ﻩ西城区高三统一测试数学(文科)20１8.4第Ⅰ卷(选择题共40分）一、 选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的 四个选项中,选出符合题目要求的一项．1.若集合{|320}A x x =∈+>R ,2{|230}B x x x =∈-->R ,则A B =(A){|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R(C ）2{|3}3x x ∈-<<R(Ｄ){|3}x x ∈>R2.若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a = (A)7（B)7-(Ｃ）1（Ｄ)1-3．执行如图所示的程序框图,输出的k 值为 (A)2 (B ）3 (C)4 (D ）54.若函数2,0,()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则1()2f -=（A)(B)(C ）29-（D)295．正三棱柱的三视图如图所示,该正三棱柱的表面积是(Ａ) （B ）(C)6+ （Ｄ)6+6.已知二次函数2()f x ax bx c =++.则“0a <”是“()0f x <恒成立”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件（D)既不充分也不必要条件7.已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ,μ∈R ,则λμ=（A ）2-(B ）12-（C ）(Ｄ８.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==,1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．满足到直线1AA 和CD的距离相等的点P （A ）不存在 (Ｂ）恰有1个(Ｃ)恰有2个(D ）有无数个第Ⅱ卷（非选择题共１１０分）二、填空题:本大题共6小题,每小题５分，共３0分. 9.函数1()ln f x x=的定义域是＿_＿_.10．已知x ,y 满足条件 1,1,10, x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≥则2z x y =+的最小值为__＿_．11.已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =_＿＿_；双曲线的渐近线方程是____.12.在△ABC 中,7b =,5c =,3B 2π∠=，则a =____.１３．能够说明“存在不相等的正数a ，b ，使得a b ab +=”是真命题的一组a ，b 的值为____.14.某班共有学生４0名,在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班１8人不会打乒乓球,2４人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是___＿．三、解答题：本大题共6小题,共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. １5．（本小题满分13分）设等差数列{}n a 的公差不为0，21a =，且2a ,3a ,6a 成等比数列. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,求使35n S 成立的n 的最小值.1６.(本小题满分１3分）函数π()2cos cos()3f x x x m =⋅-+的部分图象如图所示.(Ⅰ)求m 的值; （Ⅱ）求0x 的值．１7.（本小题满分１３分）某企业20１7年招聘员工，其中A 、B 、C 、Ｄ、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例(精确到1%）如下:(Ⅰ)从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率;(Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择１名男性和1名女性，求这２人均被录用的概率; （Ⅲ）表中A 、Ｂ、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近(二者之差的绝对值不大于５%),但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例.研究发现,若只考虑其中某四种岗位,则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论)1８.(本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==,4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C的中点,如图２.（Ⅰ）求证：//EF 平面1A BD ； （Ⅱ）求证：平面1A OB ⊥平面1A OC ；（Ⅲ）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ?说明理由.图1 图219．(本小题满分１４分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，以椭圆C 的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是 （Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A 是椭圆C 的右顶点,点B 在x 轴上.若椭圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=,求点B 横坐标的取值范围．2０．（本小题满分1３分)已知函数()e (ln )x f x a x =⋅+，其中a ∈R ． （Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值； (Ⅱ）记()f x 的导函数为()g x .当(0,ln 2)a ∈时，证明： ()g x 存在极小值点0x ,且0()0f x <.西城区高三统一测试数学（文科)参考答案及评分标准2018.4一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．Ｄ ２.B 3.C 4．A ５．Ｄ 6．B 7．A ８.D二、填空题:本大题共６小题,每小题５分，共30分．9.(0,1)(1,)+∞ 10.5- 110x ±=１2.3 13.3,32(答案不唯一） 14．22注：第1１题第一空3分,第二空2分．三、解答题:本大题共6小题,共８0分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分． １５.（本小题满分13分）解：(Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,0d ≠. 因为 2a ,3a ,6a 成等比数列， 所以2326a a a =⋅.[ 2分]即2(1)14d d+=+,[ ４分]解得2d =，或0d =(舍去）.[ 6分]所以 {}n a 的通项公式为2(2)23n a a n d n =+-=-． [ 8分](Ⅱ)因为 23n a n =-,所以2121()()222n n n n a a n a a S n n -++===-． [10分] 依题意有 2235n n ->, 解得7n >.[12分]使35nS 成立的n的最小值为８． [13分]1６．（本小题满分1３分) 解：（Ⅰ）依题意,有2π()13f =-，[ 2分］所以 2ππ2cos cos 133m ⋅+=-， 解得12m =-． [ 4分］ （Ⅱ)因为π1()2cos cos()32f x x x =⋅--112cos (cos )22x x x =⋅+-[ ６分]21cos cos 2x x x +-12cos 22x x =+[ ９分]πsin(2)6x =+． [10分］所以 ()f x 的最小正周期 2ππ2T ==. [11分］所以 02ππ7π326x =+=． [13分]１7.（本小题满分１３分)解：(Ⅰ)因为 表中所有应聘人员总数为 5334671000+=,被该企业录用的人数为 264169433+=.所以从表中所有应聘人员中随机选择1人,此人被录用的概率约为4331000P =. [3分]（Ⅱ)记应聘E 岗位的男性为1M ,2M ，3M ，被录用者为1M ,2M ；应聘E 岗位的女性为1F ,2F ,3F ，被录用者为1F ，2F . ［ 4分]从应聘E 岗位的6人中随机选择1名男性和1名女性，共９种情况,即:111213212223313233,,,,,,,,M F M F M F M F M F M F M F M F M F ． [ 7分]这2人均被录用的情况有4种，即：11122122,,,M F M F M F M F . [ 8分] 记“从应聘Ｅ岗位的6人中随机选择1名男性和１名女性，这2人均被录用”为事件K,则 4()9P K =． [10分](Ⅲ)这四种岗位是：Ｂ、C 、D 、E ． ［13分］18.（本小题满分１4分)解:(Ⅰ）取线段1A B 的中点H ，连接HD ,HF . [ １分］因为 在△ABC 中,D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ,12DE BC =.因为 H ,F 分别为1A B ,1A C 的中点，所以 //HF BC ,12HF BC =,所以 //HF DE ，HF DE =，所以 四边形DEFH 为平行四边形， [ 3分] 所以 //EF HD . [ 4分]因为 EF ⊄平面1A BD ， HD ⊂平面1A BD ， 所以 //EF 平面1A BD ． [ 5分］ （Ⅱ)因为 在△ABC 中,D ,E 分别为AB ，AC 的中点, 所以 AD AE =．所以 11A D A E =,又O 为DE 的中点, 所以1A O DE⊥.[ ６分］因为 平面1A DE ⊥平面BCED ,且1A O ⊂平面1A DE ， 所以 1A O ⊥平面BCED,［ ７分] 所以 1CO A O⊥.[ 8分]在△OBC 中,4BC =,易知 OB OC == 所以 CO BO ⊥, 所以 CO ⊥平面1A OB， [ 9分]所以平面1A OB ⊥平面1A OC ． [10分](Ⅲ)线段OC 上不存在点G ,使得OC ⊥平面EFG . [1１分] 否则,假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ， 连接 GE ,GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在 Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥,得 G 为OC 的中点.[1２分]在 △EOC 中，因为 OC GE ⊥, 所以 EO EC =，这显然与 1EO =,EC 矛盾！所以 线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ． ［1４分]19.(本小题满分14分）解:（Ⅰ)设椭圆C 的半焦距为c .依题意，得c a =ab =且222a b c =+．[ 3分]解得 2a =，b =. 所以椭圆C 的方程为22142x y +=.［ 5分](Ⅱ）“椭圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P ,使得0PA PB −−→−−→⋅=成立”． [ 6分］依题意,(2,0)A ．设(,0)B t ,(,)P m n ,则2224m n +=, ［ 7分]且 (2,)(,)0m n t m n --⋅--=， 即2(2)()0m t m n --+=.［ 9分]将 2242m n -=代入上式,得2(2)()24m m t m ---+=.[1０分]因为 22m -<<，所以 202mt m +-+=，即22m t =+． [12分]所以 2222t -<+<, 解得 20t -<<，所以 点B 横坐标的取值范围是(2,0)-． ［1４分]2０.（本小题满分１3分)解：(Ⅰ)11()e (ln )e e (ln )x xx f x a x a x x x'=⋅++⋅=⋅++． ［ 2分]依题意,有(1)e (1)e f a '=⋅+=,[ 3分]解得a =.[ ４分](Ⅱ）由(Ⅰ）得 1()e (ln )xg x a x x =⋅++， 所以 2211121()e (ln )e ()e (ln )x x xg x a x a x x x x x x'=⋅+++⋅-=⋅+-+. [ 6分]因为 e 0x>，所以()g x '与221ln a x x x+-+同号. 设221()ln h x a xx x=+-+,[ 7分]则 223322(1)1()x x x h x x x-+-+'==． 所以 对任意(0,)x ∈+∞,有()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞单调递增. ［ ８分］因为 (0,ln 2)a ∈,所以 (1)10h a =+>，11()ln 022h a =+<,故存在01(,1)2x ∈,使得 0()0h x =． ［1０分]()g x 与()g x '在区间1(,1)上的情况如下：所以 ()g x 在区间0(,)2x 上单调递减,在区间0(,1)x 上单调递增.---- 所以 若(0,ln 2)a ∈，存在01(,1)2x ∈，使得0x 是()g x 的极小值点. ［１1分]令 0()0h x =，得 002012ln x a x x -+=, 所以000002012()e (ln )e 0x x x f x a x x -=⋅+=⋅<． [13分]。