故 a b b c c a
3 . 2
4． 在 xＯy 坐标面上求向量 a，使其垂直于向量 b=4i-3j+5k,且｜a｜=2｜b｜． 解：设向量 a ( x, y, 0) ,由 a b 得 a b 0 即 4x 3y 0 , 由 | a | 2 | b | 得 解方程组
(6,10, 2) (6, 6, 6) (16, 4, 12) (16, 0, 20)
5．已知两点 M1(0，1，2)和 M2(1，-1，0)，求向量 M 1M 2 ，并求 M 1M 2 及与 M 1M 2 平 行的单位向量． 解： M 1M 2 (1 0)i (1 1) j (0 2)k i 2 j 2k (1, 2, 2)


2．试用向量证明：如果平面上一个四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行 四边形． 证： （如上题图） ，依题意有 AM MC , DM MB. 于是 AB AM MB MC DM DC. 故 ABCD 是平行四边形. 3．已知向量 a=i-2j+3k 的始点为(1，3，-2)，求向量 a 的终点坐标． 解：设 a 的终点坐标为( x, y, z ),则
即与 M 1M 2 平行的单位向量为 ,

1 3
2 2 1 2 2 , 或 , , . 3 3 3 3 3
习题 7-3
) 1． 已知 a =2, b =1, (a,b
解： （1） a a | a | 4
2
，求(1) a·a,(2) a·b,(3) (2a+3b)·(3a-b)． 3 ) 2 1 cos π 1 （2） a a | a | | b | cos(a,b 3








AC AB BC a b BD BA AD b a
于是： MA AM 图 7-1

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x 1 1 y 3 2 z 2 3
解得
x 2 y 1 z 1
所以，向量 a 的终点坐标为（2，1，1）. 4．已知向量 a=(3,5,-1),b=(2,2,2),c=(4,-1,-3)，求 2a-3b+4c． 解： 2a 3b 4c 2(3,5, 1) 3(2, 2, 2) 4(4, 1, 3)
b c 1 2 1 (6) (4) (1) 0
从而 c a 且 c b ，又显然 a 与 b 不平行，于是 c 垂直于 a 与 b 确定的平面，而已知平面 平行于向量 a 与 b,边就平行于 a 与 b 确定的平面，所以 c 也垂直于这个已知平面. 7． 求垂直于向量 a=3i+6j+8k 和 x 轴的单位向量． 解：设所求向量为 xi yj zk ,依题意有：
| AB || AC | ,且 | AB |2 | AC |2 | BC |2
所以 ABC 是等腰直角三角形. 习题 7-2 1．在平行四边形 ABCD 内，设 AB a , AD b ，M 为对角线的交点，试用向量 a 和 b 表示向量 MA, MB, MC 和 MD ． 解： （如图） DC AB a, BC AD b,
x 2 y 2 16 9 25 10 2 ,即 x 2 y 2 200 .
得
4 x 3 y 0 x y 200
2 2
x 6 2 y 8 2
或
x 6 2 y 8 2
所以所求向量 a 为 (6 2,8 2, 0) 或 ( 6 2, 8 2, 0) . 5． 求以 A(1，2，3)，B(3，4，5)，C(2，4，7)为顶点的△ABC 的面积 S． 解： AB (2, 2, 2), AC (1, 2, 4)
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第七章
习题 7-1 1. 略. 2． 求点(a,b,c)关于(1) 各坐标面；(2) 各坐标轴；(3) 坐标原点的对称点的坐标． 解： （1）点（a,b,c）关于 xoy 面的对称点是(a,b,-c); 关于 xoz 面的对称点是（a,-b,c）; 关于 yoz 面的对称点是(-a,b,c); （2）点（a,b,c）关于 x 轴的对称点是（a,-b,-c）; 关于 y 轴的对称点是（-a,b,-c）; 关于 z 轴的对称点是（-a,-b,c）; (3)点（a,b,c）关于原点的对称点是（-a,-b,-c）; 3． 自点 P0(x0, y0, z0)分别作各坐标面和坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标． 解：自点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 作 xoy 面的垂线，垂足坐标是 ( x0 , y0 , 0) ; 作 xoz 面的垂线，垂足是 ( x0 , 0, z0 ) ; 作 yoz 面的垂线，垂足是 (0, y0 , z0 ); 自点 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 作 x 轴的垂线，垂线是 ( x0 , 0, 0); 作 y 轴的垂线，垂足是 (0, y0 , 0); 作 z 轴的垂线，垂足是 (0, 0, z0 ). 4． 求点 M(4，-3，5)到各坐标轴间的距离． 解：自点 M 分别作 x 轴， y 轴， z 轴的垂线，垂足分别为 M 1 (4, 0, 0) ， M 2 (0, 3, 0) ，




| M 1M 2 | 12 (2) 2 (2) 2 3
MM 2 1 1 2 2 与 M 1M 2 平行的单位向量 e (1, 2, 2) , , 3 | MM 2 | 3 3 3
6． 试证明以三点 A(4，1，9)，B(10，-1，6)，C(2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角三 角形． 证： | AB |
(10 4) 2 (1 1) 2 (6 9) 2 36 4 9 7
| AC | (2 4) 2 (4 1) 2 (3 9) 2 4 9 36 7 | BC | (2 10) 2 (4 1) 2 (3 6) 2 64 25 9 7 2
3
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(3)(a b) (a b) (a b) a (a b) (b) a a b a a b b b 2(a b) 2(5i j 7k ) 10i 2 j 14k
5． 在 yＯz 面上，求与三个已知点 A(3，1，2)，B(4，-2，2)和 C(0，5，1)等距离的点． 解：设所求点 P (0, b, c) ,则 | PA || PB || PC | 即 9 (b 1) (c 2) 16 (b 2) (c 2)
2 2 2 2
4
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3x 6 y 8 z 0 1 x 0 y 0 z 0 2 2 2 x y z 1
M 3 (0, 0,5) ，则点 M (4, 3,5) 到 x 轴，y 轴，z 轴的距离分别为：
d x | MM 1 | (4 4) 2 (3 0) 2 (5 0) 2 34. d y | MM 2 | (4 0) 2 (3 3) 2 (5 0) 2 41. d z | MM 3 | (4 0) 2 (3 0) 2 (5 5) 2 5.
解：(1) a b (3, 1, 2) (1, 2, 1) 3 1 (1) 2 ( 2) ( 1) 3
i
j
k
a b 3 1 2 5i j 7 k 1 2 1
（2） (2a ) 3b 6a b 18
a 2b 2(a b) 2(5i j 7k ) 10i 2 j 14k
1 1 AC (a b) 2 2 1 1 1 MB BM BD (b a) (a b) 2 2 2 1 1 MC AC (a b) 2 2 1 1 MD BD (b a ) 2 2
(3)(2a 3b) (3a b) (2a 3b) 3a (2a 3b) b 6a a 9b a 2a b 3b b 6a a 7 a b 3b b 6 4 7 1 3 1 28
2． 设 a=3i-j-2k,b=i+2j-k,求 (1) a·b 及 a×b； (2) (-2a)·3b 及 a×2b； (3) (a+b)×(a-b)．


i j k AB AC 2 2 2 4i 6 j 2k 1 2 4

S
1 2 1 4 (6) 2 22 14 . AB AC 2 2
6． 设一平面平行于向量 3i+j 和向量 i+j-4k，证明向量 2i-6j-k 垂直于这个平面． 证:令 a 3i j , b i j 4k , c 2i 6 j k , 则 a c 3 2 1 ( 6) 0 (1) 0
3． 已知 a，b，c 为单位向量，且满足 a+b+c=0,计算 a·b+b·c+c·a． 解： 0 ( a b c) (a b c )
a a a b a c b a b b b c c a c b c c | a |2 | b |2 | c |2 2(a b b c c a) 3 2(a b b c c a )