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机器人动力学 拉格朗日方程

l1212 l22 (12 212 22 ) 2l1l2 cos(12 12 )
所以,M2动能为:
T2

1 2
m2[l1212
l22 (12

212
22 )

2l1l2
cos2 (12
12 )]
势能为:
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
4、计算拉格朗日函数
L Ekt E p

1n 2 i 1
i j 1
i k 1
Trace

Ti q j
Hi
TiT qk
q j qk
1 2
n i 1
Ia i
qi2
n
mi gTTi ri
i 1
L Ek Ep
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
代入:
1 [(m1 m2 )l12 m2l22 2m2l1l2 cos2 ]1 [m2l22 m2l1l2 cos2 ]2 2m2l1l2 sin2 1 2 m2l1l2 sin2 22 (m1 m2)gl1 cos1 m2gl2 cos(1 2 )

p
n max(i
,
j,k
)
Trace

2Tp q jqk
Hp
TpT qi

Di

n
mp gT
pi
Tp qi
rp
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
L
2

m2 gl1l2sin2
1 (1

2 ) m2 gl2
cos(1 2 )
L
2

m2l22 (1
2 ) m2l1l2 cos2 1
d dt
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牛顿—欧拉方程实例
整理得:
1 [(m1 m2 )l12 m2l22 2m2l1l2 cos2 ]1 [m2l22 m2l1l2 cos2 ]2 2m2l1l2 sin2 1 2 m2l1l2 sin2 22 m2 gl2 cos(1 2 ) (m1 m2)gl1 cos1
牛顿—欧拉方程实例
惯性力
2杆件:
惯性力矩
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牛顿—欧拉方程实例
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牛顿—欧拉方程实例
向后递推: 2杆件:
1杆件:
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牛顿—欧拉方程实例
取力矩的Z分量,得到关节力矩:
速度分量为: x2 l1sin11 l2sin(1 2 )(1 2 )
y2 l1cos11 l2cos(1 2 )(1 2 )
则质量M2的速度平方为:
x22 y22 (l1sin11 l2sin(1 2 )(1 2 ))2 (l1cos11 l2cos(1 2 )(1 2 ))2
i j 1
i

Trace
k 1

2Ti q j qk
Hi
TiT q p
q j qk
n
mi gT
i p
Ti q p
所2010/09/02
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
作用在关节上的广义力为:
Qi

n j i
L
2

m2l221
m2l222
m2l1l2 cos2
1
m2l1l2sin2
1 2
用于的广关义节坐上标的为驱动1和力距2 对1和应的2 广。义外力为作
d dt
L
1
-
L
1
1
d dt
L
2
- L
2
2
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力或广义力矩
L—系统的动能 Ek 和位能 Ep之差,称为拉格朗日
函数,即: L Ek Ep
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
例3:对例2所示两杆平面机器人用拉格朗日方 法建立动力学方程。
解:
1、动能和势能
连杆1的动能为:
T1

1 2
m1(l1
令:


1 2

离心力
科氏力
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机器人机构动力学方程 有: M () V ( ,) G() Q
其中: 为广义坐标向量,Q 为广义力向量。 称 M ()为惯量阵,V ( ,) 是离心力、科 氏力等相关部分,G() 为重力部分。
因为 V ( ,) 中仅有速度和位形,上 述方程也称状态空间方程。 特点:
多变量、时变、非线性、强耦合。
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
拉格朗日方程是基于能量项(动能 T、势能V)对系统变量及时间的微分 而建立的。
对于简单系统拉格朗日方程法相较 于牛顿—欧拉方程法更显复杂,然而随 着系统复杂程度的增加,拉格朗日方程 法建立系统运动微分方程变得相对简单。
H
i

Ti qk
T


q
j
qk


1n 2 i 1
i j 1
i k 1
Trace
Ti q j
Hi
TiT qk
q j qk
3、求系统位能
n
n
EP Ep i mi gTTi ri
i 1
i 1
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1)2
设Y0=0为零势面,则连杆1的
势能为:
V1 m1gl1 sin1
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
质量m2的位置表示为: x2 l1 cos1 l2 cos(1 2 )
y2 l1 sin1 l2 sin(1 2 )
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 求出速度的平方:
v2 v v
Trace v vT

Trace
i j 1
Ti q j
q
j
i

r

k 1
Ti qk
qk
T
rT


Trace
i j 1
k
j 1
Trace

Tj qk
Hj
T j T qi
qk
Iai
qi
n

j i
k
j 1
j
Trace
m1

2T j qk qm
Hj
T
T j
qi
qk qm
n
mj gT
j i
Tj qi
ri
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牛顿—欧拉方程实例
末端执行器上无作用力,所以: 基座静止,因此:
0 0, 0 0 考虑到引力,我们使用:
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牛顿—欧拉方程实例
应用递推公式有: 向前:1杆件:
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
步骤总结:
1、机械臂上一点速度 设杆件i上一点ri,它在基坐标系中的位
置为:
r Ti ri
其中,Ti是{i}坐标系相对基础坐标系的齐次变 换矩阵。
那么,该点的速度为:
vi

dr dt


i j 1
Ti q j
q j


ri
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2 (m2l221 m2l1l2 cos2)1 m2l222 m2l1l2 sin2 12 m2 gl2 cos(1 2 )
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牛顿—欧拉方程实例
通常,机器人的动力学方程常写为抽象的形式,
i k 1
Ti q j
r rT

Ti qk
T



q
j
qk

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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
• 2、求系统动能
Ek

n
Eki
i 1

1 2
n
i
Trace
i Ti
i 1
j1 k 1 q j
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
系统拉格朗日方程为:
Qi

d dt
L

qi

L qi
i 1, 2,...n
式中: n ——系统的广义坐标数
qi ——第i个广义坐标 qi ——第i个广义速度
Qi ——作用在第i个广义坐标上的广义

(m1

m2 )gl1
cos1
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