2019年高考三角函数大题专项练习集（一）1.在平面四边形ABCD 中，∠ADC =90°，∠A =45°，AB =2，BD =5．（1）求cos ∠ADB ；（2）若DC =，求BC ．222.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c =2且c cos A +b cos C =b .（1）判断△ABC 的形状；（2）若C =，求△ABC 的面积.6π3.在△ABC 中，角的对边分别为，且.,,A B C ,,a b c ()2cos cos a b C c B -⋅=⋅（1）求角的大小；C（2）若， △ABC .2c =4.的内角的对边分别为.已知．ABC ∆,,A B C ,,a b c ()sin sin sin a b A c C b B -=-（1）求；C （2）若的周长为，求的面积的最大值．ABC ∆6ABC ∆5.的内角所对的边分别为,已解ABC ∆,,A B C ,,a b c sin()sin sin a b A B c b A B-+=-+（1）求角；A（2）若，求和的值a =1c b -=b c6.已知函数．()2sin cos 222x x x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期；()f x （2）求在区间上的最大值和最小值．()f x [],0π-7.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .()cos 2cos C b A =-（1）求角A 的大小；（2）若a =2，求△ABC 面积的最大值.8.在锐角△ABC 中，角的对边分别为，边上的中线，且满足,,A B C ,,a b c BC AD m =.2224a bc m +=（1）求的大小；BAC ∠（2）若，求的周长的取值范围.2a =ABC ∆9..)2cos 2,cos 1(),2sin 2,cos 1(x x x x +=-=已知（1）若的表达式；sin 2)(x x f -+=)(x f （2）若函数和函数的图象关于原点对称，求函数的解析式；)(x f )(x g )(x g （3）若在上是增函数，求实数的取值范围.1)()()(+-=x f x g x h λ⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππλ10.已知，, 且,cos )a x m x =+ (cos ,cos )b x m x =-+ ()f x a b=A （1）求函数的解析式;()f x （2）当时, 的最小值是－4 , 求此时函数的最大值, 并求出相应的,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x ()f x 的值.x 11.△ABC 的内角为A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．cos sin sin cos a b cC B B C=+（1）求的最大值；()()sin sin cos cos A B A A A B +++-（2）若，当△ABC 的面积最大时，△ABC 的周长；b =12.如图,某大型景区有两条直线型观光路线，, ,点位于AE AF 120EAF ∠=︒D EAF ∠的平分线上，且与顶点相距1公里.现准备过点安装一直线型隔离网(分别在A D BC ,BC 和上)，围出三角形区域，且和都不超过5公里.设，AE AF ABC AB AC AB x =(单位：公里).AC y =（1）求的关系式；,x y （2）景区需要对两个三角形区域，ABD ACD 进行绿化.经测算，区城每平方公里的绿化费用是ABD 区域的两倍，试确定的值,使得所需的总费用最少.ACD ,x y13.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A =2sin C ，2b =3c .（1）cos C ；（2）若∠B 的平分线交AC 于点D ，且△ABC ，求BD 的长.14.已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求:（1）函数()f x 的最小值和图像对称中心的坐标；（2）函数()f x 的单调增区间．15.已知函数．()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，（1）求函数的单调递增区间；()f x （2）将函数的图象向左平移()y f x =4π个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求的最大值及取得最大值时的的集合．()g x x 16.在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且.()()C b c B c b A a sin 2sin 2sin 2-+-=（1）求角A 的大小；（2）若，，D 为AC 的中点，求BD 的长．10=a 552cos =B 17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．cosb Ac +=（1）求；cos B （2）如图，D 为△ABC 外一点，若在平面四边形ABCD 中，，且，，AB 的长．2D B ∠=∠1AD =3CD =BC =【试卷答案】1.解：（1）在中，由正弦定理得.ABD △sin sin BD ABA ADB=∠∠由题设知，，所以.52sin 45sin ADB=︒∠sin ADB ∠=由题设知，，所以90ADB ∠<︒cos ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin BDC ADB ∠=∠=在中，由余弦定理得BCD △2222cos BC BD DC BD DC BDC=+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯.25=所以.5BC =2.（Ⅰ）因为cos cos c A b C b +=，由正弦定理，得()sin cos sin 1cos C A B C =-，即sin sin cos sin cos B C A B C =+＝()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+，…4分所以sin cos sin cos B C A C =，故cos 0C =或sin sin A B =．…5分当cos 0C =时，2C π=，故ABC △为直角三角形；当sin sin A B =时，A B =，故ABC △为等腰三角形．…7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2c =，A B =，则a b =，…9分因为6C π=，所以由余弦定理，得22242cos 6a a a π=+-，解得28a =+，…12分所以ABC △的面积21sin 226S a π==+．…14分3.（1）在△ABC 中，由正弦定理知sin sin sin a b cA B C==R 2=又因为()2cos cos a b C c B-⋅=⋅所以2sin sin cos AcosC BcosC BsinC =+，即2sin cos sin A C A = ……………… 4分∵π<<A 0,∴0sin >A ∴1cos 2C =……………… 6分∵0C π<< ∴3C π= ……………… 8分（2）∵1sin 2ABC S ab C ∆==∴4ab = ……………… 10分又()222223c a b abcosC a b ab =+-=+-∴()216a b += ∴4a b +=∴周长为6. ……………… 14分4.【命题意图】本小题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式等基础知识；考查运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学抽象，数学运算等．【试题简析】解：（Ⅰ）由正弦定理结合已知条件可得，....................2分()22a abc b -=-所以，.................................................................3分222a b c ab +-=所以，....................................................5分2221cos 222a b c ab C ab ab +-===又，所以． ............................................................6分0πC <<π3C =（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以，...............7分222a b c ab +-=()22223c a b ab a b ab =+-=+-又，所以，， 6a b c ++=()6c a b =-+()()2263a b a b ab -+=+-⎡⎤⎣⎦所以，..................................................................8分124ab a b ++=又，2a b+≥所以.......................................................9分124ab a b ++=≥，)260-≥所以或（不合，舍去），..........................................10分04ab <≤36ab ≥所以，. (11)分1sin 2ABC S ab C ==≤A 当且仅当时等号成立，2a b ==所以．..................................................12分ABC ∆【变式题源】（2016全国卷Ⅰ·理17）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长．5.【命题意图】本小题主要考查正弦定理,余弦定理等式等基础知识；考查运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考査数学抽象，数学运算等.【试题简析】（Ⅰ）∵A B C π+=-，∴sin()sin A B C +=， ∴sin sin sin a b Cc b A B-=-+由正弦定理有：sin sin sin a b C c c b A B a b -==-++，∴a b cc b a b-=-+，因此有：222a b c bc ++-，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，∵(0,)C π∈∴3Cπ=，（Ⅱ）解法一：由（1）可得222,1,a b c bc a c b ⎧=+-⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩得2222312b c bc b c bc ⎧=+-⎨=+-⎩，，解得：:112b c =⎧⎨=⎩. 解法二：由（Ⅰ）得a b cc b a b-=-+,又因为a =1c b -=；所以22a b c -=，则有23b c -=，由23,1,b c c b ⎧-=⎨-=⎩,得：220b b +-=，解得1b =，2c =.6.解：（Ⅰ）因为()2sin cos 222x x x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭2sin cos 222x x x +=1si n 2x x =++…………………… 4分sin +3x π⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的最小正周期…………………… 6分()f x 2.T π=（Ⅱ）因为，所以. [],0x π∈-2+,333x πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以当，即时，函数)(x f 取得最大值 33x ππ+=0x =sin3π=当，即时，函数)(x f 取得最小值32x ππ+=-56x π=--所以在区间和……………… 13分()f x [],0π--7.（1.cos 2sin cos cos A C B A C A =()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =又为三角形内角，所以，于是B sin 0B ≠cos A =又为三角形内角，所以.A 6A π=（2）由余弦定理：得：，2222cos a b c bc A =+-22422b c bc =+-≥所以如，所以，面积的最大值为(42bc ≤1sin 22ABC S bc A ∆=≤ABC ∆.2+8.（1）在ABD ∆中，由余弦定理得：2221cos 4c m a ma ADB =+-， ①在ACD ∆中，由余弦定理得：2221cos 4b m a ma ADC =+-， ②因为ADB ADC π∠+∠=，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，①+②得：2222122b c m a +=+， ……………… 4分即2222111224m b c a =+-， 代入已知条件2224a bc m +=，得2222222a bc b c a +=+-，即222b c a bc +-=， ……………… 6分2221cos 22b c a BAC bc +-==，又0A π<<，所以3BAC π∠=. ……………… 8分（2）在ABC ∆中由正弦定理得sin sin sin3a b cB Cπ==，又2a =，所以b B =，23c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴24sin 26a b c B C B π⎛⎫++=++=++ ⎪⎝⎭， ……………… 10分∵ABC ∆为锐角三角形，3BAC π∠=∴⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<<<2020ππC B ,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ……………… 12分∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+32,36πππB，∴sin 6B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦．∴ABC ∆周长的取值范围为(2⎤+⎦． ……………… 16分9.（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=22)2cos 2(sin 4cos 441sin 2)(x x x x x f （1分）x x x x x sin 2sin sin 1cos sin 222+=+--+=（3分）（2）设函数)(x f y =的图象上任一点()00,y x M 关于原点的对称点为()y x N ,，则y y x x -=-=00,，（4分）点M 在函数)(x f y =的图象上),sin(2)(sin 2x x y -+-=-∴即x x x g sin 2sin )(2+-=（7分）（3）)11(,1sin )1(2sin )1()(2≤≤-+-++-=t x x x h λλ则有)11(,1)1(2)1()(2≤≤-+-++-=t t t t h λλ（8分）①当1-=λ时，14)(+=t t h 在[]1,1-上是增函数，1-=∴λ（9分）②当1-≠λ时，)(t h 的对称轴为λλ+-=11t .（ⅰ）当1-<λ时，111-≤+-λλ，解得1-<λ；（10分）（ⅱ）当1->λ时，111≥+-λλ，解得01≤<-λ.（11分）综上可知，0≤λ.（12分）10.(1) (),cos )(cos ,cos )f x a b x m x x m x ==+-+A A即22()cos cos f x x x x m =+-(2) 21cos 2()2xf x m +=+- 21sin(262x m π=++- 由, , ,,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,666x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦1sin(2,162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦ , 211422m ∴-+-=-2m ∴=± , 此时, .max 11()1222f x ∴=+-=-262x ππ+=6x π=11.（1）由cos sin sin cos a b c C B B C =+得：cos sin cos sin sin cos a b C c BC B B C+=，cos sin a b C c B =+，即sin sin cos sin sin A B C C B =+，cos sin B B =，4B π=；由()())sin sin cos cos sin cos sin cos A B A A A B A A A A +++-=++，令sin cos t A A =+，原式21122t =+-，当且仅当4A π=时，上式的最大值为52．（2）2221sin ,b 2cos 2S ac B a c ac B ===+-，即(2222,2a c ac ac =+≥-≤a c ==MAX S =周长L a b c =++=．12.【命题意图】本题考查本题考查解三角形、三角形面积公式、基本不等式等基础知识；考查应用意识、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查数学抽象，数据处理等.【试题简析】(Ⅰ)解法一：由题意得ABC ADC ABD S S S ∆∆∆=+，故111sin sin sin 222AC AB BAC AC AD DAC AD AB BAD ⋅∠=⋅∠+⋅∠，即111sin120sin 60sin 60222xy y x ︒=︒+︒，所以xy y x =+ (其中05,05x y <≤<≤).解法二：在ACD ∆中，由余弦定理得：222212cos 6021CD y y y ++-︒=-+，则CD =BD =在ACD ∆中，由正弦定理得：sin yADC =∠，在ABD ∆中，由正弦定理得：sin xADB=∠因为sin sin ADC ADB ∠=∠，两式相除可得=，化简得xy y x =+ (其中05x <≤，05y <≤).(Ⅱ)设ACD 区域每平方公里的绿化费用为t (t 为常数)，两区域总费用为P ，则有11sin 602sin 60(2)22P x t y t x y =︒⋅+︒⋅=+，记2u x y =+，由(Ⅰ)可知xy y x =+，即111x y +=，则1122(2)(333y x u x y x y x y x y =+=++=++≥+=+，当且仅当2y x x y =，即2y x x y xy y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得11x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩此时等号成立.答：当1x =+1y =+单位：公里)时,所需的总费用最少. 13.解:（1）因为，所以.sin 2sin A C =2a c =于是，.()2222223272cos 328222c c c a b c C ab c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⨯⨯（2）由可得7cos 8C =sin C =设的面积为，∴ABC ∆S 113sin 2222S ab C c c ==⋅⋅=∴.则.24,2c c ==4,3a b ==∵为的平分线，∴，∴.BD B ∠2a CD c AD==2CD AD =又.∴.3CD AD +=21CD AD ==,在中,由余弦定理可得BCD ∆，∴.22274224268BD =+-⨯⨯⨯=BD =14.1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 22)224x x f x x x x x π-+=++=++=++∴当2242x k πππ+=-,即3()8x k k Zππ=-∈时, ()f x 取得最小值分2函数()f x 图像的对称中心坐标为.…………………………8分,228ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭k k Z（2） ()2)4f x x π=+由题意得: 222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即: 3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈因此函数()f x 的单调增区间为3[,)88k k k Z ππππ-+∈…………12分15.(1) 略；（2）2 ，｛x ∣x=π/4+2k π k ∈z ｝16.解(1)因为a sin A ＝(b －c )sin B ＋(c －b )·sin C ，222由正弦定理得a 2＝(b －c )b ＋(c －b )c ，222整理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ，222由余弦定理得cos A ＝＝＝，bc a c b 2222-+bc bc 2222因为A ∈(0，π)，所以A ＝. 4π(2)由cos B ＝，得sin B ＝＝＝，552B 2cos 1-541-55所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－()＝，552255222⨯-⨯1010-由正弦定理得b ＝＝＝2，A B a sin sin 225510⨯所以CD ＝AC ＝1，21在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝()2＋12－2×1××()＝13，10101010-所以BD ＝. 1317.解：（1）在中，由正弦定理得，ABC ∆sin cos sin B A A C =又，所以，()C A B π=-+sin cos sin()B A A A B =+故，…………………………………4分sin cos sin cos cos sin B A A A B A B +=+所以，sin cos A B A =又，所以，故分(0,)A π∈sin 0A ≠cos B =（2），………………………………………7分2D B ∠=∠ 21cos 2cos 13D B ∴=-=-又在中， ， ACD ∆1AD =3CD =∴由余弦定理可得，22212cos 1923()123AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=∴ ………………………………………………………………………………9分AC =在中， ， ，ABC ∆BC =AC =cos B =∴由余弦定理可得，2222cos AC AB BC AB BC B =-+⋅即，解得．21262AB AB =+-⋅260AB --=AB =故的长为………………………………………………………………………12分AB。