2020初三数学一模分类汇编 圆（23题）1.（2020东城一模23题）23． 如图，直线l 与⊙O 相离，l OA ⊥于点A ，与⊙O 相交于点P ，5=OA .C 是直线l 上一点，连接CP 并延长，交⊙O 于点B ，且AC AB =.（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若1tan 2ACB =∠，求线段BP 的长.23. 解：(1) 证明：如图，连结OB ，则OB OP =.∴CPA OPB OBP ∠=∠=∠.ΘAC AB =，ABC ACB ∠=∠∴.而l OA ⊥，即︒=∠90OAC .︒=∠+∠∴90CPA ACB .即︒=∠+∠90OBP ABP .︒=∠∴90ABO ，AB OB ⊥∴，故AB 是⊙O 的切线.………………………………2分 （2）∵ 1tan 2ACB =∠，∴ 在Rt △ACP 中，设AP =x ,AC =2x .∵ 5=OA ，∴ 5OP x =-.∴ 5OB x =-.ΘAC AB =，∴2AB x =.∵︒=∠90ABO ，由勾股定理，得222OB AB OA +=.即 2225-)25x x +=（（）.解得 2x =.∴ AP =2.∴3OB OP ==.∴4AB AC ==.∴ 5CP =过O 作PB OD ⊥于D ，在ODP △和CAP △中，CPA OPD ∠=∠Θ，=∠=∠90CAP ODP ∴ODP △∽CAP △. =PD OP OD PA CP CA∴=. 553=⋅=∴CP PA OP PD . 5562==∴PD BP . ………………………………6分2. （2020西城一模23题） 23. 如图，四边形OABC 中，∠OAB =90°，OA = OC ，BA = BC . 以O 为圆心，以OA 为半径作⊙O .（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接BO 并延长交⊙O 于点D ，延长AO 交⊙O 于点E ，与BC 的延长线交于点F ，若»»AD AC =， ① 补全图形；② 求证：OF =OB .23．（1）证明：连接AC ，∵ OC = OA ，∴点C 在⊙O 上．∵ OA = OC ， BA = BC ，∴ ∠OAC =∠OCA ，∠BAC =∠BCA ．∴ ∠OCB =∠OAB =90°．∴ OC ⊥BC 于点C ．∴ BC 是⊙O 切线．（2）① 补全图形.② 证明：∵ BA ，BC 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，C ，∴ BA =BC ，∠DBA =∠DBC ．∴ BD 是AC 的垂直平分线．∵ OA =OC ，∴ ∠AOB =∠COB ．∵ »»AD AC =，AE 为⊙O 的直径，∴ »»CEDE =． ∴ ∠COE =∠DOE ．∵ ∠AOB =∠DOE ，∴ ∠AOB =∠BOC =∠COE =60°．∵ BC 是⊙O 的切线，切点为C ，∴ ∠OCB =∠OCF =90°．∴ ∠OBC =∠OFC =30°．∴ OF = OB ． ······························································ 6分23．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．在同一平面内，△ABC内部一点O到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA=∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．23．（1）a=1；（2）①由题意可知图形G是以O为圆心，a为半径的圆，AB，AC，BC与⊙O相切．∴∠ABM=∠NBM．∵AB=3，AC=4，BC=5，∴∠A=90°．∵MN⊥BC，∴∠A=∠BNM=90°．∴∠BMA=∠BMN．②如图，设⊙O与AC的切点为D，连接OD，作OE⊥MN于点E．∴OD⊥AC．∴OD = OE．∴OE为⊙O的半径．∴MN为⊙O的切线．∴直线MN与图形G的公共点个数为1．24.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E,F，过点E作EG⊥BC于G.(1)求证:EG是⊙O的切线;(2)若AF=6, ⊙O的半径为5，求BE的长5.（2020丰台一模24题）24．在Rt △ABC 中，∠A =90︒，∠B =22.5︒.点P 为线段BC 上一动点，当点P 运动到某一位置时，它到点A ，B 的距离都等于a ，到点P 的距离等于a 的所有点组成的图形为W ，点D 为线段BC 延长线上一点，且点D 到点A 的距离也等于a ．（1）求直线DA 与图形W 的公共点的个数；（2）过点A 作AE ⊥BD 交图形W 于点E ，EP 的延长线交AB 于点F ，当a=2时，求线段EF 的长.24. 解：（1）直线DA 与图形W 的公共点的个数为1个.……1分 ∵点P 到点A ，B 的距离都等于a ，∴点P 为AB 的中垂线与BC 的交点.∵到点P 的距离等于a 的所有点组成图形W .∴图形W 是以点P 为圆心，a 为半径的圆.根据题意补全图形：……2分连接AP∵∠B =22.5°，∴APD =∠45°.∵点D 到点A 的距离也等于a ，∴DA=AP=a .∴∠D =APD =∠45°.∴∠P AD = 90°.∴D A ⊥P A .∴DA 为☉P 的切线.∴直线DA 与图形W 的公共点的个数为1个. (3)分 （2） ∵AP =BP ，∴∠BAP =∠B =22.5°.∵∠BAC =90°.∴∠P AC =∠PCA =67.5°.∴P A = PC =a .∴点C 在☉P 上. ……4分∵AE ⊥BD 交图形W 于点E ， D C B A EP FA BC F P E A B C D∴AC=CE .∴∠DPE =∠APD =45°.∴∠APE = 90°.∵EP=AP=a=2，∴AE=22，45E =︒∠. …5分∵∠B =22.5°， AE ⊥BD ，∴∠BAE =67.5°.∴∠AFE =∠BAE =67.5°.∴EF=AE=22. ……6分6.（2020石景山一模）23. 如图，AB 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于点C ，以OB ，BC 为边作□OBCD ， 连接AD 并延长交⊙O 于点E ，交直线PQ 于点F .（1）求证：AF CF ⊥；（2）连接OC ，BD 交于点H ，若tan 3OCB ∠=，⊙O 的半径是5，求BD 的长.23．（1）证明：连接OC ，如图1．∵四边形OBCD 是平行四边形，∴DC OB ∥，DC OB =．∵AO OB =，∴DC AO ∥，DC AO =．∴四边形OCDA 是平行四边形．∴AF OC ∥．∵直线PQ 与⊙O 相切于点C ，OC 是半径，∴90OCQ ∠=°．∴90AFC OCQ ∠=∠=°． Q P F E O D C B A QP F E O D C B A 图1即AF CF ⊥． ………… 2分（2）解：过点B 作BN OC ⊥于点N ，如图2．∵四边形OBCD 是平行四边形，∴2BD BH =，1522CH CO ==． 在BNC Rt △中，tan 3BN NCB CN ∠==， 设CN x =，3BN x =，∴5ON x =-．在ONB Rt △中，222(5)(3)5x x -+=，解得10x =（舍），21x =． ∴33BN x ==，5322HN x =-=． 在HNB Rt △中，由勾股定理可得35BH =． ∴235BD BH ==． ………………………………… 6分8.（2020通州一模）22.已知:△ABC 为等边三角形.(1)求作:△ABC 的外接圆⊙O .(不写作法，保留作图痕迹)(2)射线AO 交BC 于点D ，交⊙O 于点E ，过E 作⊙O 的切线EF ，与AB 的延长线交于点F . ①根据题意，将(1)中图形补全;②求证:EF//BC ;③若DE =2，求EF 的长.P H F O D B A QN C 图29.（2020顺义一模）22．如图，在□ABCD 中，∠B =45°，点C 恰好在以AB 为直径的⊙O 上．（1）求证：CD 是∠O 的切线；（2）连接BD ，若AB =8，求BD 的长．22．(1)证明：连接OC ，∵OB=OC ，∠B=45°，∴∠BCO =∠B=45°．∴∠BOC =90°．…………………… 1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ．∴∠OCD=∠BOC =90°．…………2分∵OC 是，∴CD 是⊙O 的切线．……………… 3分(2)解：连接AC ，交BD 于点E ．∵AB 是直径，AB =8，∴∠ACB =90°．∴BC AC ==4分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴12CE AC ==∴BE ===．………………………………5分∴2BD BE ==6分DD10.（2020大兴一模）23 .已知：如图，在△ABC 中，B C ∠=∠．以AB 为直径的 ⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E . (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)延长DE 交BA 的延长线于点F ，若8AB =，sin B =5，求线段FA 的长.23.（1）证明：连接OD . ……………………………………………………………1分∵OB OD =, ∴1B ∠=∠. 又∵B C ∠=∠, ∴1C ∠=∠. ∴OD ∥AC . ∵DE ⊥AC 于E , ∴∠DEC =90°=∠EDO . ∴DE ⊥OD . ∵点D 在⊙O 上， ∴DE 与⊙O 相切.……………………………………………………………2分 （2）解：连接AD . ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°.∵AB =8，sin B =55， ∴sin AD AB B =⋅=855.…………………………………………………………3分∵123290∠+∠=∠+∠=︒，∴13∠=∠. ∴ 3.B ∠=∠在△AED 中，∠AED =90°. ∵5sinB=sin 35AE AD ∠==，∴85555AE AD ==⨯=. …………………………………………………………4分 又∵OD ∥AE ， ∴△FAE ∽△FOD . ∴FA AE FO OD=. ∵8AB =, ∴4OD AO ==. ∴245FA FA =+.∴83FA =. ……………………………………………………………6分11.（2020房山一模）24. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，线段BC 上有一点P ．（1）当点P 在什么位置时，直线DP 与⊙O 有且只有一个公共点，补全图形并说明理由. （2）在（1）的条件下，当210=BP ，AD =3时， 求⊙O 半径．24. （1）补全图形 ……………………………………1分 情况一：点P 在过点D 与OD 垂直的直线与BC 的交点处 ……………………………………2分理由：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 …………………………3分 情况二：当P 是BC 中点时，直线DP 与⊙O 有且只有一个公共点…………………………………2分证明：连接CD 、OD ∵AC 为⊙O 直径∴∠ADC =∠BDC =90° 在Rt △BCD 中∵∠BDC =90°，P 是BC 中点 ∴DP=CP∴∠PDC =∠PCD ∵∠ACB =90°∴∠PCD+∠DCO =90° ∵OD=OC∴∠DCO =∠ODC∴∠PDC +∠ODC =90° ∴∠ODP =90° ∴DP ⊥OD∴直线DP 与⊙O 相切 ……………………………………3分（2）在Rt △BCD 中∵∠BDC =90°，P 是BC 中点∴2BC BP =∵210=BP∴BC ∵∠ACB =∠BDC =90° ∠B =∠B∴△ACB ∽△CDB ∴AB BCBC BD=∴2=BCAB BD g……………………………………4分设AB =x ，∵AD =3 ∴BD =x -3∴210=3-(）（）x x∴5x =（舍负）∴AB =5 ……………………………………5分在Rt △ABC 中∵∠BDC =90°∴AC∴12OC AC = ……………………………………6分22．如图，∠APB ，点C 在射线PB 上，PC 为⊙O 的直径，在∠APB 内部且到∠APB 两边距离都相等的所有的点组成图形M ，图形M 交⊙O 于D ，过点D 作直线DE ⊥PA ，分别交射线PA ，PB 于E ，F ． （1）根据题意补全图形； （2）求证：DE 是⊙O 的切线；（3）如果PC =2CF，且DF =PE 的长．22．（本小题满分6分） 解：（1）如图所示，补全图形……………………………………1分 （2）证明：连接OD .∵DE ⊥PA ，∴∠PED =90°. ……………………………………2分 ∵依题意，PD 是∠APB 的角平分线， ∴∠APD =∠DPB . ∵OP =OD ， ∴∠DPB =∠PDO .∴∠APD =∠PDO . …………………………………………………………………3分 ∴AP ∥OD ，∴∠ODF =∠PED =90°∴DE 是⊙O 的切线．………………………………………………………………4分 （3）∵PC =2CF ，∴设CF =x ，那么PC =2x ，OD =x ． ∵∠ODF =90°，∴在Rt △ODF 中，OD =12OF ．又∵DF =，∴OD =1，OF =2，PF =3．……………………………………………………………5分 ∵在Rt △PEF 中，∠PEF =90°， ∴1sin 2PE OD DFP PF OF ∠===．∴32PE =．…………………………………………………………………………6分23．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、点D 为⊙O 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，交DB 的延长线于点E ，连接AC 、AD ． (1)若∠ABD =2∠BDC ，求证：CE 是⊙O 的切线． (2)若⊙O 的半径为，，求AC 的长．23．（1）证明：连接OC ………………………………1分 ∵OC=OA ∴∠OCA =∠OAC ∴∠COB =2∠OAC∵∠BDC =∠OAC ，∠ABD =2∠BDC ∴∠COB =∠ABD∴OC // DE 2分 ∵CE ⊥DB ，∠C ED =90° ∴∠OC E =90°，OC ⊥CE∴CE 是⊙O 的切线 …………………………3分 （2）解：连接BC ………………………………4分 ∵∠BDC=∠BAC ，∴tan ∠BAC= tan ∠BDC=12∵ AB 是⊙O 的直径 ∴∠BCA=90°∴12BC AC =设BC =x ，AC =2x∴AB =5x ∵⊙O 的半径为5∴5x =25 ∴ x =2∴AC =2x =4 ………………………………6分51tan 2BDC ∠=E OBCE OBC22.如图，等边∠ABC ，作它的外接圆∠O ，连接AO 并延长交∠O 于点D ，交BC 于点E,过点D 作DF//BC ，交AC 的延长线于点F.（1）依题意补全图形并证明：DF 与∠O 相切； （2）若AB=6，求CF 的长.22．(1)依题意补全图形. (1)证明： ∵等边∠ABC ，∴AB=AC∴ººAB=AC (2)∵AD 过圆心O由垂径定理，∠AEC=90°∵DF//BC ， ∴∠ADF=90°∴DF 与∠O 相切..........................................3 （2）解：连接DC∵等边∠ABC ， ∴AB=AC=BC=6∠BAC=60°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４ ∵AD ⊥BC ∴∠DAC=30° ∵AD 是直径 ∴∠ACD=90°∴32DC ...........................................................5 ∵∠DCF=90°，∠F=60°∴CF=2 (6)16.(2020延庆一模）22.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，点D 是弧BC 的中点，连接AC ，BD ，过点D 作AC 的垂线EF ，交AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F . (1)依题意补全图形；(2)判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (3)若AB =5，B D =3，求线段BF 的长.（1）画图（2）相切 ，理由如下： 连接OD ．∠点D 是弧BC 的中点， ∠∠BOD ＝∠F AE ． ∠OD ∠AE ． ∠∠FDO ＝∠E ． ∠AE ∠EF ，∠∠E ＝90°．∴∠FDO ＝90°．∴直线EF 是∠O 的切线． （3）连接AD ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°． ∵AB =5，BD =3， ∴AD ＝4． ∴AE ＝3.2． 设BF=x ，则OF =2.5+x ，AF ＝5+x ．∴x x +=+52.35.25.2 ∴x =745．∴BF ＝745．17.（2020燕山一模）22．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，点D 为BC ︵中点，过点D 作DE ⊥直线AC ，垂足为E ，交AB 的延长线于点F ． (1) 求证：EF 是⊙O 的切线；(2) 若EF ＝4，sin F ＝35，求⊙O 的半径．22．(1)证法1：如图，连接OC ，OD ，∵点D 为BC ︵中点， ∴∠1＝∠2＝12∠BOC ． ………………………………1分 ∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠3＝12∠BOC ． ∴∠1＝∠3， ∴OD ∥AE ． ∵EF ⊥AE ， ∴EF ⊥OD ．又∵OD 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线． ………………………………2分 证法2：如图，连接BC ，OD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°． ………………………………1分又∵EF ⊥AE ， ∴BC ∥EF ． ∵点D 为BC ︵中点，∴OD ⊥BC ， ∴OD ⊥EF ．又∵OD 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线． ………………………………2分(2) 解：在Rt △AEF 中，∠AEF ＝90°，EF ＝4，sin ∠F ＝35， ∴AE ＝3，AF ＝5． ………………………………3分 ∵OD ∥AE ，∴△ODF ∽△AEF ， ∴=OD OFAE AF． ………………………………4分 设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r ，OF ＝AF －AO ＝5－r ，∴535-=r r． 解得r ＝158，∴⊙O 的半径为158． ………………………………5分。