直线的方向向量与平面的法向量【问题导思】图3－2－11．如图3－2－1，直线l ∥m ，在直线l 上取两点A 、B ，在直线m 上取两点C 、D ，向量AB →与CD →有怎样的关系？【提示】 AB →∥CD →.2．如图直线l ⊥平面α，直线l ∥m ，在直线m 上取向量n ，则向量n 与平面α有怎样的关系？【提示】 n ⊥α.直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量.空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥m ⇒a ∥b ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)线面平行设l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，α的法向量为u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔a ·u＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0面面平行设α，β的法向量分别为u ＝(a 1，b 1，c 1)，v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔u ∥v ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)求平面的法向量图3－2－2已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD 与平面SAB 的一个法向量． (2)求平面SCD 的一个法向量．【自主解答】 以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D (12，0,0)，S (0,0,1)．(1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量． ∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ， ∴AD →＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量．(2)在平面SCD 中，DC →＝(12，1,0)，SC →＝(1,1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DC →，n ⊥SC →. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝0n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0x ＋y －z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2yz ＝－y ，令y ＝－1得x ＝2，z ＝1，∴n ＝(2，－1,1)．1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量． 2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： (1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0. (4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．3．在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0有无数多个解，只需给x ，y ，z 中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，在如图3－2－3所示的空间直角坐标系中，求：图3－2－3(1)平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)平面BDEF 的一个法向量．【解】 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)(1)连AC ，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量．(2)DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0n ·DE →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0x ＋2z ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x z ＝－12x . 令x ＝2得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2,1)即为平面BDEF 的一个法向量.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E＝2EB 1，BF ＝2F A 1.求证：EF ∥AC 1.【自主解答】 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a,0,0)，C 1(0，b ，c )，E (23a ，23b ，c )，F (a ，b 3，23c )．∴FE →＝(－a 3，b 3，c 3)，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线， ∴直线EF ∥AC 1.利用向量法证明线线平行的方法与步骤：图3－2－4如图3－2－4所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．【证明】 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E (0,0，12)，C 1(0,1,1)，F (1,1，12)，∴AE →＝(－1,0，12)，FC 1→＝(－1，0，12)，EC 1→＝(0,1，12)，AF →＝(0,1，12)，∴AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →，∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形.利用空间向量证明线面平行图3－2－5如图3－2－5，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，求证：AB 1∥平面DBC 1.【自主解答】 以A 为坐标原点建立空间直角坐标系． 设正三棱柱的底面边长为a (a >0)，侧棱长为b (b >0)， 则A (0,0,0)，B (32a ，a 2，0)，B 1(32a ，a 2，b )，C 1(0，a ，b )，D (0，a2，0)， ∴AB 1→＝(32a ，a 2，b )，BD →＝(－32a,0,0)，DC 1→＝(0，a 2，b )．设平面DBC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·BD →＝－32ax ＝0，n ·DC 1→＝a 2y ＋＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝－a 2b y .不妨令y ＝2b ，则n ＝(0,2b ，－a )． 由于AB 1→·n ＝ab －ab ＝0，因此AB 1→⊥n . 又AB 1⊄平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：CE ∥平面C 1E 1F .【证明】 以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1(1，12，2)． 设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∵C 1E 1→＝(1，－12，0)，FC 1→＝(－1,0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ，x ＝z ，取n ＝(1,2,1)． ∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0，∴CE →⊥n ，且CE →⊄平面C 1E 1F .∴CE ∥平面C 1E 1F .向量法证明空间平行关系图3－2－6(12分)如图3－2－6，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．求证：FH∥平面EDB.【思路点拨】先通过推理证明FH⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，再设证明HF →、BE →、BD →共面．【规范解答】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ⊥BC ，又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC .又EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC .∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH .2分又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC .∴FH ⊥平面ABC .4分以H 为坐标原点，HB →为x 轴正方向，HF →为z 轴正方向．建立如图所示的空间直角坐标系．设BH ＝1，则B (1,0,0)，D (－1，－2,0)，E (0，－1,1)，F (0,0,1).6分∴HF →＝(0,0,1)，BE →＝(－1，－1,1)，BD →＝(－2，－2，0)，设HF →＝λ·BE →＋μ·BD →＝λ·(－1，－1,1)＋μ(－2，－2,0)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)8分 ∴(0,0,1)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ－2μ＝0λ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1μ＝－12，∴HF →＝BE →－12BD →10分∴向量HF→，BE→，BD→共面．又HF不在平面EDB内，∴HF∥平面EDB.12分【思维启迪】 1.建立空间直角坐标系，通常需要找出三线两两垂直或至少找到线面垂直的条件．2．证明时，要注意空间线面关系与向量关系的联系与区别，注意所运用定理的条件要找全．1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1,2,3)B．(1,3,2)C．(2,1,3) D．(3,2,1)→＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．【解析】AB【答案】 A2．下列各组向量中不平行的是()A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)【解析】∵b＝(－2，－4,4)＝－2(1,2，－2)＝－2a，∴a∥b，同理：c∥d，e∥f.【答案】 D3．设平面α内两向量a＝(1,2,1)，b＝(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是()A．(－1，－2,5) B．(－1,1，－1)C．(1,1,1) D．(1，－1，－1)【解析】平面α的法向量应当与a、b都垂直，可以检验知B选项适合．【答案】 B4．根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)；(2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)．【解】 (1)∵a ·b ＝1×8＋(－3)×2＋(－1)×2＝0，∴l 1⊥l 2.(2)∵v ＝(－3，－9,0)＝－3(1,3,0)＝－3μ，∴α∥β.(3)∵a 、u 不共线，∴l 不与α平行，也不在α内．又∵a ·u ＝－7≠0，∴l 与α不垂直．故l 与α斜交.一、选择题1．(2013·吉林高二检测)l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1λ＝24，∴λ＝2. 【答案】 B2．(2013·青岛高二检测)若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内 【解析】 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →、CD →、CE →共面，则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内．【答案】 D3．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．(1,3，32)C ．(1，－3，32)D ．(－1,3，－32) 【解析】 对于B ，AP →＝(－1,4，－12)， 则n ·AP →＝(3,1,2)·(－1,4，－12)＝0， ∴n ⊥AP →，则点P (1,3，32)在平面α内． 【答案】 B4．已知A (1,1,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，则平面ABC 的一个法向量的单位向量是( )A ．(1,1,1)B ．(33，33，33) C ．(13，13，13) D ．(33，33，－33) 【解析】 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，AB →＝(0，－1,1)，BC →＝(－1,1,0)，AC→＝(－1,0,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ AB →·n ＝－y ＋z ＝0BC →·n ＝－x ＋y ＝0AC →·n ＝－x ＋z ＝0∴x ＝y ＝z ，又∵单位向量的模为1，故只有B 正确．【答案】 B图3－2－75．如图3－2－7，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则( )①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →，D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →，∴A 1M →∥D 1P →，所以A 1M ∥D 1P ，由线面平行的判定定理可知，A 1M ∥面DCC 1D 1，A 1M ∥面D 1PQB 1.①③④正确．【答案】 C二、填空题6．(2013·泰安高二检测)已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，且l ∥α，则m ＝________.【解析】 ∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直，∴(2，m,1)·(1，12，2)＝2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8. 【答案】 －87．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x ＝________.【解析】 AB →＝(－2,2，－2)，AC →＝(－1,6，－8)，AP →＝(x －4，－2,0)，由题意知A 、B 、C 、P 共点共面，∴AP →＝λAB →＋μAC →＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ＋6μ＝－2－2λ－8μ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－4μ＝1，而x －4＝－2λ－μ，∴x ＝11. 【答案】 118．下列命题中，正确的是________．(填序号)①若n 1，n 2分别是平面α，β的一个法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β；②若n 1，n 2分别是平面α，β的一个法向量，则α⊥β ⇔n 1·n 2＝0；③若n 是平面α的一个法向量，a 与平面α共面，则n ·a ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．【解析】 ②③④一定正确，①中两平面有可能重合．【答案】 ②③④三、解答题图3－2－89．已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点(如图3－2－8所示)，并且OE→＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面；(2)AC →∥EG →；(3)OG →＝kOC →.【解】 (1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →)＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB →＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →.(3)由(2)知OG →＝EG →－EO →＝kAC →－kAO →＝k (AC →－AO →)＝kOC →.∴OG →＝kOC →.10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE →是平面A 1D 1F 的法向量．【证明】 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，E (1,1，12)，D 1(0,0,1)，F (0，12，0)，A 1(1,0,1)，AE →＝(0,1，12)， D 1F →＝(0，12，－1)，A 1D 1→＝(－1,0,0)． ∵AE →·D 1F →＝(0,1，12)·(0，12，－1) ＝12－12＝0， 又AE →·A 1D 1→＝0，∴AE →⊥D 1F →，AE →⊥A 1D 1→.又A 1D 1∩D 1F ＝D 1，∴AE ⊥平面A 1D 1F ，∴AE →是平面A 1D 1F 的法向量．图3－2－911．如图3－2－9，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN ∥平面OCD .【证明】 作AP ⊥CD 于点P .如题图分别以AB 、AP 、AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．A (0,0,0)，B (1,0,0)，P (0，22，0)，D (－22，22，0)，O (0,0,2)，M (0,0,1)，N (1－24，24，0).MN →＝(1－24，24，－1)， OP →＝(0，22，－2)，OD →＝(－22，22，－2)． 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP →＝0，n ·OD →＝0. 即⎩⎨⎧ 22y －2z ＝0－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2，则y ＝4，x ＝0， 得n ＝(0,4，2)． ∵MN →·n ＝(1－24，24，－1)·(0,42)＝0， ∴MN ∥平面OCD .。