《函数模型及其应用》同步训练题一、选择题1、某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A．200副B．400副C．600副D．800副2、某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则( )A．a＝b B．a>bC．a<b D．无法比较a、b的大小3、下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )A．y＝50x B．y＝x50C．y＝50x D．y＝log50x(x∈N*)实用文档4、拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06·(0.50×[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.1]＝6)，则从甲地到乙地通适时间为5.5分钟的通话费为( )A．3.71 B．3.97C．4.24 D．4.775、1992年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，设2010年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的函数解析式为( )A．y＝54.8(1＋x%)18B．y＝54.8(1＋x%)19C．y＝54.8(x%)18 D．y＝54.8(x%)196、今有一组实验数据如表所示：A．u＝log2t B．u＝2t－2实用文档实用文档C ．u ＝t 2－12D ．u ＝2t －27、若x ∈(0,1)则下列结论正确的是( )A ．2x >x 12>lgxB ．2x >lgx>x 12C ．x 12>2x >lgxD ．lgx>x 12>2x8、某商店某种商品进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售商品的月利润最高，应将该商品每件定价为( )A ．70元B ．65元C ．60元D ．55元9、向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )实用文档10、已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t 的函数，表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)150 (2.5<t ≤3.5)150－50(t －3.5) (3.5<t ≤6.5) D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)150－50t (t>3.5)11、某林区的森林蓄积量每一年比上一年平均增长10.4%，那么经过x年可增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )12、某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设第二年有100只，则到第八年它们发展到( )A．200只B．400只C．500只D．600只二、填空题13、某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．14、将进价为8元的商品，按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售价应为每个________元．实用文档15、某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________．16、某商品前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来的价格比较，变化情况是________．17、某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．三、解答题18、为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如实用文档意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示．(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．19、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(1.01210＝1.127)20、(10分)根据总的发展战略，第二阶段，我国工农业生产总值从2000年到2020年间要翻两番，问这20年间，每年平均增长率至少要多少，才能完成这一阶段构想？21、(10分)某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与报纸广告费用x1(万元)及电视广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：R＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28.实用文档实用文档(1)若提供的广告费用共为5万元，求最优广告策略．(即收益最大的策略，其中收益＝销售收入－广告费用)(2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略．22、商场销售某一品牌的豆浆机，购买人数是豆浆机标价的一次函数，标价越高，购买人数越少，把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每台300元．现在这种豆浆机的成本价是100元/台，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售．问：(1)商场要获取最大利润，豆浆机的标价应定为每台多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么豆浆机的标价应为每台多少元？23、为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比．药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．24、为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地如图所示长方形ABCD上规划出一块长方形地面建住宅小区公园(公园的一边落在CD上)，但不超过文物保护区△AEF的红线EF.问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积(已知AB＝CD＝200 m，BC＝AD＝160 m，AE＝60 m，AF＝40 m)．实用文档25、养鱼场中鱼群的最大养殖量为m t，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y t和实际养殖量x t与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．26、依法纳税是每个公民应尽的义务，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过2 000元的，免征个人工资、薪金所得税；超过2 000元部分需征税，设全月纳税所得额(所得额指工资、薪金中应纳税的部分)为x，x＝全月总收入－2 000元，税率如表所示：实用文档实用文档(1)(2)某人2008年10月份工资总收入为4 200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？以下是答案一、选择题1、【解析】 由5x ＋4 000≤10x ，解得x ≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．故选D.【答案】 D2、【解析】 ∵b ＝a(1＋10%)(1－10%)，∴b ＝a[1－(10%)2]＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1100， ∴b ＝a ×99100， ∴a>b.故选B.【答案】 B3、C 【解析】 由于指数函数的增长是爆炸式的，则当x 越来越大时，函数y ＝50x 的增长速度最快．故选C.4、【解析】 5.5分钟的通话费为f(5.5)＝1.06×(0.50×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24，故选C.【答案】C5、【解析】由题意，1993年底人口为54.8(1＋x%),1994年底人口为54.8(1＋x%)2，…，故2010年底人口为54.8(1＋x%)18.故选A.【答案】A6、【解析】图象不符合直线的特征，排除D；图象不符合对数函数的特征，排除A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，t2－12＝32－12＝4，由表格知当t＝3时，u＝4.04.模型u＝t2－12能较好体现这些数据．故选C.实用文档实用文档【答案】 C7、 当0<x<1时，2x >1,0<x 12<1， lgx<0，∴2x >x 12>lgx.故选A.【答案】 A8、【解析】 设该商品每件单价提高x 元，销售该商品的月利润为y 元，则y ＝(10＋x)(500－10x)＝－10x 2＋400x ＋5 000＝－10(x －20)2＋9 000∴当x ＝20时，y max ＝9 000，此时每件定价为50＋20＝70元，故选A.【答案】 A9、【解析】 图反映随着水深h 的增加，注水量V 增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小，故选B.【答案】 B实用文档10、C 【解析】 应分三段建立函数关系，当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ；当2.5<t ≤3.5时，离开A 地的距离不变是150；当3.5<t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)．故选C.11、D 【解析】 设原来的蓄积量为a ，则a(1+10.4%)x=a ·y ，∴y=1.104x ，故选D.12、A 【解析】 由已知第二年有100只，得100＝alog 33，∴a ＝100，将a ＝100，x ＝8代入得y ＝100×log 3(8＋1)＝200.故选A.二、填空题13、【解析】 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 12k ， ∴k ＝2ln2，∴y ＝e 2tln2，当t ＝5时，∴y ＝e 10ln2＝210＝1 024.【答案】2ln2 1 02414、【解析】设每个上涨了x元，利润为y元，则y＝(10＋x－8)(100－10x)＝－10x2＋80x ＋200＝－10(x－4)2＋360，当x＝4时，y有最大值360，即每个售价为10＋4＝14(元)．【答案】1415、【解析】设1月份产量为a，则12月份的产量为7a，∴a×(1＋x)11＝7a，∴x＝117－1【答案】117－116、【解析】设原来商品价格为1个单位，则1×(1＋20%)2×(1－20%)2＝0.921 6＝92.16%，∴减少了7.84%.【答案】减少了7.84%实用文档17、【解析】高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148.4(元)．【答案】148.4元三、解答题18、【解析】(1)由图象可设y1=k1x+29，y2=k2x，把点B(30,35)、C(30,15)分别代入y1，y2得k1=1/5，k2=1/2.∴y1=1/5x+29(x≥0)，y2=1/2x(x≥0)．(2)令y1=y2，即1/5x+29=1/2x，则x=962/3.当x=962/3时，y1=y2，两种卡收费一致；当x<962/3时，y1>y2，即便民卡便宜；实用文档当x>962/3时，y1<y2，即如意卡便宜．19、【解析】(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)．2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2.3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)2×(1＋1.2%)＝100×(1＋1.2%)3.…x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N)．(2)10年后人口数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)．20、【解析】设平均每年增长率为x.实用文档从2000年到2020年共21年，若记2000年工农业总产值为1，则2001,2002,2003，……的年总产值分别为(1＋x)，(1＋x)2，(1＋x)3，…，第n年为(1＋x)n－1.根据题意，有(1＋x)20＝22，两边取对数得20lg(1＋x)＝2lg2，即lg(1＋x)＝110lg2，∴lg(1＋x)＝0.030 1，∴1＋x≈1.072，∴x≈0.072＝7.2%.即平均每年增长7.2%，即可完成第二阶段的任务．21、【解析】(1)依题意x1＋x2＝5，∴x2＝5－x1，∴R＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28＝－2x12－(5－x1)2＋13x1＋11(5－x1)－28＝－3x12＋12x1＋2(0≤x1≤5)，∴收益y＝R－5＝－3x12＋12x1－3实用文档＝－3(x1－2)2＋9≤9，当且仅当x1＝2时取等号．∴最优广告策略是报纸广告费用为2万元，电视广告费用为3万元．(2)收益y＝R－(x1＋x2)＝－2x12－x22＋13x1＋11x2－28－(x1＋x2)＝－2(x1－3)2－(x2－5)2＋15≤15，当且仅当x1＝3，x2＝5时取等号．∴最优广告策略是报纸广告费用为3万元，电视广告费用为5万元．22、【解析】设购买人数为z，标价为x，则z是x的一次函数，有z＝ax＋b(a<0)．又当x＝300时，z＝0，∴0＝300a＋b，∴b＝－300a，∴有z＝ax－300a.(1)设商场要获得最大利润，豆浆机的标价为每台x元，此时，所获利润为y.则y＝(x－100)(ax－300a)＝a(x2－400x＋30 000)(100<x<300)．又∵a<0，∴当x＝200时，y最大．所以，标价为每台200元时，所获利润最大．实用文档(2)当x＝200时，y max＝－10 000a，令y＝－10 000a×75%，即a(x2－400x＋30 000)＝－10 000a×75%，解得x＝150，或x＝250.所以定价为每台150元或250元时，所获利润为最大利润的75%.23、24、【解析】如右图所示，设P为EF上一点，矩形CGPH为划出的公园，PH=x，则PN=200-x.又∵AE=60，AF=40，∴由实用文档实用文档最大面积为24 0662/3 m 2.25、【解析】 (1)由题意得y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x m ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m (0≤x<m)． (2)y ＝－k mx 2＋kx ＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km 4. ∴当x ＝m 2时，y 最大＝km 4，实用文档即鱼群年增长量的最大值为km 4t. (3)由题意可得0≤x ＋y<m ，即0≤m 2＋km 4<m ，∴－2≤k<2， 又∵k>0，∴0<k<2.26、【解析】 (1)第1级：f(x)＝x·5%＝0.05x第2级：f(x)＝500×5%＋(x －500)×10%＝0.1x －25第3级：f(x)＝500×5%＋1 500×10%＋(x －2 000)×15%＝0.15x －125.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.05x (0<x ≤500)0.1x －25 (500<x ≤2 000)0.15x －125 (2 000<x ≤5 000).(2)这个人10月份的纳税所得额为4 200－2 000＝2 200(元)，∴f(2 200)＝2 200×0.15－125＝205(元)，即这个人10月份应纳个人所得税205元．实用文档。