解 令 x t, x t2, dx 2tdt,
e xdx 2tet dt 2 tdet 2(tet etdt)
2et t 1 C
2e x x 1 C
22
练习一下
例11 .已知 的一个原函数是
求
解 x f (x) dx x d f (x)
9
三、幂函数与对数或反三角函数之积
xn log a xdx 或者 xn arctan xdx
选 v xn
10
例5.求 x ln xdx
解
x ln xdx


ln
x(
x2 2
)dx


ln
xd(
x2 2
)
选取合 适的助
手
x2 ln x 2
x2 1
2 x dx
v 1). 要易求得; 2). vdu 要比 udv 易求.
2
证明：
设函数 u u(x), v v(x)具有连续导数，
由 uv u' v uv'
得 uv uv uv
两边求不定积分，得 uvdx uv uvdx
udv uv vdu
积，可设对数函数或反三角函数为u，而将幂函数为v’,使得 应用分部积分后，对数函数或反三角函数消失。
13
四、单独的对数或反三角函数
log a xdx 或者 arctan xdx
当被积函数单纯为对数函数、反三角函数时,也用分部积分公式。
选 v 1
14
例7. ln xdx
解 ln xdx x ln x xd ln x
抽象函数的积分
x f (x) f (x)dx
x cos x cos x C
x
x
sin x 2 cos x C
x
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.

x
f
( x)
dx




cos
x

2 sin x
x

2
cos x2
x

d
x
23
练习一下

x2 2
ln
x

1 2

xdx
x2
x2
ln x C
2
4
11
选取合
例6. x arctan xdx
适的助 手
解 原式
arctan
x
x2 2

dx


arctan
x
d

x2 2

arctan x x2 2
x2
2 d arctan x
ex sin x cos xdex
ex sin x ex cos x ex sin xdx
“打回头”现象
于是,
ex sin xdx 1 ex sin x cos x C
2
18
❖ 注：若当被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积，
u和v’可随意选取,但在两次分部积分中，必须选用同类型的 u，以便经过两次分部积分后产生循环式，从而解出所求积 分。
3
一、幂函数与指数函数之积
xnexdx
选 v ex
4
例1.求 xexdx
选取合适 的助手
解
xexdx x( ex )dx xdex
其中，u x, v ex
由分部积分公式,得
xex exdx
xex ex C
5
例2.求 x2exdx
19
说明
在用分部积分法求不定积分时,常出现如下情形:
f (x)dx g(x) k f (x)dx (k 1)
f (x)dx 1 g(x) C. “打回头”现
1 k
象
20
六、多种方法的综合使用
有时在积分过程中,需要同时用到换元法和分部积分法.
21
例10. e x dx 同时用到换元法和分部积分法
arctan x x2 2

x2 2
1
1 x2
dx
Hale Waihona Puke x2 2arctan
x

1 2

1

1
1 x
2
dx
x2 arctan x 1 x arctan x C
2
2
1 x2 1arctan x 1 x C
12
2
2
❖ 注：若当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘
求 x3 ln xdx和 sin(lnx)dx
答案见 P19例4 题4和6。
24
小结
1）分部积分法的四种情况 2）多种积分方法的综合使用
两条经验
1）分部积分法的关键是选取合适的助手，即选择
合适的 v。
2）遇到抽象函数的积分要灵活
25
作业 P196 1(2)(5)(8)(11)(14) 4
注：若当被积函数是幂函数（指数为正整数）与指数函数的
乘积，可设幂函数为u，而将其余部分为v’,使得应用分部积
分后，幂函数的幂次降低一次。
6
二、幂函数与三角函数之积
xn sin xdx 或者 xn cos xdx
选 v sin x 或v cos x
7
例3.求 x cos xdx
26
§4.3 分部积分法
一、幂函数与指数函数之积 二、幂函数与三角函数之积 三、幂函数与对数或反三角函数之积 四、单独的对数或反三角函数 五、三角函数与指数函数之积 六、多种方法的综合使用
1
分部积分法公式
uvdx uv uvdx 或者
udv uv vdu
说明 应用分部积分法的关键在于 u,v 的选择是否恰当. u,v 的选择原则是:
解 x2exdx x2dex x2ex exdx2
选取合适 的助手
x2ex ex 2xdx x2ex 2 xdex
x2ex 2[xex exdx]
x2ex 2xex ex C
ex x2 2x 2 C

x

ln
x


x

1dx x
x ln x 1dx
x ln x x C
15
例8. arccos xdx 同时用到分部积分法和换元法
解
arccos xdx
x arccos x
x dx 1 x2
方法1，换元法 设 x sin t, dx costdt
“打回头”现象
选 v ex 或 v sin x(cos x)
17
例9. ex sin xdx
解 ex sin xdx sin x(ex )dx sin xdex
ex sin x exd sin x ex sin x ex cos xdx

x 1 x2
dx


sin t cos t
cos
tdt
sin tdt
cost C 1 x2 C
方法2
x arccos x

2
1 d1 x2
1 x2
x arccos x 1 x2 C
16
五、三角函数与指数函数的乘积
ex sin xdx 或者 ex cos xdx
解
x cos xdx xd sin x
选取合 u x, v sin x
适的助 手
由分部积分公式,得
x sin x sin xdx
x sin x cos x C
8
例4. 求 x2 sin xdx
选取合 适的助
手
解 x2 sin xdx x2 ( cos x)dx x2d( cos x)
x2 cos x cos xdx2
x2 cos x 2 x cos xdx
x2 cos x 2xsin x 2cos x C
注：若当被积函数是幂函数（指数为正整数）与正（余）弦函
数的乘积，可设幂函数为u，而将其余部分为v’,使得应用分部
积分后，幂函数的幂次降低一次。