第二章 薛定谔方程 习题 (课本44页)证明在定态中，概率流密度与时间无关。
证明：当一个系统处于定态时，其波函数),(t rϕ可以写作，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Et i r t rex p )(),(φϕ于是便有，⎪⎭⎫ ⎝⎛=Et i r t rex p )(),(**φϕ根据概率流密度的定义式有，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∇⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∇⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∇-∇≡ϕϕϕϕϕϕϕϕψψψψt iE t iE t iE t iE m i t iE t iE t iE t iE m i m i J exp exp exp exp 2exp exp exp exp 2)(2****** 即有，)(2)(2****φφφφϕϕϕϕ∇-∇=∇-∇=mi m i J显然，在定态中概率流密度与时间无关。
从某种意义上说明上述波函数称为定态波函数是名副其实的。
—由下列两定态波函数计算概率流密度：⑴)exp(11ikr r =ϕ，⑵ )exp(12ikr r-=ϕ。
从所得结果说明1ϕ表示向外传播的球面波，2ϕ表示向内(即向原点)传播的球面波。
解：在解本题之前，首先给出一个函数f 的梯度在球坐标系下的表达式，即ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇f r e f r e r f e f r sin 1ˆ1ˆˆ ⑴ 首先求解函数1ϕ的概率流密度r ikr ikr r ikr ikr ikr r ikr e mr k r ike re e r e r ike r e e r e m i r ikr r ikr r ikr r ikr m i mi J ˆˆˆ2)exp()exp()exp()exp(2)(22221*1*111 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∇---∇=∇-∇=---ϕϕϕϕ可见，概率流密度1J 与r 同号，这便意味着1J的指向是向外的，即1ϕ表示向外传播的球面波。
⑵ 同理，可以得到2ϕ的概率流密度r ikr ikr r ikr ikr ikr r ikr e mr k r ike r e e r e r ike r e e r e m i r ikr r ikr r ikr r ikr m i mi J ˆˆˆ2)exp()exp()exp()exp(2)(22222*2*222 -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∇-∇-=∇-∇=---ϕϕϕϕ这里的负号，即为概率流密度2J 与r的符号相反，意味着概率流密度2J 的指向是向内的，即波函数2ϕ表示向内传播的球面波。
<一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ,0,00,)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：在量子力学中，一维薛定谔方程扮演着非常重要的角色。
其一，一维问题是微分方程中最简单、最基础的问题，通过解一维薛定谔方程，不但可以了解到量子力学中不同于经典力学的结果，如能量的量子化和势垒的贯穿等，还可以解更高维薛定谔方程的基础，如经典的氢原子的结构问题和现代的黑洞的结构问题，这些问题通过分离变量，最终化成求解一维薛定谔方程问题。
其二，随着现代科学技术的发展，在实验室中已经制成了一维的或准一维的系统，这样，求解一维薛定谔方程对于理解这些系统的性质起着至关重要的作用。
一维薛定谔方程的求解一般有两大类：一类是束缚态的求解，即求解束缚态的能级及相x应的波函数；一类是散射问题，即求解散射态的反射系数、透射系数以及相应的波函数。
这两类问题实质上也是整个初等量子力学所关注的最主要的两类问题。
具体到本题，显然是一维薛定谔方程中的束缚态问题。
具体求解如下： 在势阱内)0(a x ≤≤，一维薛定谔方程的定态波动方程为，)(2)()()(2222222x E dx x d x E dx x d ϕμϕϕϕμ -=→=- ：其中0>E ，如果令Ek μ2=，则上述方程为，0)()(222=+x k dxx d ϕϕ 于是上述方程的解可表示为，kx B kx A x cos sin )(+=ϕ。
在势阱外),0(a x x ><，根据波函数应满足的连续性和有限性条件可知，),0(0)(a x x x ><=ϕ则，由第一个边界条件0)0(=ϕ知，0=B 。
于是波函数为，)0(sin )(≠=A kx A x ϕ再根据第二个边界条件0)(=a ϕ有，0sin =ka A,这就意味，an k n ka ππ=→=，其中n 为正整数。
由μμ2)(22k E E k =→=，便可求出粒子的能级为， 22222a n E μπ =然后，再对波函数进行归一化处理，1|)(|2=⎰∞∞-dx x ϕ，即，220222||2||)()(sin 1)(sin ||A k ka A k kx d kx dx kx A aa=→=→=⎰⎰于是，a A 2||=，不失一般性，取aA 2=。
在此所使用的数学积分公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=⎰⎰Cx x xdx C x x xdx )2sin(4121cos )2sin(4121sin 22则，对应的波函数为，⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤⎪⎭⎫⎝⎛=.or 0,0,0,sin 2)(a x x a x a x n a x πϕ—最后，作几点说明：首先，既然n 为正整数，则能量的最小值为)2(222a μπ，这是纯粹量子效应的零点能。
其二，对于无限方势阱，量子化的能量间隔不是等距的。
其三，显然方势阱的宽度越小，相应的能级越高，这也可以看作是海森伯不确定性原理的一个表现：当方势阱的宽度越小，那么粒子位置的不确定度就越小，这样，根据海森伯不确定性原理，粒子的动量的不确定度就越大，于是，相应的能量便越高。
其四，从波函数的形式，基态波函数没有节点，第一激发态有一个节点，第k 个激发态有k 个节点，这表明：当粒子的能级越高，其相应的波函数的空间分布上的起伏就越厉害。
证明式中的归一化常数是aA 1='。
解：已知粒子的波函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<+'=ax a x a x an A n ||,0||),(2sinπϕ对波函数进行归一化处理，1)(2sin ||1||222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+'→=⎰⎰-∞∞-aadx a x a n A dx πϕ 【令上式的左边为A ，再构造B ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+'=⎪⎭⎫ ⎝⎛+'=⎰⎰--a a a a dx a x a n A B dx a x a n A A )(2cos ||)(2sin ||2222ππ 两式相加，得，a A B A 2||2⋅'=+两式相减，应用公式，)2cos(sin cos 22θθθ=-，有→⎪⎭⎫⎝⎛+'-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'=-⎰⎰--a aa a dx a x a n A dx a x a n A A B )(2sin ||)(2cos ||2222ππ0)(sin ||)(cos ||22=⎪⎭⎫ ⎝⎛+'=⎪⎭⎫⎝⎛+'=-⎰⎰--aaa a a a x n d n a A dx a x a n A A B πππ则得，a A A A B B A 2||22)()('==--+，aA a A A 1||1||22='→='=→ 这样所确定出的归一化条件为，R ),ex p(11||∈='→='δδi aA a A }由于量子力学中波函数的特殊性质，即如果两个波函数相差一个常数的模1|)ex p(|2=δi 的相位因子，则这两个波函数将描述相同的物理状态。
据此，只须在其中选择一个波函数即可。
在该题中，选择0=δ，即a A 1='；也可选择a A 1-='→=πα。
当然还有许多别的选择方式，比如选择a A 1='，或者选择a A 1-='都是对的，而且描述相同的物理状态。
求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。
解：求一维谐振子处在第一激发态)(1x ϕ时概率最大的位置，实质上也就是求解21|)(|x ϕ的最大值时x 所对应的值。
由课本32页“能量n E 所对应的波函数”表达式的第二式有，)(21ex p )()(21ex p )(1221122x H x N x x H x N x n n n ααϕααϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→⎪⎭⎫ ⎝⎛-=根据课本32页“厄密函数的归一化常数n N ”的表达式有，παπα2!21=→=N n N n n [根据课本32页“厄密多项式n H ”的表达式可知，x H αξ221==，则，x x x ααπαϕ221exp 2)(221⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=这里的ωαm =，m 为谐振子的质量。
于是，有， )ex p(2|)(|222321x x x απαϕ-=这样，)ex p()22(2|)(|2232321x x x dx x d ααπαϕ--=由0|)(|21=dxx d ϕ，可以得到， 0or ,102232=±=→=-x x x x αα经过对21|)(|x ϕ的二阶导数的验证，发现：0=x 时，21|)(|x ϕ取极小值(其实也就是零)；α1±=x 时，21|)(|x ϕ取最大值。
^[讨论]⑴ 21|)(|x ϕ的极小值的位置除了0=x ，实质上还有±∞=x ，但总的来说，这是平庸的解，是所有束缚态系统的普遍性质。
⑵ 注意到21|)(|x ϕ取最大值的位置是左右对称的，本质上是由于势场的左右对称符合对称性原理，即对称的原因将产生对称的结果。
在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
求解：根据定态薛定谔方程课本24页式，假设某定态波函数满足以下方程,)()()()(2222x E x x U dx x d m ϕϕϕ=+- ⑴ 可以证明，波函数)()(x x -=ϕφ也同样满足上面的定态方程。
首先注意到，·)()()()()()(x x U x x U x x U --=-=ϕϕφ ⑵以及，)()(x E x E -=ϕφ ⑶ 2222)()(dx x d dx x d -=ϕφ ⑷ 综合以上各式，有→→=+-)()()()(2222x E x x U dx x d m φφφ )()()()(2222x E x x U dx x d m -=--+--ϕϕϕ 即，波函数)()(x x -=ϕφ也同样满足定态方程⑴。