 2 −9 y ' 2 = 36 ，则曲线 C 的方程 y' = 1 y 2 是 . 3 将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）
x′ = 2 x x′ 2 y′ 2 过伸缩变换 后，圆 x2+y2=1 变成椭圆 + = 1。 4 9 y′ = 3 y x ′ = λ ⋅ x , ( λ > 0) 在伸缩变换 ϕ ： 下，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆，那么 y ′ = µ ⋅ y , ( µ > 0)
解：以直线 O1O2 为 X 轴，线段 O1O2 的垂直平分线为 Y 轴，建立平面直角坐标系，则 ，O ，设 P(x,y) 两圆的圆心坐标分别为 O1(-2,0） 2(2,0） 则 PM2=PO12-MO12= ( x + 2) 2 + y 2 − 1 ，同理，PN2= ( x − 2) 2 + y 2 − 1 因为 PM= 2 PN，即 ( x + 2) 2 + y 2 − 1 = 2[( x − 2) 2 + y 2 − 1] 即 x 2 − 12 x + y 2 + 3 = 0, 即 ( x − 6) 2 + y 2 = 33, 这就是动点 P 的轨迹方程。
4 曲线 x 2 − y 2 + 2 x = 0 变成曲线 x' 2 −16 y ' 2 +4 x' = 0 的伸缩变换是
.
x' = 2 x x' = 2 x 5 在伸缩变换 与伸缩变换 的作用下，单位圆 x 2 + y 2 = 1 分别变成什么 y' = y y' = 2 y 图形？ 6 设 M1 是 A1(x1,y1)与 B1(x2, y2)的中点，经过伸缩变换后，它们分别为 M2, A2, B2，求 证：M2 是 A2B2 的中点. 7 已知点 A 为定点，线段 BC 在定直线 l 上滑动，已知|BC|=4，点 A 到直线 l 的距离为 3，求∆ABC 的外心的轨迹方程。 以 l 为 X 轴， 过定点 A 垂直于 X 轴的直线为 Y 轴建立直角坐标系， 设∆ABC 外心为 P x,y） （ , 则 A（0，3）B（x-2,0）C(x+2,0),由|PA|=|PB|得 x 2 − 6 y + 5 = 0 。
x′ = x y′ = 3 y
②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。 3 怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=3sin2x？ 它是 1、2 的合成，先保持纵坐标 y 不变，将横坐标 x 缩为原来 y 的 1/2，在此基础上，再将纵坐标变为原来的 3 倍，就得到正弦曲线 x y=3sin2x。 o 即在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y)，若设点 P(x,y)经变换得到点为 P’(x’,y’)， 坐标是 l 与Γ的交点，
P
以接报中心为原点 O， BA 方向为 x 轴， 以 建立直角坐标系.设 A、 B B、C 分别是西、东、北观测点，则 A(1020,0), C(0,1020)， x2 y2 l 的方程：y=－x，设双曲线方程 2 − 2 = 1(a > 0, b > 0) ， a b B(－1020,0),
平面直角坐标系 定位问题 某信息中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报 告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听 到巨响的时间比其他两个观测点晚 4s， 已知各观测点到中心的 距离都是 1020m，试确定该巨响的位置。 （假定当时声音传播的速度为 340m/s，各相关点 均在同一平面上）(2004 年广东高考题) 由 B、C 同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故 P 在 BC 的垂直 平分线 l 上， A 点比 B 点晚 4s 听到爆炸声， 因 因此|PA|－|PB|=340 ×4=1360<|AB|，由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲
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“保持横坐标 x 不变，纵坐标 y 伸长为原来的 3 倍”是坐标的一个伸长变换，即：设 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标 x 不变，将纵坐标 y 伸长为原来的 3 倍， 得到点 P’(x’,y’)，坐标对应关系为：
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例 2（2005 年江苏）圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，|O1O2|=4， 过动点 P 分别作圆 O1、 O2 的切线 PM、 （M、 分别为切点） 圆 PN N ，
M P N X O
使得 PM= 2 PN，试建立适当的坐标系，求动点 P 的轨迹方程。
例4
x′ = 2 x 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 后的图形。 y′ = 3 y
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（1）2x+3y=0；
（2）x2+y2=1。
x = x′ = 2 x 解：(1)由伸缩变换 得到 y′ = 3 y y =
一
平面直角坐标系
教学目标：了解用有序实数对确定点的位置，用方程刻画几何图形，体会坐标系的作 用。了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 教学重点、难点：由问题的特征选择坐标系，坐标法思想；平面直角坐标系的伸缩变 换及变换中的点的对应关系。 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。 “坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自 始至终强化这一思想方法。
1 x′ = x 2 y′ = 3 y
③
通常把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。
定义：设 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
ϕ ：
x ′ = λ ⋅ x , ( λ > 0) y ′ = µ ⋅ y , ( µ > 0)
④
的作用下，点 P(x,y)对应到点 P’(x’,y’)，称 ϕ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称 伸缩变换。 上述①②③都是坐标伸缩变换，在它们的作用下，可以实现平面图形的伸缩。
1 x′ 2 ；代入 2x+3y=0；得到经过伸缩变换后的图 1 y′ 3
x′ = 2 x 形的方程是 x ′ + y ′ = 0 ； 因此经过伸缩变换 后， 直线 2x+3y=0 变成直线 x ′ + y ′ = 0 。 y′ = 3 y
x = (2)将 y =