弹性力学复习指导一、问答题1. 试叙述弹性力学的基本假设及这些基本假定在建立弹性力学基本方程时的作用。
（1）连续性，所有的物理量均可以用连续函数，从而可以应用数学分析的工具（2）完全弹性，物体中的应力与应变之间的物理关系可以用胡克定律来表示（3）均匀性，物体的弹性常数等不随位置坐标而变化（4）各向同性，弹性常数等也不随方向而变化（5）小变形假定，简化几何方程，简化平衡微分方程2. 叙述平面应力问题在结构形状、所受外力和约束有何特点。
答：平面应力问题一般对于等厚度薄板（z方向尺寸远小于板面尺寸的等厚度薄板）。
外力平行于板面作用在板边，且沿板厚不变，版面上无面力，z方向的分力为0。
约束只作用于板边，其方向平行于中面（x0y面），且沿厚度（z向）不变，只有作用于板边的x，y向的边界约束存在。
3. 叙述平面应变问题在结构形状、所受外力和约束有何特点。
答：平面应变问题一般对于常截面长柱体（z方向尺寸远大于截面尺寸的等截面柱体）。
外力垂直柱体轴线，且沿长度方向不变，z方向分力为0。
约束只作用于柱面，其方向平行于中面（x0y面），且沿厚度（z向）不变，只有作用于板边的x，y向的边界约束存在。
4．试叙述在大边界上不能应用圣维南原理。
答：圣维南原理是基于静力等效原理，当将面力的等效变换范围应用到大边界上，则必然使整个物体的应力状态都改变，所以大边界不能应用静力等效，在大边界上不能应用圣维南原理。
5. 试叙述弹性力学中解的叠加定理。
答：在线弹性和小变形假定下，作用于弹性体上几组荷载产生的总效应（应力和变形），等于每组荷载产生的效应之和，且与加载顺序无关（p135）6. 试叙述弹性力学中虚位移原理。
答：假定处于平衡状态的弹性体在虚位移过程中，没有温度的改变，也没有速度的改变，既没有热能和动能的改变，则按照能量守恒定理，形变势能的增加，等于外力势能的减少，也就等于外力所做的功，即所谓虚功。
（p135）7. 有限元方法中，每个单元都是一个连续体。
位移模式的建立，解决了由结点位移求出单元中的位移函数的问题。
位移模式是有限元单元法的基础工作，当单元趋于很小时，为使有限元法的解答逼近于真解，亦即为了保证有限元法的收敛性，位移模式应满足哪些条件？答：（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。
（2）位移模式必须能反映单元的常量应变（3）位移模式必须能反映位移的连续性（p151）8. 弹性力学问题的基本解法中，位移法，应力法各以什么参数作为未知量，各需满足什么条件？答：9. 泰勒级数是一种完备的函数展开式，能够表示在某点附近函数的状态。
试写出在点()0,x y 附近二维问题的泰勒级数展开式。
f （Xo ）=y o10. 材料力学是否也是应用弹性力学的5个基本假设来研究的？如果不是，请加以区别。
答：11. 试写出AB 、AC 边的边界条件。
提示：平面问题的应力边界条件为()()()()x yx x sxxy y s m f s m f s στστ⎫+=⎪⎬+=⎪⎭l l式中：()x f s 和()y f s 是边界上S 的已知函数，l ，m 是边界面外法线n 的方向余弦。
12. 图示水坝，试写出其边界条件。
提示：平面问题的应力边界条件为()()()()x yx x sxxy y s m f s m f s στστ⎫+=⎪⎬+=⎪⎭l l式中：()x f s 和()y f s 是边界上S 的已知函数，l ，m 是边界面外法线n 的方向余弦。
13. 若在斜边界面上，受有常量的法向分布力q 作用，试列出应力边界条件。
14. 若()22x y xy ay bx a b xy εεγ===+，，，是否可能成为弹性体中的形变？ 答：满足变形协调条件，能成为弹性体中的形变，（p50例3）15. 若0x y f f ==，且220x y xy ax by σστ===，，，是否可能成为弹性体中的应力？ 答：以上条件代入p15（2-2）得a=b=0，不可能成为弹性体中的应力。
16. 检验应力分量x y xy σστ，， 是否正确的全部条件是什么？答：（1）平衡微分方程p15（2-2）。
（2）相容方程p38（2-20）。
（3）应力边界条件式p25（2-15）.(4)对于多连体，还应满足位移的单值条件17. 若去应力函数为纯四次式子，432234ax bx y cx y dxy ey Φ=++++，为了满足相容方程，其系数之间应满足什么条件？ 答：由满足相容方程可得3a+c+3e=0二、绘图题1. 试绘出六面体上下左右四个面上正的应力分量。
2. 试绘出极坐标下扇面正的应力分量。
三. 推导题1. 试导出弹性力学平面应力问题的物理方程。
提示：在理想弹性体的条件下，物理方程就是材料力学中的胡克定律为()()()11,11,11,x x y z yzyz y y z x zx zx zz x y xy xy E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎫⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎬⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎭式中，E 是弹性模量，G 是切变模量（刚度模量），μ是泊松系数，这三个弹性常数之间关系为()21EG μ=+。
答：在平面应力问题中，σ z=0，τ zy=0，τ zx=0，代入上述式子得弹性力学平面应力问题的物理方程（p23）2. 试导出弹性力学平面应变问题的物理方程。
提示：在理想弹性体的条件下，物理方程就是材料力学中的胡克定律为()()()11,11,11,x xy z yz yz y y z x zx zx zz x y xy xy E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎫⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎬⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎭式中，E 是弹性模量，G 是切变模量（刚度模量），μ是泊松系数，这三个弹性常数之间关系为()21EG μ=+。
答：在平面应变问题中，物体的所有各点都不沿z 方向移动，所有z 方向的线段都没有伸缩，z 方向的应变为0，代入上式子，求出z 方向的应力分量，将z 方向的应力分量代入上式子得p23（2-13）3. 试导出平面应力问题中用应力表示的相容方程。
提示：平面问题的几何方程为x uxε∂=∂，y v y ε∂=∂，xy v u x y γ∂∂=+∂∂；平面应力问题的物理方程和平衡微分方程分别为()()()1121x x y y y x xy xy E E E εσμσεσμσμγτ⎫=-⎪⎪⎪=-⎬⎪⎪+=⎪⎭，00yx xx y xy y f x y f y x τσστ⎫∂∂++=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪++=⎪∂∂⎭4. 试导出平面应变问题中用应力表示的相容方程。
提示：平面问题的几何方程为x uxε∂=∂，y v y ε∂=∂，xy v u x y γ∂∂=+∂∂； 平面应变问题的物理方程和平衡微分方程分别为()22111121x xy y y x xy xyE E E μμεσσμμμεσσμμγτ⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⎪=-⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪+⎪=⎪⎭，00yx xx y xy y f x y f y x τσστ⎫∂∂++=⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪++=⎪∂∂⎭5．在弹性体中取包含x 面、y 面和ρ面且厚度为1的微小三角板A 、B ，如图所示。
设已知直角坐标中的应力分量x σ，y σxy τ，试求极坐标中的应力分量ρσ，ϕσ，ρϕτ。
6．在弹性体中取包含x 面、y 面和ρ面且厚度为1的微小三角板A 、B ，如图所示。
设已知极坐标中的应力分量ρσ，ϕσ，ρϕτ，试求直角坐标中的应力分量x σ，yσxy τ。
7. 对于三节点三角形单元，已知三个节点的坐标分别为(),i i x y ，(),j j x y ，(),m m x y ，三节点处的位移分别表示为(),i i u v ，(),j j u v ，(),m m u v ，且设定三角形单元中的位移函数为123456，u x y v x y αααααα=++=++。
试导出三节点三角形单元的形函数矩阵。
四、计算题1. 试考虑下列平面问题的应变分量（32y ，，x xy Axy By C Dy εεγ===-）是否可能存在。
2. 在无体力情况下，应力分量（()()2222y ，，x xy A x y B x y Cxy σστ=+=+=）是否可能在弹性体中存在。
3. 已知应力函数()()22222Ayax Bxy C x y Φ=-+++，试问此应力函数能否作为平面问题的应力函数。
答：当A=0时，可以作为平面问题的应力函数。
4. 已知应力函数()223342F xy h y hΦ=-，试问此应力函数能否作为平面问题的应力函数，如果能，请求解应力分量。
答：能。
代入p57（2-24）5. 如图所示梁受荷载作用，使用应力表达式求解其应力，()23364x q x y y h σ=--， 31232yqy C y C h σ=--+，2136xyqxy C x hτ=+，6. 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力不计，h >>l ，试用应力函数233Axy ByCy Dxy Φ=+++求解应力分量。
7. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。
已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA’，AB，BB’的面力边界条件。
8. 楔形体在两侧作用有均布剪力q，如图所示。
试求其应力分量。
提示：可采用应力函数：()2cos2sin2r A B C Dϕθθθ=+++。
本题的答案中a=β9. 已知x ax by czσ=++，其他应力分量为0，求位移场。
10. 如图所示，在悬臂梁端部受集中力P 的作用，试用应力函数33Axy BxyCy ϕ=++，求其应力分量。
11. 当应变为常量时，x y xy a b c εεγ===，，，试求对应的位移分量。
12. 图示薄板，在y 方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A 处无应力存在。
提示：边界条件为()()()()x s xy s y s xy s l m X m l Y στστ⎫+=⎪⎬+=⎪⎭。