动点的轨迹问题根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。

该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。

轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。

求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）求轨迹方程的的基本方法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。

4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。

可以说是参数法的一种变种。

6.转移法：如果动点P随着另一动点Q的运动而运动，且Q点在某一已知曲线上运动，那么只需将Q点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到P点的轨迹方程。

7.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

8.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。

9.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为),(),,(2211y x B y x A 并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。

此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的“源”。

对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略。

二、注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。

（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。

检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。

4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。

在此不一一缀述。

【典型例题选讲】 一、直接法题型：例1 已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。

解：设MN 切圆C 于N ，则222ON MO MN-=。

设),(y x M ，则2222)2(1yx y x +-=-+λ化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x （1）当1=λ时，方程为45=x ，表示一条直线。

（2）当1≠λ时，方程化为2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。

说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

变式- - 如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解：以21O O 的中点O 为原点，21O O 所在的 直线为x 轴，建立平面直角坐标系， 则)0,2(),0,2(21O O - 由已知PN PM 2=可得：222PN PM =因为两圆的半径均为1，所以)1(212221-=-PO PO设),(y x P ，则]1)2[(21)2(222-+-=-+y x x ，即33)6(22=+-y x 所以所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）评析：1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

二、定义法题型：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

例2 已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程. 【解析】设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点， 两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC| =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆， 以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为：2218172x y += 练习： 已知圆O 的方程为 x 2+y 2=100,点A 的坐标为（-6，0），M 为圆O 上任一点，AM 的垂l O ' P EDC B A直平分线交OM 于点P ，求点P 的方程。

解：由中垂线知，PM PA =故10==+=+OM PO PM PO PA ，即P 点的轨迹为以A 、O 为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P 点的方程为1251625)3(22=++y x 评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。

三、代入法题型：例3 如图，从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N 。

求线段QN 的中点P 的轨迹方程。

解：设动点P 的坐标为（x,y ）,点Q 的坐标为（x 1,y 1） 则N （ 2x-x 1,2y-y 1）代入x+y=2,得2x-x 1+2y-y 1=2 ① 又PQ 垂直于直线x+y=2，故111=--x x y y ，即x-y+y 1-x 1=0 ②由①②解方程组得12321,1212311-+=-+=y x y y x x , 代入双曲线方程即可得P 点的轨迹方程是2x 2-2y 2-2x+2y-1=0练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于x 轴，关于y 轴，关于直线y=x ，关于直线y=-x ，关于直线y=3对称的曲线方程。

(f(-x,-y)=0,f(x,-y)=0,f(-x,y)=0,f(y,x)=0,f(-x,-y)=0，f(x,6-y)=0)四、参数法与点差法题型：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y 之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

例4 经过抛物线y 2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A 作互相垂直的两直线分别交抛物线于B 、C 两点，求线段BC 的中点M 轨迹方程。

解：A （-2p,0）,设直线AB 的方程为y=k(x+2p)(k ≠0).与抛物线方程联立方程组可解得B 点的坐标为)2,22(2k p p kp -，由于AC 与AB 垂直，则AC 的方程为)2(1p x k y +-=，与抛物线方程联立方程组可解得C 点的坐标为)2,22(2kp p p k --，又M 为BC 中点，设M （x,y ）,则⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=kpk py p p k k p x 222，消去k 得y 2=px,即点M 的轨迹是抛物线。

巩固与提高：1〉在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO （如图4所示）.求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；【解析】解法一：以OA 的斜率k 为参数由{2y kxy x ==解得 A （k ，k 2） ∵OA ⊥OB ，∴OB ：1y x k =-由21y x k y x⎧⎪=-⎨⎪=⎩解得B 211,k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 设△AOB 的重心G （x ，y ），则22113113x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩消去参数k 得重心G 的轨迹方程为2233y x =+解法二：设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x （1）∵OA ⊥OB ∴1-=⋅OB OA k k ,即12121-=+y y x x ， (2)又点A ，B 在抛物线上，有222211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y 。

2〉如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求△APB 的重心G 的轨迹方程.【解析】设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(012112x x x x x x ≠和， ∴切线AP 的方程为：;0220=--x y x x 切线BP 的方程为：;02211=--x y x xO GBAyxPl解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310， ,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即评析：1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。