例3.甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者 等一个小时后即离去设二人在 这段时间内的各时刻到达是等 可能的，且二人互不影响。求 二人能会面的概率。
解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到
达的时刻，于是 0X5,0Y5.
即 点 M 落在图中
的阴影部分。所有的 点构成一个正方形， 即有无穷多个结果。 由于每人在任一时刻 到达都是等可能的， 所以落在正方形内各 点是等可能的。
(3) 当事件A、B对立时， P(A)1P(B)
(4 )P (A B )= P (A )+ P (B )-P (A B )
古典概型
1）两个特征：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个；（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相等。 （等可能性）
2）古典概型计算任何事件的概率 计算公式为：
15 5
（2）记“取出的鞋不成对”为D ， P（D）= 1 - 3 = 4 15 5
例2、函数 f(x)=x2-x-2,x?[5,5] ，几那何概么型任主取要一有体点积x0型， 、使 面f积(x型0)、£长0 的度概型 率等，（解题关键是）：找到本题中要
解：用区画到域出A是的函哪几数种何的几度图何量象度占，量的由，几图然何象后度得再量,考当的虑任比子取一
一九八四年，我终于考上长沙一所理工学院，当我把这一消息告诉母亲时，我不知母亲那一刻在想什么，我相信给她的那份震撼绝不亚于惊涛骇浪。她说的第一句话就是要去菩萨面前谢恩，要告慰我亲的在天之灵：“九满上大学了！” 因为我不停的升学，这个小心呵护我的母亲，不得不眼睁睁地看着我离开她，而且越来越远，越来越远……我十五岁以后，回家的时间仅仅是节假日或寒暑假，所谓想家，其实就是渴望母亲给我筹集的学费，回家吃顿饱饭……所以，在我的心中，故乡在慢慢地缩小，而母亲的身影却在不断放大！ 大学毕业后，当我告诉母亲：我被分配到广州工作。母亲的神情是复杂的，既有欣慰也有失落，传统的“父母在，不远行”的思想，让她觉得儿子不应离开她，而母爱又使她觉得不应阻碍儿子的前程，母亲的失落只有我才感觉到，我知道，母亲是希望儿子留在故乡的。从我离开故乡到广州工作的时间里，母亲经常因挂念儿子而偷偷地落泪，特别是在她患病的时候，一有人提起我，母亲说话就会哽噫，这是我后来听嫂嫂说才知道的。虽然我离家离得断然绝然，但是，从我参加工作的那年开始，只要一休假，虽然要坐十几个小时人满为患的火车，虽然待在家里的时间只有两天三天，我也会带着疲惫和兴奋匆匆往家赶，因为那里有我的母亲。 参加工作后，母亲才终于结束农村对城市的支援，但这时的她，因为年龄的缘故，已经老态龙钟，走路也要借助拐杖。一九九五年，我把母亲从乡下接到广州，以为故人、故乡可以暂时从母亲的脑海里淡出，专事休养。其实不然，母亲就像一本故乡的活字典，昨天说二姐的身体，今天说五哥的夫妻关系。晚上看电视，明明是粤剧，她却说是湖南花鼓戏。当有晚辈从故乡来到广州，母亲便会急迫地向他打听村子里的情况，当听到一切安好时，脸上就会露出欣慰而放心的笑容；当听到村里有人生病或去世时，母亲的情绪就会非常低落，通常好几天都无法从担心和失落的心情里走出来。 母亲在广州还没住满一年，就匆匆地返回故乡了。每每当她得到我要回乡探亲的消息时，母亲的心情就会突然变得开朗起来，精神也比平日好了许多，整天兴奋地念叨：九满还有几天几天就要回来了。我一回到老人身边，母亲的一切就会以我为中心，看着忙前忙后的哥哥嫂嫂，看着满屋子乱串叫嚷着的侄男侄女，老人就会开心，就会快乐。当我在母亲身边坐下来，她总是拿着我的手，重复地对我说：九满，我没有什么要求，只是希望你多回来看看。所以我每次探亲，都会谢绝一切同学朋友聚会，就是想在母亲的身边多待上一点时间，以此减少母亲心里的挂念，多给自己一些尽孝的机会，来弥补距离的缺憾。 我离开故乡返回广州的那天，天还没亮，我总会听到一个不太清淅的声音，睁眼一看，母亲在为她临行的儿子准备我最喜欢的土产，看到母亲的样子，我真的好难过，作为她的儿子，我什么时候能做到像母亲这样关心她呢？临行时，母亲更是依依不舍，眼里饱含着泪花，一句话也说不出来，她很担心自己再也见不到她的小儿子了，我理解母亲的心情，在母亲面前，我祥装坚强，当我转身离开的那一霎那间，我的泪水便随意如流水！
5、在圆心角为直角的扇形AOB中，在 AB弧上任取一点P，则使得 A O P 3 0 0且 B O P3 0 0 的概率是___1_/3___
6、在长为10cm的线段AB上任取一点，并以 线段AP为一边作正方形，这个正方形的面
积介于25 c m 2与 49 c m 2 之间的概率为__1_/_5_
2、盒中有10个铁钉，其中8个是 合格的，2个是不合格的，从中 任取两个恰好都是不合格的概率 是_1__/4_5____
3、在一个袋子中装有分别标注数 字1，2，3，4，5的五个小球， 现从中随机取出2个小球，则取出 的小球标注的数字之和为3或6的 概率是 __3__/1_0_____
4、一个红绿灯路口，红灯亮的时间为 30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的 时间为45秒，当你到达路口时，恰好 看到黄灯亮的概率是___1_/1_6___
点例x。0 除以5,上5的三结种果几有何无度限量个之，外属，于还几有何概
型。与设角使度f、时x0间 相0关为的事问件题A，。则事件A构成
的区域长度 21 3，全部结果构成的区
域长度是 5510，则
PA 3
10
强化练习：
1、从装有2个红球和2个黑球的袋子 中任取2个球，那么互斥而不对立的 事件是（ C ） A.至少有一个黑球与都是黑球 B.至少有一个黑球与至少有一个红球 C.恰有一个黑球与恰有两个黑球 D.至少有一个黑球与都是红球
P（ B）=2 ´ 3 = 2
15 5
例1：柜子里装有3双不同的鞋，随机地取出 2只，试求下列事件的概率
（1）取注出意的：鞋一含只有是“左至脚多的”，“一至只少是”右等脚的； （2）取类出型的的鞋概不率成问对题；，从正面 解决 比
解一（只是1较 可 利）右困考用记脚难虑对“的或其立取”者 反 事出为比面件的C较，的鞋繁即性一p(琐对质C只)时立进=是，事一3´左步3件脚=求，3的解，然。后
y
5 4 3 2 1
.M(X,Y)
0 1 2 3 4 5x
二人会面的条件是：|XY|1,
阴影部分的面积 p 正方形的面积
25 2 1 42

2
9
25
25 .
y
5 4 3 2 1
01
y-x =1 y-x = 1Fra bibliotek2 3 4 5x
总结
有人说，人的一生是要经历许多阶段的 有一个小山村，很久很久都没有下雨了，老百姓吃完了粮食，吃草根，吃完了草根，吃树皮，到最后没有任何东西能填饱肚子，无数身边的人离开了，老人死去了，弱小的孩子死去了，村里的年青人不知如何是好。 于是他们就去找智慧老人，智慧老人说，这是对神灵的不敬，需要派人去采集光滑，有灵性，中间有缝，左右对称的卵石，取其中的一块，雕刻成佛，让石佛保佑众生，村里人都去找卵石了，采集卵石非常难，翻山、过河、找不到合适的石头，其中有一个年轻人在采集的过程中又饥又饿，年青人想放弃，躺在石头上想休息，忽然间发现，他躺得这块石头非常的光滑，左右对称，与其他的石头不一样，难道这就是孪生石？
概率复习总结
概率知识点：
1、频率与概率的意义 2、事件的关系和运算 3、古典概型 4、几何概型
频率与概率的意义
1、频率本身是随机的，在试验前 不能确定。做同样次数的重复试验 得到事件的频率会不同。
2、概率是一个确定的数，与每次 试验无关。是用来度量事件发生可 能性大小的量。
3、频率是概率的近似值,概率是 频率的稳定值
1、两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立
2、互斥的概念适用于多个事件，但对立概念 只适用于两个事件
3、两个事件互斥只表明这两个事件不 能同时发生，即至多只能发生一个，但 可以都不发生；而两事件对立则表明它 们有且只有一个发生
概率的基本性质
(1) 0≤P（A）≤1
(2) 当事件A、B互斥时， P (A B ) P (A ) P (B )
年青人赶紧找来石匠，石匠与石头打了一辈子的交道，听的懂石头的语言。左看右看，石匠认定这就是智慧老人所说的孪生石，石匠和年轻人找来村子里的其他人费了很大的劲把石头搬到村里的庙里。 石匠用手摸摸孪生石，感觉右边的有灵性，有质感！问石头，你愿意做石佛吗？石头回答到“愿意”石匠“砰砰砸了几下！”右边石头说：太痛了。石匠说：肯定会痛。右边石头：为了成为石佛，我能忍受。石匠说：每凿一下，你就流出鲜血和汗珠，一天、二天、三天、十天……二十天，就在雕琢面部的最后期限，那块会凿的更痛。 从我记事起，我的母亲就像一台不知疲倦的机器，不分昼夜的运转，日复一日地在土地和家之间忙碌着。我穿的鞋子是她亲手缝制的，家里的蚊帐是她亲手纺制的，我们家的枕套、被套、鞋垫上面都有母亲绣制的图案，或花草、或飞禽、或走兽。可是，当时的我，完全没有体谅母亲的辛劳与付出，每天最期待的就是玩到饿的时候，看着家里的炊烟袅袅升起，然后听到母亲呼唤我的乳名，叫我回家吃饭。 小时候，我总是盼着快快过年，因为过年有荤菜吃，好的年景还有新衣穿，但母亲却始终穿着那件旧式蓝衫，只是补丁一年比一年多。那时候，家里穷，饭菜油水不多，每次吃饭，母亲总是把好一点的饭菜留给我们。她似乎没有任何食欲，我从来没有见过她对哪一种食品有特别的欲望，她总是默默地先尽孩子们享用，剩下的她随便吃一点。青黄不接时，晚餐就是喝点粥，不够分配，母亲自己就是喝点锅巴糊。我常听母亲说：“要是天天有饭吃，就是没有菜，我也能吃两碗。”直到现在，每当我想起母亲背对我们喝粥的背影，我的心就会痛，我的泪就会流。 在我的学生时代，母亲总是把嫂嫂和姐姐给她买的衣服或布料，改一改就给我穿上，还怕嫂嫂和姐姐有意见，总是说：“九满在外面冷，我在家里冷天有火烤，穿单薄点没关系。”但如果我找她要学费，她总是想方设法筹措，以满足我上学的基本需求，我永远忘不了一九八三年的那个暑假，母亲为了我的学费，出去又回来，回来又出去，转来转去焦急不安的身影，当我收拾行李时，我惊喜地看到母亲放在我衣服上的伍元钱。那时，常有人劝我母亲：“别让九满上学了，早点回来种田成家才是正事。”而母亲认定唯有让儿子上学，才能走出农村，才能彻底改变生活的命运，所以，无论有多大的困难，母亲都始终如一的支持我上学。我知道母亲的艰难，总是告诫自己：“一定要用功读书，将来考上大学，一定要让母亲过上好日子，以此来回报母亲无怨无悔的付出。”